福建师范大学22春《复变函数》在线作业1答案参考70

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1、福建师范大学22春复变函数在线作业1答案参考1. 设函数f(x)在(-，+)内有定义，下列函数中必为偶函数的有( ) Ay=|f(x)| By=f(x2) Cy=f(x)+f(-x) D设函数f(x)在(-，+)内有定义，下列函数中必为偶函数的有()Ay=|f(x)|By=f(x2)Cy=f(x)+f(-x)Dy=cBCD解 选项A不对，例如f(x)=1+x2. 利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6, s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17, x2-x4+2x5-x6+x7=-22,利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6,

2、s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17,x2-x4+2x5-x6+x7=-22,x3+x4+x5-x6+x7=-33,xi0(i=1，2，7)添加人工约束：x4+x5+x6+x7=M，对扩充问题迭代两次得表7，从表中x2的对应行可知问题无可行解 表7 x1 x5 x6 x7 f -frac175 -frac15-frac95-4-frac15 x8 x2x3x4 M-frac175-22+frac175-33-frac175frac175 -frac15 frac65 0 frac45frac15 frac95 0 frac65-frac15 frac65-2 frac45frac1

3、5-frac15 1 frac153. 设矩阵A54的秩为2，1=(1，1，2，3)T，2=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方设矩阵A54的秩为2，1=(1，1，2，3)T，2=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.解空间的维数为4-r(A)=4-2=2，1，2可作为解空间的基，对1，2用施密特正交化方法，得解空间的标准正交基为：，.4. 求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率求曲线x(t

4、)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率正确答案：解法1计算得rn因此rn解法2rnrn这表明rn因此用Frenet公式求g较容易rn若用x表示对弧长的求导则rn所以rn解法1计算得因此解法2这表明因此用Frenet公式求g,较容易若用x表示对弧长的求导,则所以5. 设随机变量X的分布函数 试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数设随机变量X的分布函数试求将X标准化后得到的变量(其中和分别表示X的期望和标准差)的分布函数由题意及分布函数的性质，有随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.4 0.1

5、=E(X)=-10.2+00.3+10.4+20.1=0.4， E(X2)=10.2+00.3+10.4+40.1=1 D(X)=E(X2)-E2(X)=1-0.42=0.84 故，故的分布律为 X -1.52 -0.43 0.65 1.74 P 0.2 0.3 0.4 0.1 故Y的分布函数为 6. 设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:， $，. 7. n个完全一样的骰子能掷出多少种不同的点数?n个完全一样的骰子能掷出多少种不同的点数?不同点数有6n-(n-1)=5n+1种。8. 已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。已知(2x

6、)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。正确答案：解 令 x1tx1t0rn解令x1t,x1,t09. 若fL(X)，则( )A.f在X上几乎处处连续B.存在gL(X)使得|f|=gC.若Xfdu=0，则f=0，a.e.参考答案：B10. 证明可导的偶函数的导函数为奇函数证明可导的偶函数的导函数为奇函数法一f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，且在点x可导。由导数定义： 所以偶函数的导函数为奇函数 法二利用复合函数求导法则，设f(x)为偶函数，即 f(-x)=f(x) 两边同时对x求导，得 -f(-x)=f(x)，即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数 类似可以证明可

7、导的奇函数的导函数为偶函数 11. 设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得设都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得对f(x)与g(x)施行辗转相除法 由此知x2-2是f(x)与g(x)的最大公因式，而 从而有u(x)=-(x+1),v(x)=x+2. 12. 在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。13. 设函数z1=x+y,，则( ) Az1与z2是相同的函数 Bz1与z2是相同的函数 Cz2与z3是相同的函数 D其中任何设函数z1=x+y,，则()Az1与z2是相同的函数Bz1与z2是相

8、同的函数Cz2与z3是相同的函数D其中任何两个都不是相同的函数D因为z1与z2的定义域不相同，z1与z3的值域不一样，z2与z3的定义域不相同，从而任何两个都不是相同的函数14. 求n=1+(n+2)xn+3的和函数求n=1+(n+2)xn+3的和函数15. 求方程x2ydx=(1y2x2x2y2)dy的通解求方程x2ydx=(1-y2+x2-x2y2)dy的通解16. Qx中，x416可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0Qx中，x4-16可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： C17. 设有指标集I，f(x)：I是Rn上可测

9、函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在Rn上是可测的吗?设有指标集I，f(x)：I是Rn上可测函数族，试问函数S(x)=supf(x):I在Rn上是可测的吗?18. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示， 定点在(0，0，a)处 则 dF的三个分量为 ， 所求力F=Fx，Fy，Fz 则由对称性知 Fx=Fy=0 而 球面参数方程为 x=Rcossin，y=Rsinsin z=Rcos 所以 dS=R2sindd， 故 注意引力是一个向

10、量向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加 令a2+R2-2aRcos=t2 则 所以 此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力 注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力不妨只就aR的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体当r0时，认为球壳r2x2+y2+z2(r+r)2为均匀球面，半径为r则只考虑ra这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)于是这一层对定点的引力为 所以 (aR) 所得结果与题完全一致读者不难仿此得到当aR的情况 19. 2一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-

11、3z=8垂直，求此平面方程。2一平面经过原点和另一点(6，3，2)且与平而5x+4y-3z=8垂直，求此平面方程。2-17x+28y+9=020. 设A，B是同阶方阵，且满足， 求证：A2=A的充分必要条件是B2=E设A，B是同阶方阵，且满足，求证：A2=A的充分必要条件是B2=E由于B与E可交换，故(B+E)2=B2+2B+E，故 21. 讨论函数f(x)=xex的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，讨论函数f(x)=xe-x的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，函数f(x)=xe-x的定义域为(-，+)，为非奇非偶函数再求其一、二阶导数： f(x)=e-x-xe-x=e

12、-x(1-x)， f(x)=-e-x(1-x)-e-x=e-x(x-2) 令f(x)=0，得驻点x1=1；没有导数不存在的点 令f(x)=0，得x2=2 讨论f(x)和f(x)的符号，列表如下：(-，1)1(1，2)2(2，+)f(x)+0-f(x)-0+y=f(x)升凸极大值f(1)=e-1降凸拐点(2，2e-2)降凹 再求渐近线 曲线y=f(x)有水平渐近线y=022. 设f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积设f(x)Ca，b，求曲边梯形(x，y)|0axb，0yf(x)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积正确答案：23. 试求下列复合函数

13、(x，y，z为自变量)的一阶与二阶全微分：u=f(x,y,z),x=t,y=t2,z=t3试求下列复合函数(x，y，z为自变量)的一阶与二阶全微分：u=f(x,y,z),x=t,y=t2,z=t3du=f1dt+f22tdt+f33t2dt=(f1+2tf2+3t2f3)dt d2u=f11dt2+f224t2dt2+f339t4dt2+4f12tdt2+6t2f13dt2+12t3f23dt2+2f2dt2+6tf3dt2=(f11+4t2f22+9t4f33+4tf12+6t2f13+12t3f23+2f2+6tf3)dt2 24. 给定函数 考虑下列非线性规划问题 min 4x1一3x2

14、 st4x1一x20， x2+70，考虑下列非线性规划问题 min 4x1一3x2 st4x1一x20， x2+70， 一(x13)2+x2+10 求满足K-T必要条件的点正确答案：目标函数f(x)=4x13x2约束函数g1(x)=4一x1x2g2(x)=x2+7和g3(x)=一(x1一3)2+x2+1的梯度分别是rnrn最优解的一阶必要条件如下：rnrn即rnrn求解上述KT条件得到非线性规划的KT点x1=1x2=3相应的乘子(123)=目标函数f(x)=4x13x2,约束函数g1(x)=4一x1x2,g2(x)=x2+7和g3(x)=一(x1一3)2+x2+1的梯度分别是最优解的一阶必要条

15、件如下：即求解上述KT条件,得到非线性规划的KT点x1=1,x2=3,相应的乘子(1,2,3)=25. 求下面微分方程的通解或特解。y=1+(y&39;)2求下面微分方程的通解或特解。y=1+(y)2设y=p(x)，则y=p(x)，将y=p(x)、y=p(x)代入原方程中，有 p=1+p2 分离变量，得 两边积分，得 arctanp=x+c1 p=tan(x+c1) y=p=tan(x+c1) 26. 证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路设L是图G中最长路中的一条，设其长度为m，这条路的一个端点设为a，考察G中与a关联的那些边，这些边中任何一

16、条边的另一端必在L上，否则，将这个结点加进L中就可得到一条更长的路 如果G中每个结点的次数至少为2，那么a也要关联于一条不在L上的边e，若e是环，则e本身就是回路，否则，边e的另一个端点b(与a不同的点)在L上，而连通L中a到b的子通路与边e就组成一个回路本题证明时所设L是考虑了能否构成环的最坏情况(见图(a)，除两头外，其他结点的次数为2(满足至少为2的最少次数情况)，如果不按L来安排结点在图中位置的话，已经可出现回路 由于条件给出每个结点的次数至少为2，那么结点a及L中的另一端点的次数就不会是1，故会有如图(b)所示的情况由a引出的另一条边e的另一头必会去与另一结点相连(如结点b，因为按最

17、差情形所有点均放到了L上)，此时已出现了回路 27. 设集合A=a，b，c，A上的二元关系R=(a，a)，(b，b)不具备关系中下列4个中的哪个性质? (1)传递性； (2)反对称设集合A=a，b，c，A上的二元关系R=(a，a)，(b，b)不具备关系中下列4个中的哪个性质?(1)传递性；(2)反对称性；(3)对称性；(4)自反性不具备(4)自反性如果加入(c，c)，才有自反性28. 证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y

18、，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法向量正确答案：29. 某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数=4的指数分布若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数=4的指数分布若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换一台设备，厂家亏损300元，否则厂家赢利100元，求厂家售出一台设备赢利的数学期望E(Y)=-300(1-e-1/4)+100e-1/4=400e-1/4-30011.5230. 设k（s，t)，0s1，0t1，为0，10，1上的可测函数。假设 , 对xL20，1，令 ，0s1 求证：A为L20，1上的设k（s，t)，0

19、s1，0t1，为0，10，1上的可测函数。假设,对xL20，1，令，0s1求证：A为L20，1上的有界线性算子且A()1/2，且任取xL20，1有，0s1对于0s1，我们有 因此 我们注意到被积函数为非负的，故我们可以变换积分顺序。因此 所以有Ax()1/2。x对所有的xL20，1成立。这首先证明了任取xL20，1，有AxL20，1。然后表明A为有界的且A()1/2。又显然A为线性的，故A为L20，1上的有界线性算子。这就证明了第一部分。 为证第二部分，设 ，k2(s，t)=|k(s，t)|， 对于xL20，1，设 ，0s1， i=1，2 重复上面的证明，可知B1和B2为L20，1上的有界线性

20、算子。若x，yL20，1，则 我们希望能够变换上面的积分顺序。由于，我们有 =(B2|x|)，|y|， 上式为有限的，因为B2(|x|)及|y|都在L20，1中。因此我们可以应用Fubini定理来变换积分顺序： 这证明了B1=A* 31. 设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处( ) A必取极大值 B必取极小值 C不可设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处()A必取极大值B必取极小值C不可能取极值D是否取极值不能确定D32. VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵 VE中两组正交基的过渡矩

21、阵为正交矩阵？VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？例 设VE=R3=(a，b，c)|a，b，cR，1=(2，1，1)，2=(0，3，0)，3=(1，0，-2)；1=(1，1，0)，2=(1，-1，0)，3=(0，0，1)是两组正交基，且 ， ，不为正交矩阵 33. 一元二次多项式可以直接用求根公式来求解。( )一元二次多项式可以直接用求根公式来求解。( )正确答案： 34. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证，从而 =(fxcos+fysin)2+(-si

22、nfx+cosfy)2 =fx2cos2+fy2sin2+2sincosfxfx +fx2sin2+fy2cos2-2sincosfxfy 35. 双曲抛物面上过点(2，0，3)的两条直母线的夹角是_。双曲抛物面上过点(2，0，3)的两条直母线的夹角是_。36. 从点(2，0)引两条直线与曲线y=x3相切，求由此两条切线与曲线y=x3所围图形的面积从点(2，0)引两条直线与曲线y=x3相切，求由此两条切线与曲线y=x3所围图形的面积如下图所示，设切点为(x0，)，则切线斜率为3，切线方程为y= 因为切线过(2，0)点，所以有 ，解得x0=0，x0=3 即切点坐标为：(0，0)，(3，27)，相

23、应的两条切线方程为 y=0，y=27x-54 选积分变量为y，则所求面积为 = 37. 设f&39;(x)是连续函数，则f&39;(x)dx=_设f(x)是连续函数，则f(x)dx=_f(x)+C38. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+。( )A.正确B.错误参考答案：B39. 设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则( )A.fn测度收敛于|f|B.afn+bgn测度收敛于af+bgC.(fn)2测度收敛于f2D.fngn测度收敛于fg参考答案：AB40. 证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根证明方程x6-2x5+5x3+1=0至少有两个实根在(-2，-1)与(

24、-1，0)上运用零点定理41. 函数z=x2y2，当x=1，y=1，x=0.2，y=-0.1时的全微分为( ) A0.20 B-0.20 C-0.1664 D0.1664函数z=x2y2，当x=1，y=1，x=0.2，y=-0.1时的全微分为()A0.20B-0.20C-0.1664D0.1664A42. 描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时，Q_0；系统对环境做功时W_0。正确答案：U=Q+W、43. _是统计工作的第三个阶段。在这一阶段，通过对原始资料进行科学的加工，可以得出反映事

25、物_的资料。_是统计工作的第三个阶段。在这一阶段，通过对原始资料进行科学的加工，可以得出反映事物_的资料。统计整理$总体特征44. 下列函数中( )的导数等于sin2x Acos2x： Bcos2x： C-cos2x； Dsin2x下列函数中()的导数等于sin2xAcos2x：Bcos2x：C-cos2x； Dsin2xD(cos2x)=-2sin2x，(cos2x)=-2cosxsinx=-sin2x， (-cos2x)=2sin2x，(sin2x)=2sinxcosx=sin2x，故选D 45. 向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向

26、量？向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？例 设1=(1，2，4)，2=(2，4，8)，易知1，2线性相关，但1，2中不含零向量46. 设X为随机变量，E(X)=，D(x)=2，当( )时，有E(Y)=0，D(Y)=1 AY=X+ BY=X- C D设X为随机变量，E(X)=，D(x)=2，当()时，有E(Y)=0，D(Y)=1AY=X+BY=X-CDC47. 设f是上的实函数，(x，y)，每个截口fx是Borel可测的，每个截口fy是连续的证明f在上Borel可测设f是上的实函数，(x，y)，每个截口fx是Borel可测的，每个截口fy

27、是连续的证明f在上Borel可测证明注意两Borel函数的和、差、积、商以及Borel函数列的极限仍然是Borel函数现在对x所在的每个区间j，j+1(j)k等分，构作fk(x，y)以0，1为例，当时，令 按题设，每个fx是Borel可测的，又因为与显然是Borel函数，于是，fk(x，y)是上的Borel函数从而fk(x，y)是Borel函数以下证明fk(x，y)=f(x，y)只须证其在0，1上成立设0由于fy连续，0，当x1，x20，1，|x1-x2|时，有|f(x1,y)-f(x2,y)|/2；又因为，kk0，有|ai-ai-1|=1/k(i=1，2，k)；故对xai-1，ai(i=1，

28、2，k)有 |f(ai-1,y)-f(x,y)| +|f(ai，y)-f(x，y)|，这表明，由此可知f是上的Borel函数 48. 设随机变量X的概率密度为，则E(X)=( ) A B C D设随机变量X的概率密度为，则E(X)=()ABCDA49. Z和L两人进行乒乓球决赛，规定谁连胜两场或总数先胜三场，谁就获得冠军请将本次决赛可能的比赛场次用根树来Z和L两人进行乒乓球决赛，规定谁连胜两场或总数先胜三场，谁就获得冠军请将本次决赛可能的比赛场次用根树来表示50. 在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?设S=1，2，500，以A1，A2分别表示S中可被15和7整除的整数集合，则问题归结为求|A1-A2|。=33-4=29