chapter函数的连续性学习教案

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1、会计学1chapter函数的连续性函数的连续性教学要求：教学要求：1. 理解函数连续性的概念；理解函数连续性的概念；2. 会判别函数间断点的类型；会判别函数间断点的类型；3. 了解初等函数的连续性了解初等函数的连续性. 第1页/共28页第2页/共28页 .函数连续的概念函数连续的概念一一1.增量增量 一般地，一般地，第3页/共28页xy00 xxx 0)(xfy x y xy0 xx 00 xx y )(xfy 定义定义1.定义定义2.第4页/共28页概括起来概括起来f(x)在在x0处连续必须满足三个条件：处连续必须满足三个条件：第5页/共28页3.左右连续定义左右连续定义 ;)(),()0(

2、,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 注意：注意：(1)f(x)在在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续；对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续对于区间的右端点只要左连续则称为连续.第6页/共28页4.函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数在区间

3、上每一点都连续的函数, ,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连续连续函数函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. .对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定!连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第7页/共28页Proof. 第8页/共28页 .函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类二二1.间断点的定义间断点的定义 若若f(x)至少满足下列条件之一，则称至少满足下列条件之一，则称f(x)在在x0处不连续处不连续, x0为为f(x)的间断点的间断点.)()(lim)3(00 xfxfxx 第9页/

4、共28页Solution. 这种间断点称为这种间断点称为可去间断点可去间断点.第10页/共28页Solution. .0)(处连续了处连续了在在则则 xxf这种间断点也称为这种间断点也称为可去间断点可去间断点.第11页/共28页Solution. 函数图形在间断点函数图形在间断点x=1处发生跳跃，故称处发生跳跃，故称跳跃间断点跳跃间断点.第12页/共28页Solution. .)(0的间断点的间断点为为xfx 这时称这时称x=0为为f(x)的的无穷间断点无穷间断点.第13页/共28页.0,1sin)(. 6处的连续性处的连续性讨论讨论设设 xxxfexSolution. ,01sin)(处没有

5、意义处没有意义在在 xxxf.)(0的间断点的间断点为为xfx 这时称这时称x=0为为f(x)的的振荡间断点振荡间断点.第14页/共28页2.间断点的分类间断点的分类 间断点是根据左右极限是否存在进行分类的间断点是根据左右极限是否存在进行分类的!可去间断点可去间断点(左右极限存在且相等的间断点左右极限存在且相等的间断点)跳跃间断点跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点左右极限存在但不相等的间断点)无穷间断点无穷间断点(极限为无穷大的间断点极限为无穷大的间断点)振荡间断点振荡间断点 (极限不确定的间断点极限不确定的间断点)第15页/共28页如图所示如图所示可去型可去型第一类间断点第一类间断点o

6、yx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第16页/共28页 .函数的连续性函数的连续性连续函数的运算与初等连续函数的运算与初等三三1.连续函数的运算连续函数的运算 定理定理1（四则运算）（四则运算）Proof. 第17页/共28页定理定理2（反函数的连续性）（反函数的连续性）严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .定理定理3（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）Proof. 第18页/共28页将上两步合起来将上两步合起来:当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置当函数连续时，极限

7、符号与函数符号可以交换位置!第19页/共28页2.初等函数的连续性初等函数的连续性 (1)基本初等函数在其定义域内是连续的基本初等函数在其定义域内是连续的.三角函数的连续性三角函数的连续性: -由连续的定义可证由连续的定义可证. -由连续性的四则运算可证由连续性的四则运算可证.第20页/共28页反三角函数的连续性反三角函数的连续性: 由反函数的连续性得到由反函数的连续性得到. 对数函数的连续性对数函数的连续性: -已证已证指数函数的连续性指数函数的连续性: -由反函数的连续性得到由反函数的连续性得到. 幂函数的连续性幂函数的连续性: -由复合函数的连续性得到由复合函数的连续性得到. (2) 初

8、等函数在其定义区间内是连续的初等函数在其定义区间内是连续的.第21页/共28页注意注意:(1)弄清楚定义域弄清楚定义域, 定义区间定义区间, 连续区间的关系连续区间的关系; 并会求并会求 函数的连续区间函数的连续区间.(2)记住初等函数的连续区间即为定义区间记住初等函数的连续区间即为定义区间; 而分段函而分段函 数需考虑分段点的情况数需考虑分段点的情况.(3)利用函数的连续性可求极限利用函数的连续性可求极限.Solution. 为所求函数的定义域为所求函数的定义域.故没有连续区间故没有连续区间.第22页/共28页Solution. 第23页/共28页Solution.第24页/共28页Solution. Solution. 第25页/共28页Solution. 第26页/共28页