高等数学课程手册

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1、高等数学教学目标分类表目标类别代 号分类目标说明了 解对知识有感性的、初步的认识,能识别它.理 解对概念及规律达到理性认识,能自述、解释和举例说掌 握在理解的基本上，达到以下要求：能应用已掌握的知识熟练解答一般难度的计算题和应用题；进行较简单的合乎逻辑的推理论证。熟练掌握能综合应用知识解决问题,达到熟练、灵活的程度,从而形成数学能力.课程手册内容第一章 函数与极限章节名称序号名称知识点知识点细目目标等级1.1函数概念1函数定义设x,y两变量,D为数集,有唯一与之对应,则称 y是x的函数,记为,D是定义域。2函数表示法解析,列表,图象3函数几种特征1有界性,2单调性,3奇偶性4周期性4反函数定义

2、。若有唯一使，则称的反函数。5基本初等函数1幂函数。2指极函数。3对极函数。4三角函数。5反三角函数6复合函数定义设，则称以u为中间变量x为自变量的复合函数。7初等函数由常数函数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的。并用一个式子表达的函数称为初等函数。1.2数列极限8数列极限定义若是。当时，则称a是极列的极限，证 9数列极限几何意义当时，落在内，而且多是N个在间之外10数列极限性质1唯一性。2有界性1.3函数的极限11定义在某中心邻域有定义，则有12定义有定义，有，则有1.4无穷小与无穷大13无穷小定义，称时的无穷小。14无穷大定义时无限增大，称为无穷大量。15无穷大（小）关系在某

3、变化过程中，为无穷大，则为无穷小；反之，时亦成立。16无穷小与极限关系1.5极限计算17极限运算法则1设则2有界函数与无穷小量之积似为无穷量。18极限存在准则准则、（夹追准则）。准则、单调有界必有极限。19两个重要极限，1.6无穷小的比较20无穷小的比较设，若，则是低阶无穷小； 是高阶； 与同阶；，与等价。21等价无穷小性质设存在，则1.8函数的连续性22连续定义设在某邻域有定义且称在连续，区间上每点连续的函数称该区间上的连续函数23函数的间断点满足下列条件之一，称在不连续1无定义2，有定义，不存在3，有定义，存在且24间断点分类第一类：存在的间断点里有可去间断点与跳跃间断点之分。第二类：中至

4、少有一个不存在的间断点，有无穷间断点和振荡间断点之分。1.9连续函数的计算25连续函数四则运算设在x连续，则在连续；在连续26反函数的连续性设在单调连续，则其函数在对应区间也单调且连续27复合函数的连续性设则在连续，即1.10闭区间上连续函数的性质28闭区间连续函数的性质1最大（最小）值定理 2有界性定理3零点定理 4介值定理第二章 导数与微分章节名称序号知识点知识点细目目标等级2.1导数概念1导数定义在某邻域有定义，若在时极限存在，则称在可导，记2导数几何意义几何上表示在处曲线线的切线的斜率。3可导和连续的关系可导必连续，但连续不必右导2.2求导法则4和差的求导法5积商求导法2.3反函数,复

5、合函数求导6反函数求导法如果在上单调可导,且,则反函数在对应的可导,且7复合函数求导法则如果在可导，在可导，则复合函数在可导，且8求导公式，法则总结2.4高阶导数9高阶导数公式2.5隐函数求导参数方程求导10隐函数求导法两边对X求导,注意Y是X的函数11对数求导法两边先取对数,再求x的导数12参数方程确定的函数的导数则2.6函数微分13微分定义设在某邻域有定义,给若,则在可微.叫做函数在的微分记14微分几何意义曲线在点处的切线的增量15微分公式及法则微分公式(16个),微分法则(和差积商)复合函数,微分法则.2.7微分在近似计算中运用16求近似增量17求函数近似值第三章 中值定理与导数的应用章

6、节名称序号知 识 点知 识 点 细 目目标等级3.1中值定理1罗尔定理设在连续,可导,则内至少有一点,2拉格朗日定理设上连续，在内可导,则内至少有一点使得3柯西中值定理设在连续，可导，且则在内至少有一，3.2罗必达法则4不定型设1、 2、在a去邻域内，存在 3、存在则5不定型6其余未定型 ，0,13.3泰勒公式7泰勒中值定理设在某邻域有阶导数介于与之间3.4函数单调性8函数单调性判定法设在连续,可导,若,则在单调增(减)3.5极值及求法9极值定义在某邻域内满足,则为极大值；若，则为极小值10极值必要条件在可导,且在取极值,则11极值充分条件设在某邻域可导,则1、则为极大值2、两侧不变号，则不是

7、极值12极值第二充分条件设在二阶可导则当为极大值，当为极小值3.6最大最小值13闭区间上连续函数最值算法求出驻点，不可导点，端点3.7曲线凹凸拐点14凹凸定义称在 凸(凹).15凹凸求值定理设在连续,有二阶导数则时,在凹, 时,在凸.16拐点曲线上凹与凸的分界点为拐点17求拐点步骤设二阶可导1、 求的实根x，2、在两侧符号相反时，即为拐点，否则不是拐点。3.8函数图形描绘18作图步骤1、 求定义域及2、 解，由上面的根分定义域为几个分区间3、 确定在各个分区间的符号，由此确定函数的单调，凹、凸、极值点和拐点4、 求渐近线5、拐点第四章 不定积分章节名称序号知识点知识点细目目标等级4.1不定积分

8、的概念，性质1原函数定义在I内,可导函数的导数为即,则为在I内的原函数。2原函数存在定理如果在I内连续，则在I内存在可导函数简言之，连续函数必存在原函数。3不定积分定义区间I内，带有任意常数的原函数称的不定积分，记为。4不定积分性质4.2换元积分法5换元公式(一)设可积,可导则有换元公式6换元公式(二)设可导,单调,且可积,则有换元公式.4.3分部积分法7分部积分公式4.4几积特殊类型函数积分8有理函数的积分有理函数的积分为初等函数9三角函数的有理积分常用代换10简单无理函数的积分消去根号第五章 定积分章节名称序号知识点知识点细目目标等级5.1定积分概念11定积分定义设在连续分割为在任取作乘积

9、,求和,存在,称为在定积分记12可积分部分条件定理一：连续函数可积定理二：只有有限个间断点的函数在区间可积5.2定积分性质13定积分性质12345,则6,则14积分中值定理，在为连续函数.5.3微可积分基本公式15积分上限的函数16积分上限函数性质定理1、设在连续，则定理2、在连续则是在上的一个原函数。17牛顿-莱布尼茨公式5.4定积分的换元法18换元公式定理:设在连续,在单调且连续;当时,则5.5定积分的分部积分法19分部积分公式5.7广义积分20无穷限广义积分21无界函数广义积分在无界；，在无界；设在C无界，其它点连续，；且收敛，则广义积分收敛；且 第六章 定积分应用章节名称序号知识点知识

10、点细目目标等级6.1定积分的元素法1元素法若所求量具有:1、2、U具有可积法3、则可用定积分表达U1、 选取变量为积分变量2、 在求出u者，3、6.2定积分的几何应用2直角坐标系下的面积， 3参数方程的面积 ， 4极坐标的面积,5旋转体体积，曲边梯形绕X轴旋转产生的立体的体积6平行截面面之积已知立体体积设截面的面积为7直角坐标下曲线弧长8参数方程表示的曲线弧长设9极坐标曲线的弧长设第七章 空间解析几何与向量代数章节名称序号知识点知识点细目目标等级7.1空间直角坐标系1空间点的直角坐标空间直角坐标系、坐标原点、坐标面、卦限、点的直角坐标。空间两点间的距离空间两点的距离公式。7.2向量及加减法、向

11、量与数的乘法2向量概念两类量（标量、向量），向量的表示、向量的模，单位向量、零向量、向径，自由向量，两向量的相等。3向量的加减法向量的加法的平行四边形法则，三角形法则，向量加法的变换律和结合律，负向量，两向量的差4向量与数的乘法向量与数的乘积的定义，运算律，单位向量7.3向量的坐标5向量在轴上的投影与投影定理空间两轴的夹角点在轴上的投影,向量在轴上的投影,投影定理。6向量在坐标轴上的分向量，向量的坐标向量在坐标轴上的分向量，基本单位向量，向量按基本单位向量的分解式，向量的坐标表达式，利用向量的坐标计算及。7向量的模与方向余弦的坐标表示法非零向量的方向角，方向余弦概念及坐标表示式。7.4数量积,

12、向量积,混合积.8两向量的数量积(点积)定义,两非零向量垂直的充分必要条件：运算律。的坐标表示式：功9两向量的向量积(叉积)定义,的模，方向,运算律。坐标表示式；两非零向量平行四边形的充分必要条件。求平行四边形面积。7.5曲面及其方程11曲面方程的概念曲面及其方程,建立几个常见曲面(如球线段的垂直平分面等)的方程.12旋转曲面定义,根据给定条件求旋转曲面的方程,圆锥面.13柱面定义,柱面主程,二次柱面(方程及图形)7.6空间曲线及其方程14空间曲线的一般主程空间曲线的一般方程：15空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程：螺旋线及其方程16空间曲线在坐标面上的投影。空间曲线关于某一坐标面的投影柱面

13、，及在该坐标面上的投影曲线。7.7平面及其方程17平面的方程平面的法线向量,平面的点法式方程；平面的一般式方程，一些特殊的三元一次方程的图形及其特点，平面的截距式方程。18两平面的夹角定义、求法。19点到平面的距离定义，求法（公式）7.8空间直线及其方程20空间直线的方程直线的方向向量,方向数方向余弦,空间直线的一般式方程,对称式方程(点向式方程,标准方程),参数方程.21两直线的夹角定义,求法.两直线垂直,平行的条件。22直线与平面的夹角定义，求法。直线与平面垂直与平行的条件。7.9二次曲面23二次曲面二次曲面的名称由来。截痕法，几个特殊的二次曲（椭球面、旋转椭球面、椭圆抛物面旋转的物面、单

14、叶双曲面、双叶双曲面）的方程。用截痕法考察它们的形状，能较熟练地画出草图。第八章 多元函数微分法及其应用章节名称序号知识点知识点细目目标等级8.1多元函数的基本概念1点的邻域2平面点集的聚点设E为平面点集，P是平面上一点，如果P的任一邻域有无限很多点属于E，称P为E的聚点。3n元函数定义设D为平面点集，对每个，按照对应法则有确定子值和它对应，则z是 x,y的二元函数（或P的函数）记若D换成中点集D，则可定义n元函数，当时，n元函数统称为多元函数。4N元函数极限定义设n元函数定义域为D，如果对任给，当时，有成立，则称A为n元函数当时的极限记作5N元函数连续定义设元函数定义域为D，是E的集点，且，

15、如果，则称在连续。6闭区域连续函数性质1、有界闭区域D上连续函数达到最大值最小值。2、（介值定理）有界闭区域D连续函数取得介于最大值，最小值之间的任何值。8.2偏导数7偏导数定义在点某邻域有定义,当固定在,x在处有增量时,函数有增量如存在,则称此为在点对x的偏导数，记作，类似可定义的偏导数。8偏导数几何意义二元函数的偏导数是曲面被即截为的曲线在处的切线对x轴的斜率。9高阶偏导数一般地在D内仍是x,y的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是的二阶偏导数，同样可得三阶，四阶偏导数，n阶偏导数。二阶，三阶以上偏导数称高价偏导数。8.310全微分定义如果在点的全增量；可表示为，其中A，B与x,

16、y有关，则称在点可微分，称函数在点的全微分，记作11可微分的必要条件如果在点可微分，则1、在该点连续。2、函数在该点的偏导数存在，且12可微分的充分条件如果在的偏导数连续，则函数在该点可微分8.4多元复合函数求导法则13复合函数求导法则设在点t可导,在对应点具有连续偏导数,则在t可导,且有若复合数,则有上述公式可推广到m个中间变量n个自变量的复合函数.8.514隐函数存在定理1设在点某邻域有连续偏导数,且,则方程在点某邻域能唯一确定满足,且有15隐函数存在定理2设在有连续偏导，且，则在邻域确定，且，有8.6微分法在几何上的应用16空间曲线的切线与法平面设,则在曲线上点处的切向量为，切线方程法平

17、面方程17曲面的切平法，法线设曲面S：，曲面S在M点的向量把平面方程法线方程若S： 则8.8多元函数的极值及其求法18极值,极值点设在点邻域有定义,且对该邻域内的有,则称函数在有极大(小)值,统称相值。使函数取的极值的点称为极值点。8.8多元函数的极值及其求法19极值的必要条件设函数在点有偏导数，且在取的极值，则在该点的偏导数为零：使的点称为的驻点。20极值的充分条件设函数邻域有一阶，二阶连续偏导数，又，令则当1、具有极值在时有极大值，时有极小值。 2、时不取极值。 3、时可能有极值，可能不取极值，需另行讨论。21条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值。22条件极值求法1、化为无条件极值

18、来解。2、拉格朗日乘数法23拉硌朗日半数法求在下的极值，可先构造函数解设就是可能极值点的坐标。第九章 重积分章节名称序号知识点知识点细目目标等级9.1二重积分的概念,性质1二重积分定义设是有界闭域D上有界函数任意分割也表示其面积,在每上任取一点,作乘积,求和,如果存在，此极限值称为在闭域D上的二重积分,记,即2二重积分几何意义表示以D为底，以顶的曲顶柱体体积，即3二重积分物理意义表示面密度为的平面薄板D的质量。4二重积分的性质1、2、 3、（4、5、则6、设为D的面积，则有7、中值定理。设在D连续，为D的面积，则D上至少有一，使得9.2二重积分计算5型区域平面区域D表示为:,且穿过D内且平行于

19、y轴的直线与D的边界相交不多于两点。6型区域平面区域D表示为：，且穿过D内且平行x轴直线与D的边界相交不多于两点。7直角坐标下面积元素8直角坐标计算二重积分对型区域D有对型区域D有9极坐标下面积元素，10极坐标下计算二重积分若D：则若D：则若D：则11曲面面积元素9.3二重积分应用12曲面面积计算公式设S：则若S：则若S：则13平面薄片重心公式设有密度为的平面薄片D，则其重心为： 特别是质量分布均匀的薄板D，有 14平面薄片的转动惯量面密度为的薄板D，有 第十二章 微分方程章节名称序号知识点知识点细目目标等级10.1基本概念1微分方程定义阶微分方程：2微分方程解的概念通解 ：特解：10.2一阶微分方程3可分离变量型方程求解方法对两边积分4齐次方程求解方法对，令化成可分离变量型的方程5线性齐次方程的求解 的通解6线性非齐次方程的求解的通解：7常数变易法求线性非齐次方程通解的一种方法10.3可降阶的高阶微分方程8型方程的求解两边积分次9型方程的求解令化成一阶方程10型方程的求解令化成一阶方程10.4二阶常系数齐次线性方程11特征方程和特征根由得特征方程特征方程的解为特征根12的通解1) 两个不等实根，2) 两个相等实根，3) 一对复根时，10.5二阶常系数非齐次线性方程13特解求法令特解，为待定多项式14特解求法令特解，15求的通解方法通解，是齐次的通解，是非齐次方程的特解