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1、 第4讲 反比例函数（2）【今日目标】1、正确理解反比例函数中k的几何意义，利用k的几何意义解决有关面积问题2、以正、一次函数为框架，结合面积、全等与相似、四边形、勾股定理等知识，解决直线与双曲线的计算问题。【精彩知识】专题一：直线与双曲线的交点问题【例1】（1）若反比例函数，当时，求这个函数的解析式；（2）若一次函数的图象与（1）中的反比例函数的图象有交点，求的取值范围。变式训练：1、如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围2、（2013成都23
2、，4分）若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关于x的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为 。方法归纳：解决直线与双曲线的交点问题时，就是将 联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；判断直线与双曲线有无公共点，可用 来确定。专题二：用函数的图像解不等式【例2】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，.已知当时，；当时，.求一次函数的解析式；已知一次函数在第一象限上有一点C到轴的距离为3，求ABC的面积.变式训练：1、已知反比例函数的图象过点，直线经过第一、三、四象限。（1）求反比例函数的解析式；（2）若直线与反比例函数的图象只有一个公共点，求的值。2、如图，一次函数的图
3、象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限PAx轴于点A，PBy轴于点B一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且SPBD4，（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围. 方法归纳：专题三：反比例函数中最值问题【例3】如图是反比例函数的图象，且当4x1时，4y1。（1）求该反比例函数的解析式；(2)若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围。变式训练：如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.
4、（1）求反比例函数的解析式；（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.专题四：利用k的几何意义解决有关面积问题【例4】如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交轴于点P，Q。当时，图中阴影部分的面积等于_变式训练：(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数 (k为常数，且k0)在第一象限的图象交于点E，F过点E作EMy轴于M，过点F作FNx轴于N，直线EM与FN交于点C若 (为大于l的常数)记CEF
5、的面积为S1，OEF的面积为S2，则= (用含m的代数式表示)【思维拓展】【例5】一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图像相交于A、B，过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为C,E；过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为F、D，AC与BD交与点K，连接CD。 （1）若点A、B在反比例函数的图像的同一分支上，如图（1），试证明：; AN=BM；（2）若点A、B分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图（2），则AN与BM还相等吗？试证明你的结论； （3）连结EF,试判断EF与MN的位置关系，并说明理由。 【例6】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长
6、为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标. 【课后测控】1、
7、已知点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作ACx轴于C，OA的垂直平分线交OC于B（1）则AOC的面积为 ，（2）ABC的周长为 。第1小题图 第2小题图 第3小题图 2、如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC2AB，点E在线段AC上，且AE3EC，点D为OB的中点，若ADE的面积为3，则k的值为_3、如图所示，点、在轴上，且,分别过点、作轴的平行线，与分比例函数的图像分别交于点、，分别过点、作轴的平行线，分别与 轴交于点、，连接、,那么图中阴影部分的面积之和为 4、如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数(x0)的图象经过点B(1)求k
8、的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC、MABC设线段MC、NA分别与函数(x0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式 5、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C（1，）处两直角边分别与，y轴平行，纸板的另两个顶点AB恰好是直线=+与双曲线=（ m0）的交点（1）求m和k的值;（2）设双曲线=（ m0）在A，B之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行且与线段AB交于M，N两点，请探究是否存在点P使得MN= AB，写出你的探究过程和结论.6、已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边
9、上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由部分答案：【例2】(1)根据题意，由图像可知点A的坐标为（1，6），代人中，得，m=5, 一次函数的解析式为：（2）过点B作直线BD平行于x轴，交AC的延长线于D.点C到y轴的距离为3，C点的横坐标为3. 又C在双曲线上，y=,即C（3，2）直线y=x+5和双曲线交于点A, B. 解方程组得，B（6，1）设AC的解析式为，把点A（1，6），点C（3，2）代人得，
10、解得，,y=2x+8. 当y=1时1=2x+8,x=4.5,即点D（4.5，1）=21. 例4变式解析：过点A、B分别作AMx轴于点M，ANx轴于点N.则CBNCAM，.设BN=h，则AM=mh.由点A、B在反比例函数的图象上，.SOAB= S四边形OABN SOAM= S四边形OABN SOBN= S梯形AMNB=.【例6】解: (1)据题意知: A(0, 2), B(2, 2) ，D（4，）, 则 解得抛物线的解析式为: -4分 (2) 由图象知: PB=22t, BQ= t, S=PQ2=PB2+BQ2=(22t)2 + t2 , 即 S=5t28t+4 (0t1) -6分假设存在点R,
11、 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.S=5t28t+4 (0t1), 当S=时, 5t28t+4=,得 20t232t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去）-7分此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为 即R (3, )，代入, 左右两边相等，这时存在R(3, )满足题意. 【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为即(1, ) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，)代入, 左右不相等, R不在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(3, )满足题意. -11分（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，）课后测控6小题：（1）证明：设，与的面积分别为，由题意得，即与的面积相等（2）由题意知：两点坐标分别为，当时，有最大值（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为由题意得：，又，解得存在符合条件的点，它的坐标为
中考数学思维方法讲义【第4讲】反比例函数应用问题含答案
