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1、 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2013年南京市中考第26题已知二次函数ya(xm)2a(xm)（a、m为常数，且a0）（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D当ABC的面积等于1时，求a的值当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值，拖动点A可以改变m的值分别点击按钮“m1”、“m2”、“m3”，再改变实数a，可以体验到，这3种情况下，点C、D到x轴的距离相等请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点
2、A可以改变m的值，竖直拖动点C可以改变a的值分别点击按钮，可得到ABC的面积与ABD的面积相等的三种情形。思路点拨1第（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m1,0)，AB12当ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为23当ABC的面积与ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等4本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细满分解答（1）由ya(xm)2a(xm)a(xm)( xm1)，得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m1,0)因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点（2）由ya(xm)
3、2a(xm) ，得抛物线的顶点坐标为因为AB1，SABC，所以a8当ABC的面积与ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为，将代入，得解得图1第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为，将代入，得解得图2 图3考点伸展来源%:*中教网&第（1）题也可以这样说理：由于由，抛物线的顶点坐标为当a0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；当a0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点第（1）题也可以用根的判
4、别式说理：由ya(xm)2a(xm)ax2(2m1)xm2m，得0因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细例2 2013年南昌市中考第25题已知抛物线yn(xan)2an（n为正整数，且0a1a2an）与x轴的交点为An1(bn1,0)和An(bn,0)当n1时，第1条抛物线y1(xa1)2a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推 （1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_，_)；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_，_)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶
5、点坐标满足的函数关系式是_；（3）探究下列结论：若用An1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An1 An；是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由备用图（仅供草稿使用） 动感体验请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线yx(x0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线yx(x0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直
6、线截抛物线所得的线段都相等思路点拨1本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算2最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上3这个备用图怎么用？边画边算，边算边画满分解答（1）将A0(0,0)代入y1(xa1)2a1，得a12a10所以符合题意的a11此时y1(x1)21x(x2)所以A1的坐标为(2,0)，b12将A1(2,0)代入y2(xa2)2a2，得(2a2)2a20所以符合题意的a24此时y2(x4)24(x2)(x6)（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是yx（3）如图1
7、，A0A12由第（2）题得到，第n条抛物线yn(xan)2an的顶点坐标为(n2，n2)所以yn(xn2)2n2n2(xn2)2(nxn2)(nxn2)所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An1(n2n,0)和An(n2n,0)所以An1 An(n2n)(n2n)2n如图1，直线yx2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用第一步，由yn(xan)2an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知an0，因此先画出顶点所在的射线yx(x0)第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点
中考数学压轴题精练：代数计算及通过代数计算进行说理含试题含详解
