拓扑学测试题

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1、拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（）A.列紧B.序列紧C.可数紧D.紧致下列拓扑性质中，没有遗传性的是（)A.人空间B.人空间C.八空间D.耳空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是( )A.人空间B.人空间TC”3空间D.人空间设X多于两点，56是x的两个拓扑，则下列命题不成立的是（）（A）门是X的某个拓扑的基；（B）可c迪x的一个拓扑；（O叭5?是x的一个拓扑；（D）5 er?是x的某个拓扑的基。设A为度量空间（X，）的任一非空子集，则下列命题不成立的是（）（A）才为A的边界点当且仅当（匕A）= （x，X_A） = 0（B）X为A的聚点当且仅

2、当（x，A） = （0 *为A的内点当且仅当（x，X-A）；（D）x & A 当且仅当 （x, A） = 0.二、二、判断题（每小题5分，共25分）三、仿紧空间是度量空间.（）四、商映射一定是闭映射或开映射.（）五、局部道路连通空间不一定是道路连通空间.（）六、连通空间一定是局部连通空间.（）七、若/：3皿连续，则3/eR1,使厂不可数.（）八、三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）九、举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、设X =0，1，2,试写出X上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分）十二、 若X满足人公理，则X中任一子集的导集都是闭集. 十三

3、、证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、证明至少有两个点的T,空间的连通子集一定是不可数集.十五、 证明X为Hausdorff空间当且仅当A = （x,x） I x e X是XxX的闭集.答案一 X 选择题 1. A 2. D 3. D 4. C 5. B二 是非题 K x 2. x 3. V 4. x 5. V三、解答题1.举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解例如 X=O,1, r = 0,O,X, 0=1.2. 设X=0，l，2,试写出X上的所有拓扑.解2个开集的共有1个：O,0,1, 2, 3个开集的共有6个： e , 0, 0,1,2, ，0,1,2, e ，0,1,2

4、,2, 1,2, 0, 1,2, 0, 0,1, 0, 1,2, O, 0, 2, 0,1,24个开集的共有9个： e , 0, 0,1, 0,1, 2 , , 0, 0,2, 0,1,2 , ,1,2, 0,1,2 , 0 ,，0,1, 0,1,2,e,0,2, 0,1,2, 3,1,2, 0,1,2, e, o,o, 1, 0,1,2, e, o,0,2, 0,1,2，1,2, 0,1,25个开集的共有6个：2, 0, 0, 2, 0,1, 0,1,2, O,，1,2, 0,1, 0,1,2,，1,2, 0,2, 0,1,2，1,2, 0,1,2O, 0,，0,1, 0,1, 2 2, 0

5、, 2, 0, 2, 0,1,26个开集的有6个：0, 1, 0, 2, 0,1, 0,1,2, 0, 0, 1, 1,2, 0,1, 0,1,2, ，1,2, 0, 2, 0,1,2,2,，2, 1,2, 0,1, 0,1,2, 2, 0,，0,1, 0, 2, 0,1,2, 0, 0, 2, 1,2, 0,2, 0,1,28 个开集的有 1 个：0, 0,，1,2, 0,2, 0,1, 0,1,2因此共有1+6+9+6+6+1=29个拓扑四、 证明题1.若/满足人公理，则X中任一子集的导集都是闭集.证明 设AuX,只要验证（A）是开集. 力已（町，则有开邻域u使得（x）nA=0,由久公理知

6、，x是开集，从而Hu，于是 U:所以是的内点.2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明 设X是从尺除去可数个点后所得到的空间，DiyeX，若XHy，设L是线段xy的中垂线，设用 （血皿）表示连接忑”乙的折线，由于这样的折线有不可数多条，而X的余集Y是可数集，所以至少有一条折线 （X,y,z）不含丫中的点，这表明/是道路连通的.3. 证明至少有两个点的匚空间的连通子集一定杲不可数集.证明 设X是至少有两个点的连通的人空间丫的子集，设儿是X中的两个不同点，令A = x,B = y则a和 3是子空间X中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数/：Xt0,1使得， /（x）

7、= O,/（y） = l,又因X是连通的，故/（X）是，1】中的连通集，而O，lw/（X）,因此/（X）=O,1,于是x 一定是不可数集.4. 证明X为Hausdorff空间当且仅当 = （圮尤）丨x已X是XxX的闭集.证明（必要性）要证为闭集，只要证它的余集是开集。（x，y）e，a，y）为内点.由（x，y）wd知，因x 为Hausdorff空间知，存在开邻域，的开邻域,使得UcV=0,于是& ,所以（儿刃为 内点，这就证明了 为闭集.（充分性）对PxjLxHy,由的定义知，即由为闭集知，为开集，于是存在开集使得 （xOet/xVAA*；由xl/nA知，为的不相交的邻域，这表明X为Hausdo

8、rff空间.测试题二、（15 分）（1）叙述T是集合X上的拓扑的定义；（2）证明：屮MX是可数集冋0是上的一个拓扑.二、（15 分）（1）叙述完备格的定义；（2）设（乙兰）是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.三、（10分）设孑5 = （O,l）U3，求4眉分别在数直线E =及可数补空间中的闭包和内部.四、（15分）（1）叙述石空间的定义；（2）证明：若（X，T）是石的，则X内每个网至多有一个极限点.五、（10分）设）,3, W）是两个拓扑空间，,叙述/是开映射的定义，（2）证明：/是T Tw连续的当且仅当Tf六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：石空间的每个紧

9、子集是闭的.七、（15分）（1）叙述：Q是集合x上的一个度疑的定义；2）证明：若度虽空间是可分的，则它是第二可数的.答案一、（15分）（1） T称为集合X上的拓扑，若T满足：（a） X 邑,0 T;（c） V aUt = UaUt.（2）证明：因X-X=0是可数集，故XETf0ET.VueT,则是可数集，从而X-VI 7 =（X ）U（X7）是可数集，即0aUt,也力是可数集，于是13-Q是可数集，从而 X-Ua=I（*-Q是可数集，即UaUt.,因此t九区:区一是可数集冋是 X上的一个拓扑.（3）可数补拓扑是爼的不是石由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是爲空间.对兀卩丘&“儿 则囚

10、-且兀因此它是爲空间.二、（15分）（1）若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.（2）证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则VB = OZ否则令D 表示B的所有上界之集，对每个廉恥显然是D的一个下界，于是八即八D是B的一个上界,这样八是 B的最小上界，即VB D .即L的每个子集有上确界，故L是完备格.三、（10分）解：在数直线吐（S）中，心0八养0,1冋3,去（0,1）可数补空间中，A = A,A Vc） = （aA）V（a Ac） f 则(a vi) A (a vc) = (a vi) Atz) v (q vb) A c)=a v(o A

11、c) -a v(tj Ac) v(/nc) -a v(c? Ac) v(i Ac)二 a v(? Ac)=a A(a Vc) A(/? Vc) = a/(a vc) A(i vc) _A(i vc)测试题三一、（每题3分，共24分）1. 任意多个连通空间的积空间一定是连通的.2 紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.3. 局部连通空间的闭子集也是局部连通的.4 . 任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.5 任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.6 度量空间X紧致的充要条件是X上的任意一个连续函数都是有界的.7. 若A在X中稠密，B在A中稠密，则B定在X中稠密.8. 可分空间一

12、定满足G公理二、（20分）设（E/）是一个度量空间。证明下述两个结论等价：1） 0）是可分得。2）0）的拓扑有一个可数拓扑基。三、（20分）证明：任一紧度量空间（应加）是可分的。四、（每题18分，共计36分）a）如果和尼都是用的开集，爲，并且X与爼1兀都道路 连通，则逅与尼也都是道路连通的.b） 若*的每个紧致子集都是闭集，则*中的序列的极限是惟一的.答案一、是非 1、J 2、J 3、X4、V5. V 6 V 7 V 8. X二、证明：I) =2).由于(E/)是可分的，故耀有一个可数的稠密集合咪 眄。证明B = 耳无,丄卜認处川-(、 呻J是(色引的一个可数拓扑基。f n.他加)TE事实上，

13、由于Mx是可数集，映射片 _I丿显然是单全射。故B是可数集。现设UuE是任一开集。丄于是去羽为： Q使得讥S u Z7 现在设统e M使得万W。由于伸阿在耀中稠密，故存在兀使得(n兀XE BX* ,1羽丿。从而1 m)V帑丿。那么6 N (”力“兀)+讥鬲X)右+二方( B X- uB&P)uU m丿此即表明川*力)，从而并且J A 兀，一V 帑丿。于是7是B的元素的并。故B是(EN)的一个可数的拓扑基。2) F)设B = (5lweAf是(E町的一个可数拓扑基。WwN,任取加场。那么兀吸砂是可数基。为 了证明此可数集在左中稠密，只需证明对左的任一开集U羊0,卩【兀|冷旳#。厂r(zSE=U

14、B 1&一三、证明：4X.水uE故1 U)这是显然的。因为B是拓扑基，故至少存在氏wB使得氏u 于是xg。因此仗|必已眄是超的一个可数 稠密集，即(应加)是可分的。()() T-()1 )。的紧性表明存在有限个忑亦2丄使得令2=春叫花,L ,%, D二止*2。则D是運的一可数集。1下面证明。在左中稠密，也即B = E9为此设兀禺。于是存在皿盘使得齐。从而存在坷使得(w r君 B护，-X,10于是I Dc5(A,ff)I Do此即表明xeB、因此E二刀。四.a)如果，X和禺都是X的开集，*=禺3兀，并且用与XC禺都道路连通，则禺与也都道路连通.证明下证禺是道路连通的.Vx0 e -T2? X!

15、e n X2 因乂道路连通.故有乂中的道路0川乂使a（0）二心卫（1）二忑，易见因为戶区）是巴1的开集，所以有“，使【O/o + EuJX）,由岛的定义知，存在张從+ ）使他（0）二哄1）“2（1）二兀1因此Q水是拓中的从忌到习道路.这表明天ic禺中的点帀在逅中的连通分支勺匸扎-羽，因益c羽道路连通，故【xiln X、c %2,从而勺二区-禺2（Xc爲）二禺，于是 【可】二益，即逅是道路连通的.同理可证托是道路连通的.b）若x的每个紧致子集都是闭集，则x中的序列的极限是惟一的证明 首先，单点集总是紧致的，从而用满足忑公理，假如用的一个序列（兀）有两个不同的极限忑力b註Q,则 *册是包含必的开集

16、，它必定包含了的几乎所有项，也就是说伐只有有限项为禺，作子集二兀|亏疋坊u。,则虫紧致，从而是闭集，莊是乃的开邻域，它最多只能含伐的有限多项，从而X卄b .测试题四-、（20分）证明：T= “厂収-卩是川数集则构成X上的拓扑：并说明该拓扑是人的还是丁2的.二、do分）设X, 丫是两个拓扑空间，/：XtY.证明以下两个条件等价：1） /连续；2）对于丫的任何一个子集B, B的内部的原象包含于B的原象的内部，即/）u（，（）.三、（20分）1、叙述完全正则空间的定义；2、证明：每一个完全正则空间都是正则空间。四、（20分）1） X中任一既开又闭的连通子集都是X的连通分支.2）如果X只有有限个连通分

17、支，那么X的每个连通分支都是既开又闭的.举例说明如果X有无限个连通分支，结论未必成立.五、（20分）1、叙述紧致空间的定义：2、证明：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.一、证明：因x-x=0是可数集，故XeT, 0eT. VVeT,则XU,XU是可数集，从而X-UCV = （X-t/）U（X-V）是可数集，即OVeT; vAVAca, XA是可数集，于是（XA）是可数集，从而X-Ua= n（X-A）是可数集，即UaGt.,因此t= UuX:X_t/是可数集哄0是x上的一个拓扑. 可数补拓扑是T的不是T-由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是人空间.对则y g/?-y e/V（.v）

18、且 WR_xwN（y）,因此它是7；空间.二、证明：“亠）广W）开，又广W）u厂所以广W）u（广2） 6）U开,广W戶广）=（广0）,所以广2） = （广W）匚三、证明：设C为X的既开又闭的连通子集，A为X的连通分支且CuA，则C在子空间A中也是既开又闭的。因 为A连通且CH0,故必有C = A,即C是X的连通分支.1）设%,其中G（m）为x的连通分支.由于闭于x,从而巧,UC日也闭于X ,又因不同的连通分支不相交，故开于X,即是既开又闭的（巧=1,2,/）。当X有无限个连通分支时，结论未必成立。例如X = Q作为0的子空间.色已, 为连通分支，但不是的 开子集。四、1设X是一个拓扑空间。如果

19、对于任意XWX和X中任何一个不含点X的闭集3存在一个连续映射 /：Xt0,1使得/（x） = 0以及对于任何yeB有则称拓扑空间X是一个完全正则空间。2、证明：设X是一个完全正则空间。设xgX , B是X中的一个不含点的兀闭集。则存在连续影射/：Xf 0,1使 广1血丄1】得和对于任何bwB。于是 IL 2丿和 1|_2丿分别是点X和闭集3的开领域，并且它们无交。这表明X是一个正则空间。五、1、设X是一个拓扑空间。如果X的毎一个开覆盖有一个有限子復盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间.2、设丫是紧致空间的一个闭子集，如果a是丫的一个覆盖，它由x中的开集构成，则b=au是x的一个开 發盖，设比是B的

20、一个有限子族并且覆盖X,则B|T便是A的一个有限子族并且覆盖X,这证明丫是的X 个紧致子集.测试题五一、（20分）1.叙述拓扑空间的定义；2. 证明：对无穷集X,集族T cn=G-.XG为可数集29为拓扑； A = 丄：“ e N3. 在X=R且上述拓扑下，求人人并做出说明，其中 ”二、（20分）1.叙述刁空间的定义；2. 证明：（X，t 为石空间 obxe X,x = x；3. 说明有限补空间（5）是人空间，但不是空间.1 叙述正则空间的定义；2. 证明：(X，t |为正则空间 OF XyU ee N(x),使得 V四、(io分)叙述拓扑空间上连续函数的定义，并给出函数连续的两个充要条件.五

21、、(15分)叙述度量空间的定义并证明度量空间为第二可数空间的充要条件为它是可分空间.六、(10分)叙述紧空间的定义并写出(X，T)为紧空间的两个充要条件.七、(10分)叙述连通空间的定义，并给出空间(X)为连通空间的三个充要条件.答案一. (20 分)1设x是一个集合，TyP, X称X为上的一个拓扑，若T满足下面的三条：(1) XeTz *T；(2) U,VwT =UcVwT；(3) VAczT=kjAGT .2. 集族满足上述的三条开集公理，3. A =A，A0二. (20 分)1. 空间X称为刁空间且xHy,存在u w N(x),V w N(y)使yU且xgV ；2. 设X是刁空间，对每个

22、-V主则存在V e N(y),x $ V于是y点x,因此x = x.反之，由每个单点集是闭集，对每个匕 已X且X工儿则y eX y e N(x),x eXxe N(y)，即X是刀的;3. 由有限补空间 火L)的任意两个非空开集之交不空知它不是耳空间且工儿贝ijy 圧 Ry wN(x),x$Rx wN(y),即 X 是 了 的.三.(苗分)1. 设(X，t鬼拓扑空间.称X为正则空间O VF闭于X, F ,存在几N(x),V g N(F)使U eV = 0 ；2. =设X是正则空间，UwN(x),由闭于X,存在Ve/V(x),Ge(X(/)使得VcG = ,于是V u V u G u Iu Vx

23、eX,FcX(xe F),. xeXFe N(x),由已知，存在卩已 N(x),0 cXF;令 U = X 0w N(F),则 U Z = ,故X是正则空四.(15分)1 .设(X，t)，(Y，u)是两个拓扑空间,若对eXWeN(/(x),mgN(x),/UuU,则称/是T-U连续的；2 . (a) VV f (H)eT（b） Web ,厂.五. （15分）（1）。是集X上的一个度量o Q ： X X X t 0,+s）满足下面的度量公理：（1）Q（x,y） = 0 o x = y;pgy） = q（”x）;（3）q（x,z） px.y） + p（乙y）.9（2）必要性是显然的，下证可分度虽空

24、间（X，。）是第二可数的.（X ） X & A设A = W：jwN是x的可数稠子集，对每个mN令片一 P !n 1 ，则是X的可数开集族；下面说明B是X的基.（）w N耳 U 事实上，对每个存在g，因A是X的稠子集，有旺 e Bx, J-）,x e 第（齐,J-） c U,2n这样2% B是X的可数基.六. （10分）1.拓扑空间x称为紧的 X的每个开覆盖有有限子覆盖；2. （1） X内每个具有有限交性质的闭集族具有非空交；（2） X内每个网有聚点.七. （10分）空间X称为连通空间：若这样的子集人不存在，人3满足Acb = BcA = 0；充要条件：（1） X没有由两个闭集组成的分划；（2）

25、 X没有由两个开集组成的分划；（3） X的既开又闭的子集只有 X.测试题六一、（20分）1.叙述拓扑空间的定义；2. 证明：对无穷集X，集族Tf =:X/G为有限集90为拓扑；3. 在x =R上述拓扑下，求A ,A-,并做出说明，其中A = （O,1）uAwT.2.集族满足上述的三条开集公理，3. A =A,A、0二、(20分)1,空间X称为几空间o Vx且XH儿存在U e N(x) yU或存在V e N(y) x住V ；2.设X是仏空间且卅=刃，若XHy可设存在U已Ng gU即Ury =(/)由定理xy与假设矛盾： 反之 若(X，t 不是兀空间，则存在但是PU已U且w N(y),x e W于是得刃,吓何，从而x = y由条件知尤=儿矛盾 色可设x/yf这样Lly是;v的邻域，不含有，从而(厶6厶)是几空间；对任意儿)设X是正规空间，WwN(A), A为闭集，由心図存在U e N(A),H e N(WC)使得 V cU = ，五、(20分)1拓扑空间(匕和是正规的O对任意非空闭集若AcB = e,存在连续映射0,1使/(A) = O./(B) = 1.2.空间X称为全正则空间O 闭于X*x电B ,存在连续映射/:X t0,1使/(x) = 0,/(3) = l.耳的是G的,卩6的是人的；反之不成立