如何证明圆的切线

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1、如何证明圆的切线教学目标：1、理解切线的判定定理；2、运用判定定理解决有关问题；教学重点：切线的判定定理；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视教学过程设计（一）复习、发现问题1直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和O是什么关系?切线的定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线。2观察、提出问题、分析发现图(2)中直线l是O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便我们从另一个

2、侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢? 如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是O的切线发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法切线的判定定理（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2、对定理的理解：引导学生理解：经过半径外端；垂直于这条半径请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端从以上两个反例可以看出，只满足

3、其中一个条件的直线不是圆的切线（三）应用定理，强化训练一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图1，已知AB为O的直径，点D在AB的延长线上，BDOB，点C在圆上，CAB30求证：DC是O的切线图1OABCD思路：要想证明DC是O的切线，只要我们连接OC，证明OCD90即可证明：连接OC，BCAB为O的直径，ACB90CAB30，BCABOBBDOB，BCODOCD90DC是O的切线评析：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”

4、这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线本题在证明OCD90时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求OCD90二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径简称：“作垂直；证半径”图2OABCED例2如图2，已知OC平分AOB，D是OC上任意一点，D与OA相切于点E求证：OB与D相切思路：连接DE，过点D作DFOB于点F，证明DEDF即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得评析：一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径同学们一定要认真体会证明切线时常用

5、的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性变式一 已知AB是O的直径，AB=4，连接CD，且CD=OA.当OC=时（如图12），求证：CD是O的切线；变式二如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明一：连结DE，作DFAC，F是垂足. AB是D的切线， DEAB. DFAC， DEB=DFC=900. AB=AC， B=C. 又BD=CD， BDECDF（AAS） DF=DE. F在D上. AC是D的切线证明二：连结DE，AD，作DFAC，F是垂足.AB与D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF.F在D上.AC与D相切

6、.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例3如图3，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D求证：AC平分DAB思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径图3OABCD231证明：连接OCCD是O的切线，OCCDADCD，OCAD12OCOA，1323AC平分DAB评析：已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线OABCD图42341例4如图4，已知AB为O的直径，过点B作O的切线BC

7、，连接OC，弦ADOC求证：CD是O的切线思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理欲证明CD是O的切线，只要证明ODC90即可证明：连接ODOCAD，13，24OAOD，1234又OBOD，OCOC，OBCODCOBCODCBC是O的切线，OBC90ODC90DC是O的切线评析：本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识本题若作ODCD，就判断出了CD与O相切，这

8、是错误的这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的（四）切线的判定方法教师组织学生归纳切线的判定方法有三种：直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理（五）小结1、知识：切线的判定定理着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线(3)根据切线的判定定理来判定其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一3、能力：初步会应用切线的判定定理（六）作业5