51定积分的概念96191

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1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 S .?S)(xfy 矩形面积矩形面积ahhaahb梯形面积梯形面积)(2bahOxyab1x1ixix)(xfy , 0)( xf设 ,)(上上连连续续在在baxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分点 )., 2 , 1( ,

2、 , 1nixxnbaii个小区间成分将 . 1个小区间的长度表示第用ixxxiii称为区间的一个分法 T1ixixi ,1则iiixx . )( :iiixfS小曲边梯形面积对每个小曲边梯形均作上述的代替 . 的选择有关与iiSOxyab1x1ixix)(xfy . )( :11niiiniixfSS曲边梯形面积 . T 的选择有关及点与分法iS 极限过程是什么？如何求精确值？Oxyab1x1ixix)(xfy n),1,2,(i max 则则令令ixx . )(lim :10niiixxfS曲边梯形面积曲边梯形面积 . T 的选择无关及点与分法极限存在与否，i2. 2. 变速直线运动的路程

3、变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,)(tvv 且且,0)(tv求在运动时间求在运动时间 内物体所经过的路程内物体所经过的路程 S .解决步骤解决步骤:1) 分割分割, ,1iiitt任取将它分成将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经在每个小段上物体经2) 近似代替近似代替,)(代替变速以iv得得iiitvs)(,1,个分点个分点中任意插入中任意插入在在n),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度已知速度n 个小段个小段过的路程为过的路程为,3) 求和求和iniitv1)(S4) 取极限取极限 iniittv10)(limS)max(1init

4、t 取极限取极限求和求和近似代替近似代替分割分割 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所 . , )( 上的定积分上的定积分在区间在区间这种极限值，称为函数这种极限值，称为函数baxf上述两个问题的上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同 : 所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限abxo二、定积分定义二、定积分定义,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时时只要只要0max1inixxiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限值 I 为函数)(xf在区

5、间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixxf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作baxxfd)(iniixxf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba )(lim :10niiixxfS曲边梯形面积曲边梯形面积baxxfd)(iniittv10)(limS变速直线运动路程：变速直线运动路程：ttvd)(关于定积分定义的几点说明 . , )( , T ),( d)( ) 1 (有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分baxfxxfiba . d)(d)(d

6、)( )2(bababattfyyfxxf号无关：定积分与积分变量的记定积分的几何意义： 在区间a，b上，当f(x)0时，积分在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；ba y = f(x)x yO，dxxfba)(，dxxfba)( 当f(x)0时，由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，x yO y = f(x)ba y = f(x)定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值：iniixf10)(limdxxfSba)( S，dxxfba)(niiixf10)(limdxxfSba)(，dxxfba)(

7、我们对面积赋以正负号：在x轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号它是介于x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、xb之间的各部分面积的代数和abO y x y = f(x) 在一般情形下，定积分的几何意义为：，dxxfba)(o1 xyni例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni2xy iinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nn31iniixxx120102limdnlim)12)(11 (61nn下面是几个关于函

8、数可积性的定理. 运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明. 喂!上连续，上连续，在在函数函数,)(baxf.,)(可积可积在在则则baxf,)(上有界在函数baxf且只有有限个且只有有限个.,)(可积可积在在则则baxf间断点间断点,上不可积。上不可积。则函数在则函数在上无界上无界在在函数函数,)(babaxf : , 定积分反号交换积分上、下限 . d)(d)(abbaxxfxxf 1 性质0d)(aaxxf特特别别地地，四、定积分的性质四、定积分的性质 2 性质性质 . d)(d)(abbaxxfkxxfk 3 性质性质 , d)

9、(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf )( 4 对区间的可加性对区间的可加性性质性质bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)( . ba,c ,内，也可以在其外内，也可以在其外可以在区间可以在区间其中其中 . d)(d)( , , )()( babaxxgxxfbaxxgxf则若Oxyab)(xfy )(xgy 0gfAA )( 5 保号性保号性性质性质 6 性质性质,1)(baxxf若若abdxxfba)(则则Oxyab1)(xf1 )( 7 估值定理估值定理性质性质 , , )( , 则最小值上的最大在分别为设baxfmM . )(d)()(abMxxfabmba证证

10、. , )( baxMxfm由于由于baxxfd)(所以baxmabmd)( . )(dabMxMba )( 8 积分中值定理积分中值定理性质性质 , ),( ba至少存在一点至少存在一点则则 . )()(abfdxxfba使得使得Oxyab ,)( 上连续上连续在区间在区间若若baxf)(xfy ,)(Mmbaxf别为别为上的最小值与最大值分上的最小值与最大值分在在则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一上至少存在一在在),(ba, ）（点点ba使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.证证，上连续，由最值定理知上连续，由最值定理知在在因为因

11、为,)(baxf说明： 该性质的几何意义是：该性质的几何意义是：，内至少有一点内至少有一点在区间在区间),(ba为曲边的曲边梯形的为曲边的曲边梯形的为底，以曲线为底，以曲线使得以区间使得以区间)(,xfba为高的矩形面积。为高的矩形面积。面积等于同一底边上以面积等于同一底边上以)(f 可把可把xxfabfbad)(1)(.,)(上的平均值上的平均值在在称为称为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广.例6解 . 1 , 0 2上的平均值在求xy .31d0111 0 2xxy内容小结内容小结1. 定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2. 定积分的性质定积分的性质3. 积分中值定理积分中值定理矩形公式矩形公式 梯形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算近似计算作业作业 P267 1 (2)(4) , 2