高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4

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1、2.1平面向量的实际背景及基本概念一二三四一、向量的概念问题思考1.在物理中,位移与距离是同一个概念吗?现实世界中有各种各样的量,如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等,怎样正确区分这些量呢?提示位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小,没有方向,但有些既有大小又有方向,因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分.2.填空:(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.(2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量.3.我们曾经用单位圆中的有向线段定义了三角函数线,那么线段与有向线段相同吗?有向线段有哪几个要素?提示线段与有向线段是不同的,有向线段有长度、方向

2、、端点等要素.思维辨析一二三四思维辨析(2)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.一二三四思维辨析5.做一做:下列说法正确的是()A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定答案D 一二三四思维辨析二、向量的表示问题思考1.对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余弦和正切,可以用三角函数线表示;对于一个二次函数,可以用一条抛物线表示.数学中有许多量都可以用几何方式表示,你认为如何用几何方式表示向量最合适?提示由于向量既有大小又有方向,因此可用有向线段来表示.一二三四思

3、维辨析3.向量就是有向线段吗?提示不是,二者不是同一概念,它们只是一种对应关系.一二三四思维辨析4.向量与有向线段的区别与联系(1)区别:数学中的向量是自由向量,只有大小与方向两个要素.与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就相同;有向线段则有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也是不同的有向线段.(2)联系:向量可以用有向线段来表示.一二三四思维辨析5.做一做:已知向量a如图所示,下列说法不正确的是()A.也可以用 表示B.方向是由M指向NC.起点是MD.终点是M解析由向量的表示知,A,B,C正确,D不正确.答案D一二三四思维辨析三、向量的模及两个特殊向量问题思考1

4、.向量的模可以为0吗?可以为1吗?可以为负数吗?提示向量的模可以为0,可以为1,但不可以为负数.2.填空:向量的模及两个特殊向量(2)两个特殊向量:零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任意的.单位向量:长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.一二三四思维辨析3.做一做:下列说法正确的是()A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个长度单位D.零向量就是实数0解析向量的模是一个非负实数,它的方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C正确.答案C一二三四思维辨析四、向量的关系问题思考1.向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等

5、,方向同与不同而言,有哪几种可能情形?提示有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.2.填空:相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,向量a与b相等,记作a=b.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.因为向量完全是由它的方向和模确定.3.如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有什么关系?提示方向相同或相反.一二三四思维辨析4.填空:平行向量(1)定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a与b平行,通常记作ab.(2)规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量a,都有0a.(

6、3)共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此平行向量也叫做共线向量.5.做一做:下列说法正确的是()B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,ab,ab三种关系C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行D.若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合解析由相等向量和平行向量的定义知,D正确,A,B,C不正确.答案D一二三四思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)数量可以比较大小,向量也可以比较大小. ()(2)平行向量方向一定相同. ()(3)不相等向量一定不平行. ()(4)与零向量相等的向量是零向量. ()(

7、5)与任何向量都平行的向量是零向量. ()(6)共线向量一定在一条直线上. ()(7)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反. ()(9)若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同. ()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)探究一探究二探究三思维辨析平面向量的相关概念平面向量的相关概念【例1】 给出以下说法:直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量;零向量的长度为零,方向是任意的;若a,b都是单位向量,则a=b;有向线段就是向量;单位向量大于零向量,其中正确说法的序号是.解析直角坐标平面上的x轴、y轴是射线,但不是向量,故错误;由零向量的定义可知正确;若a,b都是单位向量

8、,则它们的模相等,但不一定有a=b,故错误;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故错误;单位向量的模大于零向量的模,但不能说单位向量大于零向量,向量之间不能比较大小,故错误.答案探究一探究二探究三思维辨析1.判断一个量是不是向量,关键看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.2.零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.3.单位向量的长度都是1,但方向不确定.4.向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1下列说法正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定

9、,因此零向量不能与任意向量平行解析向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确.答案B探究一探究二探究三思维辨析平面向量的表示平面向量的表示【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:分析先确定起点,再根据大小和方向确定出终点,即可画出向量.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.2.注意事项:书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写字

10、母表示时不要忘了字母上的箭头.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.答案12 探究一探究二探究三思维辨析相等向量与共线向量相等向量与共线向量角度1相等向量与共线向量的内在关系【例3】 判断下列命题是否正确?说明理由.(3)两个共线向量,若它们的起点不同,则终点也一定不同;(4)若向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;(5)两个起点相同而且相等的向量,其终点必相同;(6)两个有共同终点的向量,一定是共线向量.分析根据共线向量、相等向量的概念进行判断分析.探究一探究二探究三思维辨析解(1)错误,平行向量也叫

11、做共线向量,所以两个共线向量不一定在同一条直线上;(3)错误,共线向量的长度不一定相等,当它们起点不同时,终点可以相同;(4)错误,零向量的方向是任意的,而零向量与任意向量都平行;(5)正确,由相等向量的定义可知;(6)错误,任意两个向量的终点都可以是相同的,当它们起点不同时,可以不是共线向量.探究一探究二探究三思维辨析角度2向量在平面几何中的应用 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量

12、的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.3.对于共线向量所在直线的位置关系的判断,要注意直线平行或重合两种情况.4.证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.5.证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析对向量的有关概念理解不清致误【典例】 已知下列命题:若|a|=0,则a为零向量;若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若ab,则|a|=|b|;所有单位向量都是相等向量;两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个错解C错解错在什么地方

13、?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示由于对零向量、单位向量、相等向量、平行向量等概念理解不清,混淆它们之间的区别与联系导致错选.正解正确;由|a|=|b|得a与b的模相等,但不确定方向,故错误;错误;所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故不正确;正确.答案A探究一探究二探究三思维辨析明确向量及其相关概念的联系与区别:(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素:起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向

14、量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.123451.下列各量中是向量的是()A.时间 B.速度C.面积D.长度解析速度既有大小又有方向,是向量,其余均是数量.答案B612345答案A 612345答案D 6123454.当向量a与任一向量都平行时,向量a一定是.解析由零向量的规定知,只有零向量与任一向量都平行.答案零向量6123455.如图,在正方形ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有向量中,相等的非零向量共有多少对?6123456123456