上海考数学试卷

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1、2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一 填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合 A1,2,3 , 集合 B3,4,则A B.2.不等式 x1 3 的解集为。3.若复数 z 满足 2 z1 36i（ i 是虚数单位），则 z。4.若 cos1。，则 sin235.若关于 x 、 y 的方程组x2 y43xay无解，则实数 a。66.若等差数列an 的前 5 项的和为 25 ，则 a1a5 =。7.若 P 、 Q 是圆 x2y22x4 y4 0 上的动点，则PQ 的最大值为。8

2、.已知数列 an 的通项公式 an3n ，则 lim a1a2a3an。nan2n9.的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。若 xx10.设椭圆 x2y21的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，则使得F1F2P 是2等腰三角形的点P 的个数是。11.设 a1 , a2 ,a6 为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1a2 a3 a4a5a63 的不同排列的个数为。12.设 a ， bR ，函数 f ( x)xa1,2 上有两个不同的零点，则f1 的取值b 在区间x范围为。二、选择题13.函数 f ( x)x1 2 的单调递增区间是（）。(A

3、)0,(B)1,(C),0(D),114.设 aR ，“ a0 ”是“ 10 ”的（）。a(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C) 充要条件(D)既非充分又非必要条件15. 过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。(A) 三角形(B)长方形 (C)对角线不相等的菱形(D)六边形16. 如图所示，正八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为2 . 若 P 为该正八边形上的动点，则A1 A3A1 P 的取值范围为（）A6A5P(A)0, 862(B)22, 862A7(C)862 , 22(D)862, 862A8三

4、、解答题A1A217. 如图，长方体 ABCDA1B1C1 D1 中， ABBC2 ,AA1 3.（ 1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积；（ 2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小 .A4A32xa18. 设 a R , 函数 f ( x).2x1（ 1）求 a 的值，使得f ( x) 为奇函数；a 2对任意 xR 成立，求 a 的取值范围 .（ 2）若 f x219. 某景区欲建造两条圆形观景步道M 1 、M 2（宽度忽略不计） ，如图所示， 已知 ABAC ，ABACAD60（单位：米），要求圆 M 1 与 AB 、 AD 分别相切于点B 、 D ，圆 M 2与 AC 、 AD

5、分别相切于点 C、 D.（ 1）若 BAD 60 ，圆 M 1 和圆 M 2 的半径（结果精确到0.1米）；（ 2）若观景步道 M 1 与 M 2 的造价分别为每米 0.8 千元与每米0.9千元。如何设计圆 M 1 、M 2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）。20. 已知双曲线： x2y21（ b0 ），直线 l ： y kx mb2（ km 0 ）， l 与交于 P 、 Q 两点， P 为 P 关于 y 轴的对称点，直线 PQ 与 y 轴交于点 N 0,n .（ 1）若点 2,0是的一个焦点，求的渐近线方程；（ 2）若 b1，点 P 的坐标为1,0 ，且 NP

6、3 PQ ，求 k 的值；2（ 3）若 m2，求 n 关于 b 的表达式。21. 已知函数 fxlog 21x1x（ 1）解方程 f x1；（ 2）设 x1, 1， a1,，证明： ax11,1 且 fax1f xf 1 ;axaxa（ 3）设数列xn 中， x11, 1 ， xn11 n 1 3xn1 ， nN *, 求 x1 的取值范围，使得3xnx3 xn 对任意 nN*成立.2017 年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一 填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设集合 A1,2,

7、3 ,集合 B3,4 ,则 AB.【知识点】集合的运算【解】A B1,2,33,41,2,3,4，故A B1,2,3,4 .2. 不等式 x1 3 的解集为。【知识点】绝对值不等式的解法【解】 x 133x132 x 4 ，故原不等式的解集为2,4 。3. 若复数 z 满足 2 z136i （ i是虚数单位），则 z。【知识点】复数的基本概念、运算【解】 2 z 46i ， z23i ，故 z2 3i 。4. 若 cos1。，则 sin23【知识点】诱导公式【解】 sincos1，故 sin123.23x2 y4无解，则实数a。5. 若关于 x 、 y 的方程组3xay6【知识点】线性方程组解

8、的判定x2 y4直线 l1 ： x2y4 与直线 l2 ： 3x ay6 互相平行，【解】方程组3xay无解6所以 3a6 ，解得 a 6。1246. 若等差数列an的前 5 项的和为25 ，则 a1a5 =。【知识点】等差数列的前n 项和，等差中项【解】由 S55a325 得 a35 ，所以 a1 a52a3 10 ，故 a1 a510 .7. 若 P 、 Q 是圆 x2y22x4 y 40 上的动点，则PQ 的最大值为。【知识点】圆的一般方程，圆的性质【解】由 x2y22x4 y40 得 x1 2y 2 21，所以半径 r1，故 PQ 的最大值为 2.8. 已知数列an 的通项公式 an3

9、n ，则 lim a1a2 a3an。nan【知识点】等比数列的前n 项和，数列极限【解】由 an3n 得首项 a13 ，公比 q31，所以 a1a2a3an3 1 3n3 3n1 ，132a1 a2a3an33n1313lim21故 limnlimnnann3n2322n9. 若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。xx【知识点】二项式定理n【解】令 x1，则x23n729 ，解得 n6；x6r所以x2展开式的通项 Tr 1C6r x6 r2C6r 2rx62rxx令 r3，则 T4C63 23160 , 故所求的常数项为160.10. 设椭圆 x2y21的左、右焦点

10、分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，则使得F1F2P 是2等腰三角形的点P 的个数是。【知识点】椭圆的标准方程及其性质，分类讨论思想【 解 】 由 x2y21 得 a22,b21，所以ca2b21，故 FF22c 2 且21F11,0 , F2 1,0 .（ 1）若点P 位于椭圆的短轴的端点处，F1 F2 P 是等腰三角形，此时点P 有两个；（ 2）若点P 在椭圆上，则PF2 max21； PF2min2 1.，所以2 1 F1F22 1, 故以 PF1 , F1F2为两腰、 PF2 为底边构成等腰三角形，此时点 P 有两个；同理以 PF2 , F1F2为两腰、PF1为底边构成等腰三

11、角形， 此时点 P有两个；综上（ 1）（ 2）满足条件的点P 的个数为 6 个。11. 设 a1 , a2 ,a6 为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1a2a3a4a5a63 的不同排列的个数为。【知识点】排列、组合【解】 根据题意可知， 若 i1,2,3,4,5,6 ； j1,2,3,4,5,6 ，且 ij ，则 aia j1,2,3,4,5即 aia j 的最小值为1，当 a1a2a3a4a5a63 时，只有 a1a2 a3 a4a5a61，所以在1,2与 2,1中选出一个，在3,4与4,3中选出一个，在5,6 与 6,5 中选出一个，然后将选出的三个元素全排列，故不同排列的

12、总数为 C21 C21 C21 P3348 .12. 设 a ， b R ，函数 f ( x) xa1,2 上有两个不同的零点，则f 1 的取值b 在区间x范围为。【知识点】函数性质的综合，不等式的基本性质【解】方法1 令函数f ( x) xab 在区间 1,2上有两个不同的零点分别为x1 、 x2 ,x且 x1x2 ，所以 1x12 、 1x22 ，故 0 x111、 0x211 （ *）令 f ( x)0，则 xab 0 ，即 x2bxa0 （ x0） （ * ）x故 x1 、 x2 是（ * ）的解，所以 x2bx a (x x1 ) x x2 0ax2bx ax x1 x x2f (x

13、) xbxxx于是 f (1) (1x1 )(1x2 )(x1 1)( x21)由（ *）可知 0(x11)( x21) 1，即 0f (1) 1。方法 2 f 1ab1由于函数 f ( x)xab在区间 1,2上有两个不同的零点，则必有a0 。xa且 1a2，即1a4 ，此时 x2a （当且仅当 xa 时，等号成立）xaab0，即 xb令 xxxaa记 g (x)x， yb ，则函数 g (x)x1,2上与函数 yb 的图像有x在区间x两个不同的交点。由于 g(1)1a, g( 2)2a ，再令 1a2aa10 得 a22a ，则 2 a22（ 1）若 1 a2，则 1 a 2b 1 a21

14、a2可行 域为b2a ， 其端点分别为2,3、 2,2 2、1,2。所以当ba1a2, b3或a1, b2时 ， ab10 ； 当 a2,b2 2时，a b1322 。此时0f (1)322 ；（ 2）若 aa3，则2 2b 3 ，即 3 b2 2 ，2 ，则 1 a 22所以 01ab3 22，此时 0f (1)322 ；（ 3）若 2 a4 ，则 1 a 2a ，则 2 ab 2 a ，221a2可行域为b2a其端点分别为2,3、 4,4、 2,2 2ba22当 a 2, b3 时 ， a b1 0 ； 当 a4, b4 时 ， ab 1 1 ； 当a2, b22 时， ab132 2 .

15、 此时， 0f (1)1；综上（ 1）（ 2）（3）可得， 0f (1)1，即 f (1) 的取值范围是0,1 .方法 3 令 f ( x) xab0 ，则 x 2bx a 0xa故“函数 f ( x)xb 在区间 1,2上有两个不同的零点”等价于“关于x 的方程xx2bx a0在区间1,2 上有两个不同的根。 ”记 g (x)x 2bxa ，对称轴为 xb ，则其图像在区间 1,2 上与 x 轴有两个不同20b 24a01b24 b2的交点，需满足条件：2可行域端点为3,2 、2,1、1ba0g(1)042ba0g(2)04,4，故当 b3, a2 或 b2, a1时， f (1) ab 1

16、 0 ；当 b4, a4 时，f (1)a b1，所以 0f (1)1，即 f(1) 的取值范围是0,1 .方法 4要使得函数f (x)xab 在区间1,2上有两个不同的零点， 必有 a0，b 0，x否则不成立。还需满足如下条件：1a1a42ab0f(1)012ab0，以下解法同上。fa0af(2)02b02二、选择题13. 函数 f ( x)x 12的单调递增区间是（）。(A) 0,(B)1,(C),0(D),1【知识点】函数的单调性【解】函数f ( x)x1 2图像的对称轴为直线x 1 ，且该抛物线的开口向上，所以该函数的单调递增区间为1,，故正确选项为B.14.设 aR ，“ a0 ”是

17、“ 10 ”的（）。a(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C) 充要条件(D)既非充分又非必要条件【知识点】分式不等式的解法，充要条件【解】10a0, 所以a0 是10 成立的充要条件. 故正确选项为C.aa15. 过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。(A) 三角形(B)长方形(C)对角线不相等的菱形(D)六边形【知识点】平面的性质、截面【解】不可能是三角形，故正确选项为A16. 如图所示，正八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为2 . 若 P 为该正八边形上的动点，则A1 A3A1 P 的取值范围为（）

18、A6A5PA7(A)0, 862(B)22, 862A4(C)862,2 2(D)862,862A8A3【知识点】平面向量的数量积【解】 A1A3A1 A2 A2 A3，当点 P 在 A8 处， A1A3A1P 取最小值，A1A2此时 A1PA1 A8 A1A3A1PA1 A2A2 A3A1A822cos135cos902 2 ；当点 P 在 A4 处， A1A3A1P 取最大值， A1 PA1 A2A2 A3A3 A42A1 A3 A1P A1A2 A2 A3A1 A2A2 A3 A3 A4A1 A2A2 A3A1A2A2 A3 A3 A4284222862.2所以 A1A3A1P 的取值范

19、围是22,862，故正确答案为B三、解答题17. 如图，长方体 ABCDA1B1C1 D1 中， ABBC 2, AA13 .（ 1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积；（ 2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小 .【知识点】椎体的体积，异面直线所成的角【解】（ 1）四棱锥 A1ABCD 的底面为正方形ABCD , 其面积 S4 ;由于 A1A底面 ABCD ,所以 A1 A 是四棱锥 A1ABCD 的高，故 h3 ，于是 VA1 ABCD1Sh143 4 .33（ 2）由于 A1 A / D1D , 所以AA1C 或其补角即为异面直线A1C 与 DD1 所成角。在三角形 AA1C 中

20、， A1 A3,AC 22, A1C22223217由余弦定理可得， cosAA1C917 83 170 , 所以 cos AA1C3 17，23171717即AA1Carccos 317，故异面直线A1C 与 DD1 所成角的大小为arccos 317.171718.设 aR , 函数 f ( x)2xa2x.1（ 1）求 a 的值，使得f ( x) 为奇函数；（ 2）若 fa 2对任意 xR 成立，求 a 的取值范围 .x2【知识点】函数的奇偶性，指数函数的性质，分类讨论思想【解】（ 1）函数f ( x)2xa2x的定义域为 R，1由于 f ( x) 为奇函数，所以对于任意实数x , 均有

21、 f ( x)f (x) 成立即 2 xa2xa 对于任意实数x 都成立 , 所以 1a 2x2xa2 x12x11 2x1 2x于是 1 a 2x2xa , 即 1a 1 2x0 , 所以 a 1 .（ 2） f xa 22xaa 2 ，由于 2x 10 ，故 a 2xa 222x12若若a0，则 02 ，不等式恒成立；a0，则 2xa 2，因为 y 2x0 ，所以 a 20，解得 0a 2 ；aa若 a0 ，则 2xa 2，此时不等式不是恒成立。a综上所述，实数a 的取值范围是0,2 。19. 某景区欲建造两条圆形观景步道M 1 、M 2（宽度忽略不计） ，如图所示， 已知 ABAC ，A

22、B ACAD60（单位：米），要求圆 M 1 与 AB 、 AD 分别相切于点B、D，圆 M2与 AC 、 AD分别相切于点C、 D.（ 1）若BAD60，求圆 M 1 和圆 M 2 的半径（结果精确到0.1 米）；（ 2）若观景步道 M 1 与 M 2 的造价分别为每米0.8 千元与每米0.9 千元。如何设计圆 M 1 、M 2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1 千元）。【知识点】三角比，建立函数关系式，基本不等式【解】（ 1）已知BAD 60 ，得圆 M 1 的半径为AB tan1BAD60 tan3034.6 （米）。2又 CAD906030, 得圆 M 2的半径

23、为AC tan1ACD60 tan1516.1（米）。2（2）设圆 M 1 和圆M 2 的半径分别为r1 和r2 ，ttan12BAD由于 0BAD90 ,得01BAD45，故0t 12r160 tan 1BAD60t ， r260tan 451BAD60 1t ，221t因此，观景步道的总造价为0.82 r10.92 r2 20.860t 0.960 1t1t128 118171221441784263.9 （千元）t1t1r130,r220当且仅当 t时等号成立，此时半径2答：当观景步道M 1 和 M 2 的半径分别设计为30 米和 20 米时，总造价最低， 且最低总造价约为 263.9

24、千元。20. 已知双曲线： x2y 21（ b 0 ），直线 l ： y kx m（ km0 ）， l 与交于 P、b2Q 两点， P 为 P 关于 y 轴的对称点，直线PQ 与 y 轴交于点 N 0, n .（ 1）若点2,0 是的一个焦点，求的渐近线方程；（ 2）若 b1，点 P 的坐标为1,0 ，且 NP 3 PQ ，求 k 的值；2（ 3）若 m 2 ，求 n 关于 b 的表达式。【知识点】双曲线的标准方程及其基本性质，直线与双曲线的位置关系【解】（ 1）根据已知条件，可得 c2, a1 ，所以 b23 , 故的方程为 x2y21，其3渐近线方程为 y3x .（ 2）当 b1 时，的方

25、程为 x2y21，点 P 1,0设 Q s, t，由 NP3 PQ 得， 1,n3 s1, t，解得 s5223又由点 Q在上，解得 t4t01.，故直线 l 的斜率 ks(1)23（ 3）当 m2时，直线 l 的方程为ykx2 ，设 P x1, y1Q x1 , y1由 b2 x2y2b2 得， b2k 2 x24kx b24 0ykx 2由已知可得， b2k 20 且16k 24 b2k 2b240x1x24kb2k2 （ * ），又 P所以x1, y1，x1x2b24b2k 2故直线 PQ 的方程为 yy1y2y1xx1x2x1由点 N 0, n 在直线 PQ 上，得 nx1 y2x2

26、y1x1kx22x2kx122kx1x22x1x2x1x2x1x2（* ）将（ * ）代入（ * ）得， n2kb242 ，即 nb2.4k221. 已知函数 fxlog 21x1x（ 1）解方程 f x1；（ 2）设 x1, 1， a1,，证明： ax11,1 且 fax1f xf1;axaxa（ 3）设数列 xn中， x11, 1， xn 11n 1 3xn1 ， nN *, 求 x1 的取值范围，使得3xnx3 xn 对任意 nN*成立.【知识点】对数方程的解法，对数函数的性质，分类讨论的思想【解】（ 1）由 fx1 得，1x 1，所以 1x2 ，解得x1，经检验x1是原log 2 1x

27、1x33方程的解，所以原方程的解集为1。3（ 2） ax 1 1ax a x 1 a 1 x 1a1axax因为 a10, x10, ax0 ，故 a1x10即 ax10 ，所以 ax1ax11；a1a11ax1axax1a1 1xa1axax因为 a10,1x0, ax0，故 a1 1x0ax1，所以 ax1ax即 101；a1ax1a1综上可得，1, 1。axax11ax1a1 x1111flog 2axlog 2fxlog 2af xfaxax1a1 1x11a1axa故 fax1f xf1axa（ 3）当 n 为奇数时， xn 13xn1 ，且由（2）可知， fxn 1fxnf1fxn

28、1 ，3xn3当 n 为偶数时，xn 13xn 1 ，且由（ 2）可知， fxn1fxn1，3xn又 fxn 1log 21xn1fxn1，故 f xn 11fxn1xn1因 此 当 n 为 奇 数 时 ， f xn 21 f xn 11f xn12 f xn， 故f xn 4f xn ； 当 n 为 偶 数 时 ， f xn 2f xn 111 f xn1f xn ， 故fxn4f xn ；所以对于任意的正整数n ，均有 fxn 4fxn成立。对 于 任 意 的 x1,1， 当 x1x2， 01x212121时x1,x11x2，11x11x2，故 log 21x1log 2 1x2，所以函数f ( x) 在区间1,1 上是增函数 .1 x11 x21 x11 x2于是当 x3xn 对于任意的 nN *都成立时，当且仅当fx3fx1、 fx3fx2且fx3fx4，即2fx1fx1，解得 f x11，2fx1fx111x11，解得1x111由 log 2x1，故实数 x1 的取值范围是1, .133