拉普拉斯变换实用教案

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1、2.2 拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程(wi fn fn chn)的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。2. 数学模型与传递函数 频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛(gungfn)采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。第1页/共51页第一页，共52页。2.2.1 复数(fsh)和复变函数 复数(fsh)的概念 复数(fsh) s= +j （有一个实部 和一个虚部， 和 均为实数） 两个复数(fsh)相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数(fsh)为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。 2.2 拉普拉斯变换(binhun)

2、1j称为第2页/共51页第二页，共52页。 复数的表示法 对于复数 s= +j 复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成(guchng)的平面称为复平面或s平面。复数 s= +j 可在复平面s中用点( , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。 2.2.1 复数(fsh)和复变函数o复平面 12j12s1=1+j1s2=2+j2第3页/共51页第三页，共52页。 复数的向量表示法 复数 s= +j 可以用从原点指向点( , )的向量表示。 向量的长度(chngd)称为复数的模： 2.2.1 复数(fsh)和复变函数o12js1s2r1=|s1|r2=|s2|22 rs 向量与轴

3、的夹角称为复数 的复角：)/arctan(第4页/共51页第四页，共52页。 复数的三角函数(snjihnsh)表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得： = r cos ， = r sin 复数的三角函数(snjihnsh)表示法： s = r (cos + j sin ) 2.2.1 复数(fsh)和复变函数o12js1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式：sinjcosje：jres 第5页/共51页第五页，共52页。 复变函数、极点与零点的概念(ginin) 以复数s= +j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数： G(s) = u + jv式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部

4、。2.2.1 复数(fsh)和复变函数当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为(chn wi)G(s)的 零点 ； 通常，在线性控制系统中，复变函数是复数的单值函数。即：对应于的一个给定值，就有一个唯一确定的值与之相对应。)()()(jipszsksG 当复变函数表示成(b) 当时，则称为的 。第6页/共51页第六页，共52页。2.2.1 复数(fsh)和复变函数复变函数的实部122u复变函数的虚部2v： 第7页/共51页第七页，共52页。2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法(sh xu fn f)，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s

5、的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。2.2 拉普拉斯变换(binhun)0d)()()(tetftfLsFst复变量(binling)原函数象函数拉氏变换符号：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。 设有时间函数 f(t)，当 t a的所有复数s (Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变换的定义域， a称为收敛坐标。：M、a为实常数。第9页/共51页第九页，共52页。2.2.3 典型时间函数(hnsh)的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数(hnsh) 单位阶跃函数(hnsh)定义：2.2 拉普拉斯

6、变换(binhun)0, 10, 0)( 1ttt0001dd)( 1)( 1stststestetettL：sesesstt111lim0第10页/共51页第十页，共52页。2.2.3 典型时间(shjin)函数的拉普拉斯变换1d)(tt且：0, 00,)(ttt(0)d)()(fttft：1d)()(00tststetettL第11页/共51页第十一页，共52页。2.2.3 典型时间函数(hnsh)的拉普拉斯变换0,00)(ttttf： 00d1dststetsttetL2020011d11sestese tsststst第12页/共51页第十二页，共52页。2.2.3 典型时间函数(hn

7、sh)的拉普拉斯变换atetf)(式中：a是常数(chngsh)。：asteteeeLtasstatat1dd0)(0第13页/共51页第十三页，共52页。2.2.3 典型时间(shjin)函数的拉普拉斯变换0,sin00)(ttttf由欧拉公式，正弦函数表达为：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相减：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j1j21dj21sss-tees-s-第14页/共51页第十四页，共52页。2.2.3 典型(dinxng)时间函数的拉普拉斯变换0,cos00)(ttt

8、tf由欧拉公式，余弦函数表达为：tjtj21cos-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相加：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j121d21ssss-tees-s-第15页/共51页第十五页，共52页。2.2.3 典型时间函数(hnsh)的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)11 (单位阶跃函数单位阶跃函数)1s2 (t) (单位脉冲函数单位脉冲函数)13K (常数常数)Ks4t (单位斜坡函数单位斜坡函数)1s2第16页/共51页第十六页，共52页。2.2.3

9、 典型时间(shjin)函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe第17页/共51页第十七页，共52页。2.2.3 典型时间(shjin)函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+ 211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 2第

10、18页/共51页第十八页，共52页。2.2.3 典型(dinxng)时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a1b-a1b-a第19页/共51页第十九页，共52页。2.2.3 典型(dinxng)时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)

11、17 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- - 2 t - - )ss2+2ns+ n2 = arctann1-21n 1-211-21-2第20页/共51页第二十页，共52页。2.2.3 典型(dinxng)时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)20 1- - e -nt sin( n 1- - 2 t + + ) n2s(s2+2ns+ n2) = arctan211- -cos t 2s(s2

12、+ 2)22 t - - sin t 2s(s2+ 2)23 t sin t2 s(s2+ 2)211-21-2第21页/共51页第二十一页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (1) 线性定理 若、是任意(rny)两个复常数，且：2.2 拉普拉斯变换(binhun),)()(11sFtfL)()(22sFtfL02121d)()()()(tetftftftfLst0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sFsF则：)()()()(2121sFsFtftfL第22页/共51页第二十二页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换(binhun)的基本性质)()(asFtfeL

13、at则：)()(sFtfL0d)()(teetftfeLstatat0)(d)(tetftas)(asF第23页/共51页第二十三页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换(binhun)的基本性质)0()(d)(dfssFttfL则：)()(sFtfLf(0)是 t =0 时的 f(t) 值00)(ddd)(dd)(dtfetettfttfLstst)0()(d)()(00fssFtetfstfestst同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：tfsfsFsttfLd)0(d)0()(d)(d222第24页/共51页第二十四页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换的基本(jbn)性质如果：函数(hnsh

14、) f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即)0()0()(d)(d21fsfssFsttfLnnnnn)0()0(1)(2)(n-n-fsf0)0()0()0()0()0()1()2( nnfffff则：)(d)(dsFsttfLnnn第25页/共51页第二十五页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换(binhun)的基本性质则：tfssFsttfLd)0(1)(1d)()()(sFtfL函数 f(t) 积分的初始值 00d1d)(dd)(d)(ststesttftettfttfL00d)(d)(ttfsesettfstst)(1d)0(1sFstfs第26页/共51页第二十六页，共52页。2

15、.2.4 拉普拉斯变换(binhun)的基本性质tfssFsttfLnnnd)0(1)(1d)()(tfstfsnnd)0(1d)0(1)()2(1：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有)(1d)()(sFsttfLnn第27页/共51页第二十七页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换(binhun)的基本性质则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根据拉普拉斯变换的微分定理，有)0()(limdd)(dlim000fssFtettfssts由于，上式可写成1lim0stse)0()(limdd)(d00fssFtttfs)0()(lim)0()(lim0fssFft

16、fst第28页/共51页第二十八页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换(binhun)的基本性质则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根据拉普拉斯变换的微分定理，有)0()(limdd)(dlim0fssFtettfssts由于，上式可写成0limstse)0()(lim0fssFs)(lim)0(ssFfs第29页/共51页第二十九页，共52页。2.2.4 拉普拉斯变换(binhun)的基本性质)()(11sFtfL)()(d )()(21021sFsFftfL式中：)()(22sFtfL)()(d )()(21021tftfftf称为函数 f1(t)与f2(t) 的而

17、第30页/共51页第三十页，共52页。2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义 将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程(guchng)，称之为拉普拉斯反变换。其公式：2.2 拉普拉斯变换(binhun) 拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于(duy)复杂的，可利用部分分式展开法。jjd)(j21)(aaatsesFtf简写为：)()(1sFLtf第31页/共51页第三十一页，共52页。 如果(rgu)把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)()()()(21sFsFsF

18、sFn 假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么)()()()()(121111sFLsFLsFLsFLtfn )()()(21tftftfn 当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将 F(s) 分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到(d do)其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换 f(t) 函数。第32页/共51页第三十二页，共52页。2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)式中A(s)和B(s)是s的多项式， B(s)的阶次较A(s)阶次要(cyo)高。 对于这种称为有理真分式的象函

19、数 F(s)，分母 B(s) 应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s) 的拉氏反变换函数。 )()(sBsAsF第33页/共51页第三十三页，共52页。 将分母 B(s) 进行(jnxng)因子分解，写成：2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)式中，p1，p2，pn称为B(s)的根，或F(s)的极点，它们可以(ky)是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。 当 A(s) 的阶次高于 B(s) 时，则应首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一个s的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。 )()()()()()

20、(21npspspssAsBsAsF第34页/共51页第三十四页，共52页。 (1) 分母B(s)无重根 此时，F(s)总可以展成(zhn chn)简单的部分分式之和。即 )()()()()()(21npspspssAsBsAsFnnpsapsapsa 2211式中，ak(k=1,2,n)是常数(chngsh)，系数 ak 称为极点 s= -pk 处的留数。2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)第35页/共51页第三十五页，共52页。k)()()(kpssBsAps ak 的值可以(ky)用在等式两边乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的方法求出。即 )()(k22k11pspsap

21、spsa2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)kknnkkkk)()(apspsapspsaps 第36页/共51页第三十六页，共52页。 在所有展开项中，除去含有(hn yu) ak 的项外，其余项都消失了，因此留数 ak 可由下式得到kpsk)()()(asBsApsk 因为 f(t) 时间的实函数，如 p1 和 p2 是共轭复数时，则留数 1 和 2 也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数1(或2)，而另一个复留数 2(或 1)，自然(zrn)也知道了。2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)第37页/共51页第三十七页，共52页。例题(l

22、t)1 求F(s)的拉氏反变换，已知 2332ssssF 21)2)(1(3233212sssssssssF由留数的计算公式，得2)2)(1(3) 1(11sssss2)2)(1(3)2(22sssss2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)第38页/共51页第三十八页，共52页。因此(ync) 2112)(111sLsLsFLtf查拉氏变换表，得tteetf22)(2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)第39页/共51页第三十九页，共52页。解： 分母多项式可以因子分解为)j21(j21522ssss）（进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式 2 j12 j152122212sss

23、sssF2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)例题(lt)2 求L-1F(s)，已知 521222ssssF第40页/共51页第四十页，共52页。4 j4 j102 j12 j1124 j22.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)2j11)2 j1)(2 j1(122)2 j1(sssss2 j1)2 j1(12)2 j1(22j1)2 j1(122sss由留数的计算公式，得由于2与1共轭，故25j1225j144j10 第41页/共51页第四十一页，共52页。所以(suy) 2 j125j12 j125j1)(11ssLsFLtf2 j125j12 j125j111sLsL2.2.5

24、拉普拉斯反变换(binhun)第42页/共51页第四十二页，共52页。tteetf)2j1()2j1()25j1 ()25j1 ()(25j)2j1()2j1()2j1()2j1(tttteeee)(25j)(2j2j2j2jtttttteeeeeej25j222j2j22j2jtttttteeeeeetetett2sin52cos22.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)查拉氏变换(binhun)表，得第43页/共51页第四十三页，共52页。 (2) 分母(fnm)B(s)有重根 若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为 )()()()(3231npspspspssAsF113211

25、23111pspsps式中系数2, 3, , n仍按照上述无重根的方法(fngf)(留数计算公式)，而重根的系数11, 12, 13可按以下方法(fngf)求得。2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)nnpspsps 3322第44页/共51页第四十四页，共52页。1)()(3111pssFps1)()(dd3112pssFpss1)()(dd21312213pssFpss！2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun) 依此类推，当 p1 为 k 重根时，其系数为：1)()(dd)!111)1()1(m1pskmmsFpssm（km, 2 , 1第45页/共51页第四十五页，共52页。例题(

26、lt)3 已知F(s)，求L-1F(s)。 32132）（ ssssF解 111132s1321231132ssssssF）（p1= -1，p1有三重根。2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)第46页/共51页第四十六页，共52页。由上述(shngsh)公式2) 1(32) 1(132311sssss022) 1(32) 1(dd1132312ssssssss 1221) 1(32) 1(dd21113232213sssssss！2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)第47页/共51页第四十七页，共52页。 )(1sFLtf）（）（）（11101212131sLsLsLttteteet

27、tf）（10)(22查拉氏变换表，有2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)因此(ync)，得：第48页/共51页第四十八页，共52页。 利用拉氏变换解微分方程的步骤： (1) 对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为 s 变量的代数方程。 (2) 对以 s 为变换的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个(zh ge)变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间 t 为参变量）微分方程的解。 采用拉氏反变换的方法，可以求得线性定常微分方程的全解(补解和特解)。求解微分方程，可以采用数学分析方法(经典方法)，也可以采用拉氏变换方法。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行

28、运算的，许多情况下应用更为(n wi)方便。2.2.5 拉普拉斯反变换(binhun)第49页/共51页第四十九页，共52页。例题(lt) 解方程利用拉氏变换解常系数(xsh)线性微分方程6)(6d)(d5d)(d22tyttytty其中： 20, 2d)0(dyty解：将方程两边取拉氏变换，得 ssYyssYtysysYs6605d)0(d)0()(2将 代入，并整理，得 20, 2d)0(dyty 342513261222sssssssssYtteety32451)(所以第50页/共51页第五十页，共52页。感谢您的欣赏(xnshng)第51页/共51页第五十一页，共52页。NoImage内容(nirng)总结2.2 拉普拉斯变换。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。借助于系统频率特性分析系统的性能，拉普拉斯变换是其数学基础。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。r2=|s2|。 复数的三角函数表示法与指数表示法。利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。式中，ak(k=1,2,。由于2与1共轭，故。式中系数2, 3,。p1= -1，p1有三重(sn zhn)根。感谢您的欣赏第五十二页，共52页。