张晓峒VAR模型与协整讲义

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1、文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.例8.7 N=3的 VAR 模型的 3 个特征根分别是1 = 0.9,2 = 0.5, 3 = 0.04。样本容量 T = 100 ，临界值相应给出。见表8.1。练习协整向量个数的检验过程。首先检验r = 0 。N3LR=- Tlog (1-i ) = - 100log(1i ) = -100log(0.1)+ log(0.5)+ log(0.96)i r 1i 1= -100 (-2.302-0.693-0.04) = 303.6 34.91 （临界值）接着检验 r = 1。3LR = - 100log( 1i ) = -1

2、00 log(0.5)+ log(0.96)i 2= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 19.96 （临界值）接着检验 r = 2。LR = - 100 log (1-3 ) = -100 log(0.96)= -100 (-0.04) = 4.082 34.91r = rk()120.5073.30 19.96r = rk()210.044.082 9.24注：临界值取自附表1 的 b 部分。VEC 模型中确定项的处理1常数项的处理VEC 模型中常数项的位置可分3 种情形讨论。 位置不同， 相应的协整检验用表也不同。（ 1）常数项完全属于 协整空间 。那么可以把写成如下形

3、式：= 1其中是N 1阶的，是Nr 阶的， 1是 rt1Yt-1t为例，1阶的。以 VAR 模型 Y = + u相应 VEC 模型形式是Yt = Yt-1 +1 + ut =(,1 )Y t1+ ut(8.100)1（ 2）常数项的一部分进入协整空间，一部分属于数据空间 （ VAR 的常数项）。下面介绍怎样把分离成两部分。 因为是 Nr 阶的，构造一个 N (N r ) 阶矩阵，使 = 0。与正交。定义的目的是要把分离成相互无关的两部分。=1+2(8.101)显然1 能进入协整空间（见 (8.100) 式）。1 属于协整空间的常数项。因为与是正交，2 不能进入协整空间。2 属于数据空间的常数项

4、。Y = + Yt-1+ u=1+2+ Yt-1+ uttt=2 +(, 1)Yt1+ ut(8.102)1下面介绍1，2 的求法。用( )-1 左乘 (8.101)式，得1文档来源为:从网络收集整理 .word版本可编辑 .欢迎下载支持 .()-1=()-11 + ()-12 =1(8.103)上式是1 的计算公式。用 ( )-1 左乘 (8.101)式，得()-1= () 11 + ()-12 =2(8.104)上式是2的计算公式。例 8.6举例说明的位置。设 N =2 的 VAR 模型如下，y1,t3/40+1 / 21/ 16y1, t1u1t(8.105)=1 / 21/16y2,

5、t+y 2,t1/ 401u 2t其中=3/ 40。先求 。变化上式，1/ 40y1,t3/40+1 / 211/ 8y1,t1u1t(8.106)=1 / 2y 2,t+y 2,t1/ 401u2 t因为=1 / 2，所以=1/ 2，则=1 / 21 / 21 / 2= 0。1/ 21/ 21 / 2按（ 8.103）式， ()-1 =1 计算1，1/2 1/21 / 211/2 1/23/ 401= ( )-1= 1/101/ 21/ 40按（ 8.104）式， ()-1=2计算 2，1/ 21 / 21 / 211 / 21/ 23/ 402= ()-1= 1/201 / 21/ 40验

6、证，=1+2。=1 +2 =1 / 2(1/10) +1 / 2(1/20) =1/ 20+1/ 403/401 / 21 / 21/ 40=1/ 201/ 40按（ 8.102）式， VEC 模型表示为Yt = + Yt-1 + ut =1 +2 + Yt-1 + u t=2 +( 1 )Y t 1+ ut(8.107)1y1,t1/ 401 / 21y1, t1u1/ 8 1/10=+y 2, t1 +1ty2,t1/ 401 / 2u2t1的一部分进入协整空间，一部分进入数据空间。（ 3）常数项只进入数据空间（VAR 的常数项），不进入协整空间。对于 (8.101)式，当1=0时，=2。

7、常数项只进入数据空间Yt =+ Yt-1 + ut=2+ Yt-1+ ut(8.108)2文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.2趋势项的处理同理，对时间趋势项t 的系数也可以做上述分解。=1 +2(8.109)1 进入协整空间，表示变量协整关系中也存在线性趋势。2 进入数据空间（VAR 的常数项）。表示原变量中存在二次方的时间趋势项，或差分变量中存在一次方的时间趋势项，例如 VAR 模型为，Yt = + t +1 Yt -1 + ut相应的 VEC 模型形式是Y = + t + Yt-1+ u=1+2+1t +2t +Y+ utttt-1=2 +2 t + (Y

8、t -1 +1+1 t ) + u t(8.111)=( 2 +2t )+( Yt-1+1 +1t ) + ut(8.112)=( ,)+( ,Yt1211)1 + ut21tt8.3.4协整检验用表根据和t 所在位置不同， 检验协整关系的LR 统计量的分布也不同。检验时应选择相应的临界值表。附表1 给出了5 种模型条件下所对应的临界值。附表 1VAR 模型协整检验临界值表（迹统计量）单位根个数模型类型N - r0.100.050.0112.863.846.51模型（ 1）210.4712.5316.31=0, =0321.6324.3129.75协整空间中无常数项、无趋势项。436.5839

9、.8945.58数据空间中无均值、无趋势项。555.4459.4666.52678.3682.4990.457104.77109.99119.808135.24141.20152.329169.45175.77187.3110206.05212.67226.4011248.45255.27269.8117.529.2412.97模型（ 2）217.8519.9624.6010,2=0, =0332.0034.9141.07协整空间中有常数项、无趋势项。449.6553.1260.16数据空间中无均值、无趋势项。571.8676.0784.45697.18102.14111.017126.581

10、31.70143.098159.48165.58177.209196.37202.92215.7410236.54244.15257.6811282.45291.40307.643文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.12.693.766.65模型（ 3）213.3315.4120.0410,20,= 0326.7929.6835.65协整空间中有常数项、无趋势项。443.9547.2154.46数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。564.8468.5276.07689.4894.15103.187118.50124.24133.578150.53156.0016

11、8.369186.39192.89204.9510225.85233.13247.1811269.96277.71293.44110.4912.2516.26模型（ 4）222.7625.3230.4510,20,10,2 = 0339.0642.4448.45协整空间中有常数项、有线性趋势项。459.1462.9970.05数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。583.2087.3196.586110.42114.90124.757141.01146.76158.498176.67182.82196.089215.17222.21234.4110256.72263.42279.0711303.

12、13310.81327.4512.573.746.40模型（ 5）216.0618.1723.4610,20,10,20331.4234.5540.49协整空间中有常数项、有线性趋势项。450.7454.6461.24数据空间中有二次趋势项。573.4077.7485.786100.14104.94114.367130.84136.61146.998164.34170.80182.519201.95208.97222.4610244.12250.84263.9411288.08295.99312.58注： 1模型 (1)-(5)分别摘自Osterwald-Lenum (1992)表 0，表 1

13、* ，表 1，表 2* ，表 2。2表示检验水平，N 表示 VAR 模型中变量个数，r 表示协整向量个数。案例分析1：关于中国GDP、宏观消费与基本建设投资的VEC 模型分析。 (293-302)用 EViews 估计 VAR 、 VEC 模型。1建立 VAR 模型对任何一组有关系的经济变量都可以直接建立VAR 模型。最大滞后期k 的选择可以依据 LR 检验、赤池准则、Schwartz 准则。建立 VAR 模型的 EViews 步骤是（ 1）点击 Quick 键，选 Estimate VAR 功能，得如下对话框：EViews 4.1 View的子菜单图8图94文档来源为 :从网络收集整理.wo

14、rd 版本可编辑 .欢迎下载支持.问题：（ 1）非平稳经济变量之间可以建立VAR 模型吗？若不存在协整关系不可以；若存在协整关系，在滞后项充分多的前提下可以建立VAR 模型。 这相当于每个方程都是AEG协整回归式。2检验变量间是否存在协整关系。从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击View 键，选 Cointegration Test 功能，得如下对话框： 其中有 5 种选择。协整空间无常数项、 无时间趋势项；协整空间有常数项、无时间趋势项，数据空间无常数项；协整空间有常数项、无时间趋势项；协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间无时间趋势项；协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间有时间

15、趋势项。上述5 种情形总览。根据变量的实际情况作出选择。表 8.2 由第 2 种选择（ k =3 ）得到的输出结果说明 3 个变量之间存在一个协整关系。实际中应注意以下几点：（ 1）协整检验只适用于非平稳变量，所以协整检验之前首先要对序列做单位根检验。（ 2）因为检验统计量不服从通常的 2 分布，其分布与序列中是否有趋势以及协整方程中是否有常数项和趋势项有关系， 所以协整检验之前要先决定序列中是否含有确定性或随机性趋势项以及协整方程中是否含有常数项和趋势项。（ 3）在五种情形中（见图） ，情形 1（序列中无趋势，协整方程中无常数项和趋势项）和情形 5（序列中有 2 次趋势）实际中很少用到。情形

16、（ 1）只有在确认序列有零均值情形下才可使用。情形（ 5）只有在序列含有 2 次趋势的条件下才可以使用。（ 4）五种情形的选择基本原则是，若序列中无趋势，选情形2。若认为全部序列含随机趋势，则选情形3。若认为某些序列是趋势平稳的，则选情形4。（ 5）如果不容易判断属于哪一种情形，可选用总览（Summary）功能，可以给出5 种情形的全部检验结果。（ 6）若序列都含有单位根，但协整检验结果却是协整个数r 等于序列个数N（理论上应该小于序列个数） ，原因可能有两条，一。协整检验统计量功效太低。二。序列的样本容量太小。（ 7）若迹统计量和最大特征值统计量的检验结果不一致，应选择其中更富有解释意义的一

17、种。（ 8）EViews 做协整检验所用序列的最多个数是10 个。3建立 VEC 模型。EViews 命令是点击 Quick 键，选 Estimate VAR 功能，得如下对话框： 在 VAR 设定（VAR Specification ）对话框中点击 VEC 估计（ Vector Error Correction ），如下图，点击 OK ，得如下对话框：其中协整式（ Cointegration equation ）中的选择应该与前述协整检验中的选择保持一致。点击 OK ，问题：（ 1）若对协整式（ Cointegration equation ）中的选择前后不一致可以否？要慎重。（ 2）写 V

18、EC 表达式。（ 3）解释经济意义。注意：（ 1）协整检验的临界值是对极限分布而言。当样本容量比较小时，检验效果相当不可靠。在小样本条件下， Reinsel and Ahn (1992) 和 Reimers (1992) 建议把统计量从NLR=- Tlog (1- i ) , r = 0, 1,N-,1.(8.93)ir 15文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.修改为NLR = - (T- kN) log (1- i ) , r = 0, 1,N -,1(8.93)ir 1从而改变小样本条件下过分频繁地拒绝原假设现象。（ 2）通常是先确定 VAR 的最大滞后期

19、k 和是否包含漂移项、 趋势项， 然后估计协整向量个数 r。但是在实际中， r 的选值对 k 和是否包含漂移项、趋势项的选择十分敏感。为了使 VEC 模型具有实际可操作性，必须对模型的滞后期k，协整矩阵中包含几个协整向量 r，协整向量中是否包括趋势项、漂移项 l，即 VECM 模型的结构参数做出联合选择。设向量误差修正模型用VECM( k, l, r )表示，其中k 表示最大滞后阶数；l 表示是否包括漂移项，趋势项 。设定漂移项，趋势项都包括时， l 为 1；只包括漂移项时， l 为 0；漂移项，趋势项都不包括时， l 为 -1。）； r 表示协整向量个数。可以使用 Schwartz 准则 B

20、IC （统计量取极小值）确定 k, l, r。分别以滞后期k 和协整向量个数r 对 BIC 值画图，那么对应l = 1, 0, -1 ，每张图中都可以得到 3 个曲线。哪一种组合的BIC 值最小， 该种组合最好。 如图的最佳选择是VECM(2, 1,2)。详见金融时间序列的经济计量模型 （ Econometric Modeling of Financial Time Series ），经济科学出版社， 2002，第 304-307 页。上图说明向量误差修正模型选用VECM(2, 1, 2) 模式最好。案例分析2：中国进出口贸易总额的协整性分析（1951-1991， file:b7c1 ）。用中

21、国进出口贸易总额序列检验出协整关系。用滞后2 期的 VAR 模型最终建立起误差修正模型。(EViews 4.1)按第 3 种选择（第2 种选择也有同样结论） ：(EViews 4.1)6文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.(EViews 3.1)案例分析 3：英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius (1992)Johansen-Juselius (1992)发表在计量经济学杂志（Journal of Econometrics ）第 53 卷，211-244 页。1购买力平价和利率平价同种商品在不同国家应该保持相同价格。否则就会存

22、在套利问题。 但是当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用Pt 表示国内商品价格，Pt* 表示国外同类商品价格， Et 表示购买力平价 ，则有Et = Pt / Pt*即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是LnEt = Ln Pt - LnP t*3 个变量的长期均衡关系是Ln Pt - LnP t* - LnEt = u1t其中 ut 表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处有ut = 0。下面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一样的。分别用Rt， Rt* 表示。资本市场的套利

23、行为对汇率形成压力。制定汇率必须使国内外利率差与 t+1 期、 t 期之间汇率差相等，即保证R-R*=E(t)(Et+1) - E= uttt2t其中 Et 表示名义汇率（货币的购买力平价）。E(t) (Et+1)表示 t 期对 t+1期汇率的期望。 u2t 是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持Rtt* 相等称为 利率平价 。， R2协整关系的预分析如果用Yt = (LnP t ,LnPt*,LnEt,Rt ,Rt*)表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。1=(1-1-100)2=(0001-1)7文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .1 表示购买力平价

24、协整向量，2 表示购利息率平价协整向量。3估计协整向量个数r。用 P表示英国商品综合批发价格指数。P * 表示进口商品综合批发价格指数。E表示英ttt国实际汇率。 Rt表示三个月的金融债券利率。t表示三个月的欧元利率。样本数据范围是R *1972:1-1987:2 。通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以在VAR 模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据空间）。2 阶 VAR 模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成的。用石油价格调整批发价格指数，再次估计2 阶 VAR 模型。

25、 VAR 模型残差序列的诊断检验结果见表1。表 1VAR 模型残差的诊断检验方程内生变量标准差偏度峰度 -3JB 统计量序列相关检验， LM (20)1LnPt0.0070.291.274.84(5.99)6.09(5.99)9.59(31.41)3LnEt0.0300.300.170.95(5.99)13.54(31.41)4Rt0.0110.580.253.55(5.99)9.11(5.99)16.41(68.52r1r20.28549.4247.21r2r30.25429.2629.68r3r40.10211.673.764协整向量估计结果的分析与解释非约束的 5 个协整向量和 5 个调

26、整向量见表3。 i 和 i 的顺序（从左至右）与特征根的大小顺序相对应。根据上面的协整向量个数检验结果（r = 2 ），说明 1 和 2 是协整向量， 1和 2 是调整向量。表 3协整参数与调整参数的估计内生变量协整参数向量的估计12345LnPt1.000.030.361.001.00LnP t*-0.910.03-0.46-2.40-1.45LnEt-0.93-0.100.411.12-0.48Rt-3.381.001.00-0.412.28Rt *-1.89-0.93-1.032.980.76方程调整参数向量的估计12345LnPt-0.070.04-0.010.00-0.01LnP t

27、*-0.020.00-0.040.010.01LnEt0.10-0.01-0.15-0.04-0.05Rt0.03-0.150.030.01-0.02Rt *0.060.290.010.03-0.01对于购买力平价的协整向量希望LnP t* 与 LnEt 系数的符号相同，且都与LnPt 的符号相反。观察 1和21是购买力平价的协整向量。对于利率平价，希望tt，显然R与 R *系数的符8文档来源为 :从网络收集整理 .word版本可编辑 .欢迎下载支持 .号相反，显然2是利率平价的协整向量。1和2是标准化后的协整向量。对于1，取变量LnPt 相应的系数为1；对于2，取变量 Rt 的相应系数为 1

28、。0.010.04LnPt10.020.001.000.910.933.381.89LnPt 1 *Yt-1 =Yt-1 =0.100.01LnEt10.030.030.101.000.930.030.015Rt10.060.29Rt1 *0.010.040.020.00LnPt 1 0.91LnPt1 *0.93LnE t13.38Rt11.89 Rt 1 *=0.100.010.03LnPt10.03 LnPt1 * 0.1LnE t 1 Rt10.93Rt 1 *0.030.0150.060.290.01(LnPt 10.91LnPt 1 *0.93LnE t13.38 Rt 11.89

29、 Rt1 *)0.04(0.03LnPt 10.03LnPt1 *0.1LnE t1 Rt10.93Rt 1*)0.02(LnPt 10.91LnPt 1 *0.93 LnE t13.38Rt11.89Rt 1 *)=0.1( LnPt 10.91 LnPt 1 *0.93 LnE t13.38Rt11.89Rt1*)0.01(0.03LnPt 10.03LnPt1 *0.1LnEt1 Rt10.93 Rt 1 *)0.03(LnPt10.91LnPt 1 * 0.93LnE t 13.38Rt 11.89 Rt 1 *)0.015(0.03 LnPt 10.03LnPt1 *0.1LnE t

30、1 Rt10.93Rt 1 *)0.06( LnPt 10.91LnPt 1 *0.93 LnE t 13.38Rt 11.89 Rt 1 *)0.29(0.03LnPt 10.03LnPt1 *0.1LnE t1 Rt10.93Rt1*)结构 VAR 模型：t=D+BYt -1+FZttAY+ v简化型（无约束）VAR 模型：Yt = A-1D + A -1 BYt -1 + A-1 FZ t + A-1vt令 u t =A -1vt，是无约束 VAR 模型的误差项，是Y 的预测误差。如果只对预测误差感兴趣，则不必关心预测误差的构成A-1vt 。在结构 VAR模型中 vt 表示的是新息vt 对内生变量的影响。如果要得到脉冲响应和方差分解，有必要分析结构VAR 模型的新息vt 对内生变量 Yt的影响， 而不是约束 VAR 模型的误差项 u t。建立结构 VAR 模型的目的是使用经济理论从无约束 VAR 模型的误差项 ut 中获得结构 VAR 模型的新息。u1=resid01/5.0846u2=(resid02+.0022*resid01)/3.9039u3=(resid03+.2763*resid01-.4056*resid02)/5.67989