函数与极限连续实用教案

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1、 设变量(binling)u 从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2-u1就叫做变量(binling)u 的增量，记作Du ，即Du =u2-u1 1.3.1 函数(hnsh)的连续性f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0 xyO 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义(dngy)的当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为 Dy = f(x0+Dx)- f(x0)一、函数连续的概念变量的增量:第1页/共48页第一页，共49页。 设函数y=f(x)在点x0的某一个(y )邻域内有

2、定义，如果当自变量的增量Dx =x-x0趋于零时，对应的函数的增量Dy = f(x0+Dx)- f(x0)也趋于零，即那么就称函数(hnsh)y=f(x)在点x0处连续函数(hnsh)(hnsh)连续的定义: :等价关系：第2页/共48页第二页，共49页。 用用e-de-d语言叙述的函数的连续性定义语言叙述的函数的连续性定义(dngy)(dngy)： 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义(dngy)(dngy)，如如果对于任意给定义果对于任意给定义(dngy)(dngy)的正数的正数e e ，总存在着正数，总存在着正数d d ，使得，使

3、得对于适合不等式对于适合不等式|x-x0|d |x-x0|d 的一切的一切x x ，对应的函数值，对应的函数值f(x)f(x)都满都满足不等式足不等式|f(x)-f(x0)|e |f(x)-f(x0)|0，a 1)；对数函数：log ax (a0，a 1)； 证明 指数函数ax (a0，a1)对于一切实数x 都有定义，且在区间(-，+)内是单调的和连续的，它的值域为(0，+)由定理4，对数函数logax (a0，a1)作为指数函数ax的反函数在区间(0，+)内单调且连续4初等函数的连续性幂函数：xm 第26页/共48页第二十六页，共49页。 因此，幂函数xm可看作是由y=au ，u=m log

4、ax 复合而成的，由此，根据定理6，它在(0，+)内连续如果对于m取各种不同值加以(jiy)分别讨论，可以证明幂函数在它的定义域内是连续的幂函数连续性的证明： 幂函数y=x m 的定义域随m 的值而异，但无论m 为何(wih)值，在区间(0，+)内幂函数总是有定义的可以证明，在区间(0，+)内幂函数是连续的事实上，设x0，则第27页/共48页第二十七页，共49页。 结论1：基本初等(chdng)函数在它们的定义域内都是连续的结论(jiln)2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的注：所谓定义(dngy)区间，就是包含在定义(dngy)域内的区间第28页/共48页第二十八页，共49页。 如果f(

5、x)是初等函数,且x0是f(x)的定义(dngy)区间内的点,则初等(chdng)函数的连续性在求函数极限中的应用：第29页/共48页第二十九页，共49页。 举例(j l) : 解 解第30页/共48页第三十页，共49页。 解 令a x -1= t，则x=log a (1+t)， 当x 0时t 0，于是(ysh)=lna .第31页/共48页第三十一页，共49页。 1.3.3 闭区间(q jin)上的连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理(dngl)举例(j l) ： 最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x 0I，使得对于任一x I都有f(x)f(x 0) (f(x

6、)f(x 0)，则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值） 函数f(x)=1+sin x在区间0，2p上有最大值2和最小值086420246801222.85361e-0061sin ()x6.27681-6.28319x012第32页/共48页第三十二页，共49页。 xyO1-1 函数(hnsh)f(x)=sgn x 在区间(-，+)内有最大值 1和最小值-1又如 ： 在开区间(0，+)内，sgn x的最大值和最小值都是1第33页/共48页第三十三页，共49页。 但函数(hnsh)f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值xyOy=xab又如 ：第34页/共48页第

7、三十四页，共49页。 注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间a，b上连续(linx)，那么至少有一点x1a，b，使f(x1)是f(x)在a，b上的最大值，又至少有一点x2a，b，使f(x2)是f(x)在a，b上的最小值abxyf(x1)xx1Of(x2)x2y=f(x) 定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数(hnsh)在该区间上一定有最大值 和最小值第35页/共48页第三十五页，共49页。 注2： 如果(rgu)函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 在开区间(a，b) 考察(koch)函数y=x 函数(hnsh)f(x)

8、=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值xyOy=xab第36页/共48页第三十六页，共49页。 在闭区间0，2 考察(koch)函数yx2112O 函数(hnsh) y=f(x)在开区间0，2内既无最大值又无最小值第37页/共48页第三十七页，共49页。 证明(zhngmng) 设函数f(x)在闭区间a，b上连续由定理1，函数f(x)在区间a，b上有最大值M 和最小值m ，使任一x a，b满足 mf(x)M上式表明，f(x)在a，b上有上界M和下界m ，因此函数f(x)在a，b上有界 定理2（有界性定理）在闭区间(q jin)上连续的函数一定在该区间(q jin)上有界第38页/共48页

9、第三十八页，共49页。 二、零点(ln din)定理与介值定理零点： 如果(rgu)x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)第39页/共48页第三十九页，共49页。 定理2（零点(ln din)定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续， 且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)0），那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点(ln din)，即至少有一点x (ax0， f(1)=-20根据(gnj)零点定理，在(0，1)内至少有一点x ，使得f(x)=0，即 x 3-4x 2+1=0 (0 x1)这等式说明方程x 3-

10、4x 2+1=0在区间(0，1)内至少有一个根是x 第41页/共48页第四十一页，共49页。 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且在这区间的端点(dun din)取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点x ，使得f(x)=C (axb) 连续曲线弧y=f(x)与水平直线(zhxin)y=C至少交于一点.abOxyy=f(x)f(a)f(b)x1xx2y= CC 介值定理(dngl)的几何意义：第42页/共48页第四十二页，共49页。 介值定理的证明 设j(x)=f(x)-C，则j(x)在闭区间a，b上连续

11、，j(a)=A-C与j(b)=B-C异号根据零点定理，在开区间(a，b)内至少有一点x 使得(sh de)j(x)=0 (axb)但j(x)=f(x)-C，因此由上式即得f(x)=C (axb)第43页/共48页第四十三页，共49页。 abOxyy=f(x)mMx1xx2y= CmCMC推论(tuln)的几何意义： 推论 在闭区间(q jin)上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值第44页/共48页第四十四页，共49页。本节总结(zngji) 9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断( jindun)点的类型 10. 了解连续函数的性质和初等函数一的连续性，

12、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质 第45页/共48页第四十五页，共49页。典型(dinxng)题型 分段函数或带绝对值的函数的连续性 判断函数连续性及间断( jindun)点类型 求连续函数中的参数 利用介值定律 利用零点定律证明存在实根 利用最值定律 利用有界性定律第46页/共48页第四十六页，共49页。作业(zuy)p99 5 6 7.（1、3、5） 8 10（1、3、5、7、9） 11（1、3） 12 13第47页/共48页第四十七页，共49页。感谢您的观看(gunkn)！第48页/共48页第四十八页，共49页。NoImage内容(nirng)总结设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2，终值。函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续。设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此。所以(suy)点x=1是函数的间断点。因函数f(x)的图形在x=0处产生。注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间。定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的。内既无最大值又无最小值。mf(x)M。二、零点定理与介值定理。mCM。7.（1、3、5）。感谢您的观看第四十九页，共49页。