直线的方向向量与平面的法向量

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1、直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图 3 211如图 3 2 1，直线 l m，在直线 l 上取两点A、B，在直线 m上取两点 C、D，向量AB与 CD有怎样的关系？【提示】ABCD.2如图直线l 平面 ，直线 l m，在直线 m上取向量 n，则向量 n 与平面 有怎样的关系？【提示】n .直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个直线 l ，取直线 l 的方向向量a，则向量 a 叫做平面 的法向量 .空间中平行关系的向量表示设两条不重合的直线l ，m的方向向量分别为a ( a1，b1，c1) ，b ( a2，b2，c2 ) ，线线平行则 l m? a

2、b? ( a1， b1， c1) k( a2， b2， c2)设l的方向向量为a( 1， 1，1) ，的法向量为( 2，2，2) ，则la b cu a bc线面平行? a u0? a1a2 b1b2 c1c2 0设，的法向量分别为u( 1， 1，1) ，(a2， 2，2) ，则?ua b cvb c面面平行v? ( a1， b1，c1 ) k( a2， b2，c2)求平面的法向量图 3 221已知 ABCD是直角梯形， ABC90，SA平面 ABCD，SA AB BC 1，AD 2，试建立适当的坐标系(1) 求平面 ABCD与平面 SAB的一个法向量(2) 求平面 SCD的一个法向量【自主解

3、答】以点 A为原点， AD、AB、 AS所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立1如图所示的坐标系，则A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(1,1,0)，D( 2， 0,0) ， S(0,0,1)(1) SA平面 ABCD， AS (0,0,1)是平面 ABCD的一个法向量 ADAB， ADSA， AD平面 SAB， 1 AD ( ， 0,0) 是平面 SAB的一个法向量21(2) 在平面 SCD中， DC ( 2， 1,0)，SC (1,1，1)设平面 SCD的法向量是 n ( x， y， z) ，则 n DC， n SC.1 x 2y所以 nDC 0得方程组2x y 0z y

4、，nSC 0，x y z0.令 y 1 得 x 2， z 1， n (2 ， 1,1)1若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量2一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1) 设出平面的法向量为n ( x， y，z) (2) 找出 ( 求出 ) 平面内的两个不共线的向量a ( a1， b1，c1) ， b ( a2，b2， c2) (3) 根据法向量的定义建立关于x，y， z 的方程组na 0，n b 0.(4) 解方程组，取其中的一个解，即得法向量n a 0，3在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解， 只需给n b 0x， y， z

5、中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量正方体1111中，、F分别为棱1 1、 1 1 的中点，在如图3 2 3 所示的ABCD A B CDEAD AB空间直角坐标系中，求：图 3 23(1) 平面 BDD1B1 的一个法向量(2) 平面 BDEF的一个法向量【解】设正方体ABCD A B CD 的棱长为2，则 D(0,0,0)， B(2,2,0)， A(2,0,0)，1111C(0,2,0)，E(1,0,2)(1) 连，因为平面11，所以 ( 2,2,0)为平面1 1 的一个法向量ACACBDDBACBDDB(2) DB (2,

6、2,0)，DE (1,0,2)设平面的一个法向量为n (，z) BDEFxy2x 2y 0y xnDB 01 x 2z 0，nDE 0，z2x.令 x2 得 y 2， z 1. n (2 ， 2,1)即为平面BDEF的一个法向量.长方体ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别是面对角线B1D1，A1B 上的点， 且D1E 2EB1，BF 2FA1. 求证：EF AC1.【自主解答】如图所示，分别以DA，DC， DD1所在的直线为x 轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，设DA a， DCb， DD1 c，则得下列各点的坐标：A( a, 0,0)， C1(0 ，b，c) ，22b2E( 3a

7、， 3b， c) ， F( a，3， 3c) a b c FE ( ， ， ) ， AC1 ( a， b，c) ， 3 3 3 1 FE 3AC1.又 FE与 AC1不共线，直线 EF AC1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：图 3 24如图 3 2 4 所示，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别为 DD1和 BB1 的中点 求证：四边形 AEC1F 是平行四边形【证明】以点D为坐标原点，分别以，1为正交基底建立空间直角坐标系，DA DC DD不妨设正方体的棱长为1，则 A(1,0,0)， E(0,0111，2) ， C(0,1,1)， F(1,1 ， 2) ，111 1 A

8、E( 1,0，2) ，FC( 1，0，2) ，EC (0,1，2) ，AF (0,1，2) ， AE FC，EC1111AF， AEFC1， EC1 AF，又 F? AE， F? EC1， AE FC1， EC1AF，四边形 AEC1F 是平行四边形 .利用空间向量证明线面平行图 3 25如图 3 2 5，在正三棱柱ABC A1B1C1 中， D 是 AC 的中点，求证：AB1平面DBC1.【自主解答】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为a( a0) ，侧棱长为b( b0) ，3a3aa则 A(0,0,0) ， B( 2 a，2， 0) ， B1( 2 a， 2，b) ，

9、 C1(0 ，a， b) ， D(0 ， 2， 0) ，3 a3 AB1 (2 a，2， b) ， BD ( 2 a, 0,0) ，aDC1 (0，2， b) 设平面 DBC1的一个法向量为n ( x， y， z) ，3x 0，n BDax0，则2a y.az2bn DC12y 0，不妨令y 2，则 (0,2， )bnba由于 AB1 n abab 0，因此 AB1 n.又 AB1? 平面 DBC1， AB1平面 DBC1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一： 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二： 证明直线的方向向量与平面内某一向量

10、共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三： 先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AA1 2AB 2BC，E，F，E1 分别是棱 AA1，BB1，A1B1 的中点求证： CE平面 C1E1F.【证明】以 D为原点，以DA， DC，DD1 所在的直线分别为x， y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图设 BC 1，则 C(0,1,0)，E(1,0,1)1， F(1,1,1)11， C(0,1,2)，E(1，2， 2) 设平面1 1 的法向量为n (，) ，CE Fxyz11 (1， 1，0)，1 ( 1,0,1)，

11、CE2FC11nC E 0， 0，nFC11即 x2y，取 n (1,2,1) xz， CE (1 ， 1,1)， n CE1 2 1 0， CEn，且 CE? 平面 C1E1F. 平面1 1 .CECEF向量法证明空间平行关系图 3 26(12 分) 如图 32 6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形， EF AB，EF FB， AB 2EF， BFC90， BF FC， H为 BC的中点求证： FH平面 EDB.【思路点拨】先通过推理证明FH平面 ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明 HF、BE、BD共面【规范解答】四边形 ABCD是正方形， ABBC，又 EF AB， EF

12、BC.又 EF FB， EF平面 BFC. EFFH， AB FH.2 分又 BF FC， H为 BC的中点， FHBC. FH平面 ABC.4 分以H为坐标原点， 为轴正方向， 为z轴正方向HB xHF建立如图所示的空间直角坐标系设 BH 1，则 (1,0,0)， ( 1， 2,0)， (0 ， 1,1)， (0,0,1).6分BDEF， HF (0,0,1)，BE ( 1， 1,1) ， BD ( 2， 2，0)设 HF BE BD ( 1， 1,1) ( 2， 2,0) ( 2， 2， )8 分 (0,0,1) ( 2， 2， ) ， 2 0 11，解得 1 2， 1分 HFBEBD10

13、2 向量 HF， BE， BD共面又 HF不在平面 EDB内， HF平面 EDB.12 分【思维启迪】 1. 建立空间直角坐标系， 通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件2证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全1利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1) 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2) 进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系( 距离和夹角等 ) ；(3) 根据运算结果的几何意义来解释相关问题2证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以

14、转化为线线平行，利用向量共线来证明1若 A( 1,0,1)， B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为 ()A (1,2,3)B (1,3,2)C (2,1,3)D (3,2,1)【解析】AB (2,4,6) 2(1,2,3)【答案】A2下列各组向量中不平行的是()A a (1,2 ， 2) ， b ( 2， 4,4)B c (1,0,0)，d ( 3,0,0)C e (2,3,0)，f (0,0,0)D g ( 2,3,5)， h (16,24,40)【解析】 ( 2， 4,4) 2(1,2 ， 2) 2，a ，同理：c， .babde f【答案】D3设平面 内两向量 a

15、(1,2,1)，b ( 1,1,2)，则下列向量中是平面 的法向量的是()A ( 1， 2,5)B( 1,1 ， 1)C (1,1,1)D (1 ， 1， 1)【解析】平面 的法向量应当与 a、 b 都垂直，可以检验知B 选项适合【答案】B4根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线 l 1， l 2 的方向向量分别是a (1 ， 3， 1) ， b (8,2,2)；(2)平面 ， 的法向量分别是u(1,3,0) ，v ( 3， 9， 0)；(3)直线 l的方向向量，平面 的法向量分别是 a(1 ， 4，3) ， u (2,0,3) 【解】(1) a b

16、18 ( 3) 2 ( 1) 2 0， l 1 l 2.(2) v ( 3， 9,0) 3(1,3,0) 3 ， .(3) a、 u 不共线， l 不与 平行，也不在 内又 a u 70， l 与 不垂直故 l 与 斜交 .一、选择题1(2013 吉林高二检测 ) l1的方向向量为v(1,2,3)，l2的方向向量 v ( ，4,6)，12若 l 1 l 2，则 ()A 1B 2C 3D 4【解析】 l l ， v v，则124， 2.1212【答案】B2(2013 青岛高二检测AB与平面 CDE的位置关系是 () 若 AB CDCE，则直线A相交B平行C在平面内D平行或在平面内【解析】CDE的

17、位置关系是平 ABCD CE， AB、CD、 CE共面，则 AB与平面行或在平面内【答案】D3已知平面内有一个点(2 ， 1,2) ，的一个法向量为n (3,1,2) ，则下列点PA中，在平面 内的是 ()3A (1 ， 1,1)B (1,3 ， 2)33C (1 ， 3， 2)D( 1,3 ， 2)【解析】对于， ( 1,41， )，BAP2则n (3,1,2)( 1,4，1) 0，AP23 nAP，则点P(1,3 ， 2) 在平面 内【答案】B4已知 A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面 ABC的一个法向量的单位向量是 ()A (1,1,1)333B( 3，3， 3 )C (1，1， 1)333D (333，3，)33【解析】设平面 ABC的法向量为 n，( x， y，z) ， AB(0 ， 1,1)， BC ( 1,1,0)ABn y z 0 ( 1,0,1)，则，ACBC n x y0xyzAC n x z 0又单位向量的模为1，故只有B 正确【答案】B