等比数列知识点并附例题与解析

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1、.等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：anqq0n2,且 n N * ， q 称为公比an12、通项公式：ana1qn 1a1 qnA Bna1q0,A B0 ，首项： a1 ；公比： qq推广： anamqn mqn manq nmanamam3、等比中项：（1）如果 a, A,b 成等比数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A2ab 或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列 an 是等比数列an2an 1an 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：（1）当 q1时， Snna1（2）当 qa1 1qnaa q1时， Sn1n

2、1q1qa1a1 qnA A BnA BnA （ A,B, A,B 为1 q1 q常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 n ，都有 an 1qan或 an 1q(q为常数， an 0) an an为等比数列（2）等比中项： an2an 1an 1 (an1an1 0) an 为等比数列（3）通项公式： anA Bn0 an 为等比数列A B6、等比数列的证明方法：.依据定义：若 anq q0 n2, 且 nN * 或 an 1 qan an 为等比数列an17、等比数列的性质：（ 2）对任何 m, nN * ，在等比数列 an 中，有 anamqn m 。（ 3）若 mn st

3、( m,n, s,tN * ) ，则 an amasat 。特别的，当 m n 2k 时，得 an amak2注： a1 ana2 an 1a3an 2（ 4）数列 an ， bn 为等比数列， 则数列 k ， k an ， an k ， k an bn ， an anbn（ k 为非零常数）均为等比数列。（ 5）数列 an 为等比数列，每隔 k(kN * ) 项取出一项 (am , am k , am 2 k , am 3k ,) 仍为等比数列（ 6）如果 an 是各项均为正数的 等比数列 ，则数列 log a an 是等差数列（ 7）若 an 为等比数列，则数列Sn ， S2nSn ， S

4、3nS2 n ,，成等比数列（ 8）若 an 为等比数列，则数列 a1 a2an ，an 1 an 2a2n ，a2n 1 a2n 2a3n成等比数列a0，则 a 为递增数列（ 9）当 q 1 时， a1 0，则 an 为递减数列1na10，则 an 为递减数列当 0q 1时， a0，则 a 为递增数列1n当 q 1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；当 q 0时 , 该数列为摆动数列 .（ 10）在等比数列 an 中，当项数为 2n(nN *S奇1) 时，S偶q二 例题解析【例 1】已知 Sn 是数列 a n 的前 n 项和， Snpn(p R，nN*) ，那么数列 a n （）.A

5、是等比数列B当 p0 时是等比数列BC当 p 0， p 1 时是等比数列D不是等比数列【例 2】已知等比数列 1，x1，x2， ， x2n，2，求 x1x2x3 x2n1【例 3】等比数列a n 中， (1) 已知 a2 = 4， a5 ，求通项公2式； (2) 已知 a3a4a5 8，求 a2a3a4a5a6 的值【例 4】求数列的通项公式：(1)a n 中， a12，an+13an2(2)a n 中， a1=2，a25，且 an+2 3an+12an0三、 考点分析考点一：等比数列定义的应用1、数列 an 满足 an1an 1 n2 ， a14 ，则 a4 _332 、 在 数 列 an

6、中 ， 若 a11 ， an 12an 1 n 1 ， 则 该 数 列 的 通 项an _考点二：等比中项的应用1、已知等差数列an的公差为 2 ，若 a1 ， a3 ， a4 成等比数列，则 a2（）.A 4B 6C 8D 10、若 a、b 、 c 成等比数列，则函数yax2bxc 的图象与 x 轴交点的个数为2（）A 0B 1C 2D不确定3、已知数列 an 为等比数列， a32 ， a2a420 ，求 an的通项公式3考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算1、若公比为 2 的等比数列的首项为9 ，末项为 1 ，则这个数列的项数是（）383A3B4C5D 62 、 已 知 等 比 数 列

7、 an中 ， a 33 ， a10384，则该数列的通项an_3、若 an为等比数列，且 2a4 a6a5 ，则公比 q_4、设 a1 ， a2 ， a3 ， a4 成等比数列，其公比为2，则 2a1a2的值为（）2a3a4A 1B 1C 1D 14285 、 等 比 数 列 a中，公比q=1且 a +a + +a=30 ， 则 a +a +n22410012+a100=_.考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用1、在等比数列 an中，如果 a6 6 ， a99 ，那么 a3 为（）A 4B 3C 16D 2292、如果1， a ， b ， c ，9 成等比数列，那么（）A b 3 ， ac

8、 9B b 3 ， ac 9C b 3 ， ac 9D b 3 ， ac 93、在等比数列 an中， a11， a103 ，则 a2a3a4a5a6a7 a8 a9 等于（）A 81B275273243CD.4、在等比数列an中， a9a10a a0 ，a19a20b ，则 a99 a100 等于（）99b1010Ab8B bC9D baaaa5、在等比数列an 中， a3 和 a5 是二次方程 x2kx50 的两个根，则 a2a4a6 的值为（）A 25B5 5C55D556、若 an 是等比数列，且 an0 ，若 a2 a4 2a3 a5a4a625 ，那么 a3a5 的值等于考点五：公式

9、a nS1 , ( n1)的应用S nS n 1 , ( n2)1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+an，满足条件 log 2Sn=n，那么 a n 是()A. 公比为 2 的等比数列B.公比为 1 的等比数列2C. 公差为 2 的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1 ，则前 n 项的平方和为 ()A.(2 n-1) 2B. 1(2 n-1) 2C.4n-1D.1 (4 n-1)333、设等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn=3n+r ，那么 r 的值为 _.一、等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义a n 1 a nda n 1q(q

10、0)an递推公a na n 1d ； ana m n mda nan 1q ； anam q n m式通项公ana1 (n 1) daa q n 1（ a , q 0）n式11中项Aa n kan k （ n, kN * , n k 0 ）Gan k a n k (an k an k0) （ n, kN * , n k 0 ）2.Snn (a1an )na 1 (q1)前 n 项和2S na1 1 q na1an qn( n1)2)Sn1 q1(qna1dq2重要am ana p aqam ana p a q性质(m, n, p, qN * , mn p q)(m, n, p, qN * ,

11、mn pq)二、等差数列的定义与性质定义： an 1 and （ d 为常数），通项： an a1 n 1 d等差中项： x， A， y 成等差数列2 Ax y前 n 项和： Sna1 an nn n1na12d2性质：an 是等差数列（ 1）若 m np q ，则 amana p aq；（ 2）数列 a2 n 1, a2 n , a2 n 1仍为等差数列， Sn， S2nSn， S3nS2n仍为等差数列，公差为 nd ；（ 3）若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn， Tn ，则 amS2m 1bmT2m 1（ 4）an为等差数列San 2bn （ ，为常数，是关于n 的常

12、数项为0的na b二次函数，可能有最大值或最小值）（ 5）项数为偶数 2n 的等差数列an ，有S2 nn( a1a2n )n(a2a2 n 1 )n(anan 1 )( an , an 1为中间两项 )S偶S奇S奇an .nd ，S偶an 1(6) 项数为奇数 2n1的等差数列 an ， 有S2n 1 (2n1)an (an 为中间项 ) ， S奇S偶S奇n .an ，S偶n 1.三、等比数列的定义与性质定义： an 1q （ q 为常数， q0 ），通项： an a1qn 1an.等比中项： x G y 成等比数列G 2xy ，或 Gxy .na1 ( q1)前 n 项和： Sna 1qn

13、（要注意 q ！）1(q 1)1q性质： an是等比数列（1）若 m np q ，则 am ana p aq（2） Sn S2 nSn S3 nS2 n仍为等比数列 , 公比为 q n .四、数列求和的常用方法：1 、裂项分组法：111L11 22 3（）3 4n n1(1 1) (1 1) (1 1)L( 11 )、122334nn 111n1n1n1111,41的前 n和是：1 ,29,3,L32781（+L）+（1+ 1 +1 + 1L）12343927812、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，例：Sn =x3x 25x 3L(2n-5)x解：Sn

14、=x3x 25x 3L(2n-5)x234(2n-5)xxS n =x3x5xL减得：求：n-2(2n-3)xn-1(2n-1)xn(x1)n-2(2n-3)x n-1(2n-1)xn (x1)n-1nn+1(x1)(2n-3)x(2n-1)x.(1 x)Sn =x2x22x3L 2xn-12xn2n 1 xn+12x2 1xn-12n1 xn+1xx1从而求出 Sn 。错位相减法的步骤：(1) 将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式；(2) 将式左右两边都乘以公比 q，得到式；(3) 用，错位相减；(4) 化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和：Sn =a1

15、a2a3 L an 2an 1anSn =anan 1an 2 L a3a2a1两式相加可得：2Sn = a1 ana2 an 1a3an 2 La3 an 2a2 an 1a1 an即 ： 2Snn a1ann a1an所以Sn2等比数列例题解析【例 1】已知 Sn 是数列 a n 的前 n 项和， Sn pn(p R，n N*) ，那么数列a n A是等比数列B当 p 0 时是等比数列C当 p 0， p 1 时是等比数列D不是等比数列【例 2】已知等比数列1， x1，x2， ， x2n， 2，求 x1x2x3 x2n.1【例 3】等比数列 a n 中， (1) 已知 a2 = 4， a5

16、，求通项公式； (2) 已知 a3 a4 a5 8，求 a2a3a4a5a6 的值【例 4】已知 a 0，b 0 且 a b，在 a，b 之间插入n 个正数 x1，x2， ，xn，使得 a， x1， x2， ， xn， b 成等比数列，求证 n x1 x 2x n ab 2【例 5】设 a、 b、 c、d 成等比数列，求证：(b c) 2 (c a) 2 (d b) 2 (a d) 2【例 6】求数列的通项公式：(1)a n 中， a1 2， an+1 3an 2(2)a n 中， a1=2， a2 5，且 an+2 3an+1 2an 0【例 7】 若实数 a1、 a2 、 a3 、 a4

17、都不为零，且满足 (a12 a22 )a24 2a2 (a1 a3 )a4 a22 a23 = 0求证： a1、 a2 、a3 成等比数列，且公比为 a4 .【例 8】若 a、 b、 c 成等差数列，且a 1、b、 c 与 a、 b、 c 2 都成等比数列，求b 的值【例 9】已知等差数列a n 的公差和等比数列b n 的公比都是d，又知 d1，且 a4=b4，a10=b10：(1) 求 a1 与 d 的值；(2)b 16 是不是 a n 中的项？【例 10】设 a n 是等差数列， bn= ( 1) an ，已知 b1 b2 b3=21 ，281b1 b2 b3 =，求等差数列的通项8【例

18、11】三个数成等比数列， 若第二个数加 4 就成等差数列， 再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列，求这三个数【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，.并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数【例 13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加， 分别得到 85，76，84求这两个数列【例 14】已知在数列 a n 中， a1、 a2 、a3 成等差数列，a2、 a3、 a4成等比数列，a3、 a4、 a5 的倒数成等差数列，证明：a1、a3、 a5 成等比数列【例 15】

19、已知 (b c)log x (c a)logy (a b)log z=0mmm(1)设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数列(2)设正数 x， y，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证： a， b， c 成等差数列等比数列例题解析【例 1】已知 Sn 是数列 a n 的前 n 项和， Sn pn(p R，n N*) ，那么数列a n A是等比数列.B当 p 0 时是等比数列C当 p 0， p 1 时是等比数列D不是等比数列分析由 S pn(n N*) ，有 a =S p，并且当 n 2 时，n1 1an=Sn Sn-1 pn pn-1 (p 1)p n-1p

20、 0故 a2= (p 1)p，因此数列 a n 成等比数列p1 0(p1)pn 1p(p 1)( p2) pn 2p但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选D说明数列 a n 成等比数列的必要条件是 an 0(n N*) ，还要注意对任 n N * ， n 2，an 都为同一常数是其定义规定的准确含义an 1【例 2】已知等比数列1， x1，x2， ， x2n， 2，求 x1x2x3 x2n解 1， x1， x2， ， x2n， 2 成等比数列，公比q 2 1 q2n+1x1x2x3x2n q q2 q3q2n=q1+2+3+2n2n(1+2n)2n ( 2 n1 )n= qq2【例 3

21、】等比数列 a n 中， (1) 已知 a2 = 4， a5 1 ，求通项公2式； (2) 已知 a3 a4 a5 8，求 a2a3a4a5a6 的值解 (1)a 5 = a2 q 52 q = 12 an a2 qn21n 2 (1n 44( )22(2) a3 a5 a42a3 a4 a5 a43 = 8 a4 2又 a2 a6 a3 a5 a24 a2 a3a4a5a6 = a54 = 32.【例 4】已知 a 0，b 0 且 a b，在 a，b 之间插入 n 个正数 x1，x2， ，xn，使得 a， x1， x2， ， xn， b 成等比数列，求n x1 x 2x na b2证明设这

22、n 2 个数所成数列的公比为q，则 b=aqn+1q n1ban aqaq2 aqnn1n x1 x 2 xnaq 2abab【例 5】设 a、 b、 c、 d 成等比数列，求证：(b c) 2 (c a) 2 (d b) 2 (a d) 2证法 一 a、 b、 c、 d 成等比数列abcbcd b2 ac，c2 bd， ad bc左边 =b2 2bc c2 c2 2ac a2 d2 2bd b2=2(b 2 ac) 2(c 2 bd) (a 2 2bc d2) a2 2ad d2 (a d) 2右边证毕证法二 a、b、 c、 d 成等比数列，设其公比为q，则：b aq， caq2， d=aq

23、3左边 (aq aq2) 2 (aq 2a) 2 (aq 3 aq) 2 a2 2a2q3 a2q6 =(a aq3) 2 (a d) 2=右边证毕.说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有b、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c 的路子证法二则是把a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素a、q 去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例 6】求数列的通项公式：(1)a n 中， a1 2， an+1 3an 2(2)a n 中， a1=2， a2 5，且 an+2 3an+1 2an 0思

24、路：转化为等比数列(1)a n+1 = 3a n2an+11 = 3(a n1)a n 1 是等比数列an 1=3 3n-1an=3n1(2)a n+23an+12an = 0an+2an+1 = 2(a n+1an ) a n+1 an 是等比数列，即an+1 an=(a 2 a1) 2n-1 =32n-1再注意到a2 a1=3，a3 a2=3 21，a4 a3=322， ， an an-1 =32n-2 ，这些等式相加，即可以得到an = 31 2 222n-2 = 3 2 n 11= 3(2 n 1 1)21说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1) 中发现 a n1 是等比

25、数列，(2) 中发现 a n+1 an 是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现【例 7】 若实数 a1、 a2 、 a3 、 a4 都不为零，且满足 (a12 a22 )a24 2a2 (a1 a3 )a4 a22 a23 = 0求证： a1、 a2 、a3 成等比数列，且公比为 a4 证 a1、 a2、 a3、 a4 均为不为零的实数 (a12a22 )x 2 2a2 (a1 a3 )xa22 a23 = 0为实系数一元二次方程等式(a12 a22 )a24 2a2 (a1a3 )a4 a22 a23 = 0说明上述方程有实数根a4 上述方程的判别式0，即. 2a 2 (a1 a3 )

26、 2 4(a 21 a22 )(a 22 a23 )= 4(a 22 a1 a3 ) 2 0 (a 22 a1a3 ) 2 0又 a1、 a2、 a3 为实数 (a22 a1a3 ) 2 0必有 a22 a1a3 = 0即a22 = a1a3因而 a1、 a2、 a3 成等比数列又 a4 =2a2 (a1a3 )a2 ( a1a3 )a2222a1a3a12(a1a2 )a1a4 即为等比数列a1、 a2、 a3 的公比【例 8】若 a、b、c 成等差数列，且 a 1、 b、c 与 a、b、c2 都成等比数列，求 b 的值解设 a、 b、 c 分别为 b d、 b、 b d，由已知 b d 1

27、、 b、 b d 与 b d、b、 b d2 都成等比数列，有b2= (b d 1)(b d)b2= (b d)(b d 2)整理，得b2 = b 2 d 2 b db2 = b 2 d 2 2b 2db d=2b 2d即 b=3d代入，得9d2=(3d d 1)(3d d)9d2=(2d 1) 4d解之，得d=4 或 d=0( 舍 ) b=12【例 9】已知等差数列a n 的公差和等比数列b n 的公比都是d，又知 d1，且 a4=b4，a10=b10：(1) 求 a1 与 d 的值；(2)b 16 是不是 a n 中的项？思路：运用通项公式列方程.a4 = b4a1 3d = a1 d 3

28、解 (1)由a1 9d = a1 d 9a10 = b10a1 (1d 3 ) = 3da1 (1d 9 ) = 9dd 6 d3 2 = 0d11(舍)或32d 2 a1d3 2d3 2(2) b16=b1 d15=32b1且 a4 = a1 3d = 232 = b 4b4 = b1 d3 = 2b1=232 b1 = a1 = 3 2 b16= 32b1= 32a1，如果 b16 是 a n 中的第 k 项，则 32a1=a1 (k 1)d (k 1)d= 33a1=33d k=34 即 b16 是 a n 中的第 34 项【例 10】设 a n 是等差数列， bn= ( 1) an ，

29、已知 b1 b2 b3=21 ，281b1 b2 b3 =，求等差数列的通项解设等差数列 a n 的公差为d，则 an=a1 (n 1)d bn = ( 1 )a 1 ( n 1) d2b1 b3 = (1 )a1 (1) a1 +2d= (1) 2(a1 +d) b22222由 b1b2 b3 =1 ，解得 b23=1 ，解得 b2 =1 ，代入已知条件882b1 b2 b31b1 b3 =1=48整理得b1 b2b321b1 b3178=8解这个方程组，得.b1 = 2， b 3 = 1 或 b1 = 1 ， b 3 = 288a1= 1，d=2 或 a1=3， d=2当 a1=1， d=

30、2 时， an=a1(n 1)d=2n 3当 a1=3， d=2 时， an=a1 (n 1)d=5 2n【例 11】三个数成等比数列，若第二个数加4 就成等差数列，再把这个等差数列的第3 项加 32 又成等比数列，求这三个数解法一按等比数列设三个数，设原数列为a， aq，aq2由已知： a， aq 4， aq2 成等差数列即： 2(aq 4)=a aq2a， aq 4，aq2 32 成等比数列即： (aq 4) 2=a(aq 2 32)aq 2 = 4aa = 2a =29，两式联立解得：或q =3q = 5这三数为：2， ，或 2，10， 50618999解法二 按等差数列设三个数，设原数

31、列为 b d，b 4， bd由已知：三个数成等比数列即： (b 4) 2=(b d)(b d)8b d2 = 16b d， b， b d 32 成等比数列即 b2=(b d)(b d32)32b d 2 32d = 0.26b =b = 10、两式联立，解得：9 或8d = 8d =3三数为 2 ，10 ， 50 或 2， 6，18999解法三任意设三个未知数，设原数列为a1， a2，a3由已知： a1， a2， a3 成等比数列得： a2= a a321a1， a2 4， a3 成等差数列得： 2(a 24)=a 1 a3a1， a2 4， a3 32 成等比数列得： (a 2 4) 2=a

32、1(a 3 32)a1=29a1= 210a2= 6、式联立，解得：或 a29a3= 18a3=509说明 将三个成等差数列的数设为a d， a， a d；将三个成等比数列的数设为a， aq， aq2 ( 或 a ， a， aq)是一种常用技巧，可起到q简化计算过程的作用【例 12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a d， a，a d，则第四个数由已知条2件可推得：( ad)方法二设后三个数为b， bq， bq2，则第一个数由已知条件推得为2b bq.方

33、法三 设第一个数与第二个数分别为 x，y，则第三、第四个数依次为 12y， 16 x由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 设前三个数为 a d， a， a d，则第四个数为(a d)2a (ad)2依题意，有 ada= 16a(a d) = 12a1= 4a2= 9解方程组得：= 4或d 1d 2 = 6所求四个数为： 0， 4， 8， 16 或 15， 9，3， 1解法二 设后三个数为： b， bq，bq2，则第一个数为： 2bbq依题意有：2b bq bq 2 = 16b bq = 12b1= 4b 2= 9或1解方程组得：= 2=q1q 23

34、所求四个数为： 0， 4， 8， 16 或 15， 9，3， 1解法三 设四个数依次为x， y， 12 y， 16 x依题意有x (12 y) = 2yy (16 x) = (12 y) 2x 1= 0或x2= 15解方程组得：= 4y2= 9y 1这四个数为0， 4， 8， 16 或 15， 9， 3， 1【例 13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85， 76， 84求这两个数列解设成等差数列的三个数为b d， b， b d，由已知， bd b b d=126 b=42这三个数可写成42d， 42，42 d再设另三个数为a，aq

35、， aq2由题设，得a 42 d = 85ap 42 = 76aq2 42d = 84.a d = 43整理，得aq = 34aq2 d = 42解这个方程组，得a1=17 或 a2=68当 a=17 时， q=2， d= 26当 a = 68时， q = 1 ， d = 25 2从而得到：成等比数列的三个数为 17， 34， 68，此时成等差的三个数为 68，42，16；或者成等比的三个数为 68，34，17，此时成等差的三个数为 17， 42，67【例 14】已知在数列 a n 中， a1、a2、a3 成等差数列， a2、a3、a4 成等比数列， a3、a4、 a5 的倒数成等差数列，证明

36、：a1、 a3、a5 成等比数列证明由已知，有2a2=a1 a3a23 = a2 a4211a4a3a5由，得 a4=2a3 a5a3 + a5由，得 a2=a1 + a3 代入，得22=a1 + a32a3 a5a32a3 a5整理，得 a= a5 (a1 + a2 )3a3 + a5即 a 3(a 3 a5)=a 5(a 1 a3)a23 a3a5 = a1 a5 a3a5 a23 = a1 a5所以 a1、 a3、 a5 成等比数列【例 15】已知 (b c)logx (c a)logy (a b)logz=0mmm(1) 设 a，b，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z 成等比数列.(2) 设正数x， y，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证： a， b， c 成等差数列证明(1) a， b， c 成等差数列，且公差d 0 b c=ab=