[经济学]第2章 消费者理论的若干专题

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1、第二章 消费者理论的若干专题本章将探讨消费者理论的其他主题。我们将从对偶理论开始，彻底考察效用、间接效用以及支出函数之间的联系。接下来会研究古典的“可积性”问题，我们想知道，一个关于收入和价格的函数必须要满足哪些条件，才能成为一个合格的效用最大化的消费者的需求函数。我们的理论为可观察的需求行为施加了各种约束，而该问题的答案就会给这些约束提供一个完整的说明。“显示偏好”是构建需求理论的另一种方法，本章也会关注这个理论。最后，通过探讨不确定条件下的选择问题，我们将对个体消费者的介绍做个总结。2.1 对偶：一个详细的说明前面说过，效用最大化问题和支出最小化问题的解在某种意义上是相同的，定理1.9非常

2、正式地表达了这个思想。本节将进一步探讨直接效用函数、间接效用函数以及支出函数之间的联系，我们会表明，虽然从偏好的若干公理出发，消费者理论自然而然、一气呵成，但从支出行为的公理也能发展出一个同样（或等价）的理论。实际上，对每一个有关价格和收入的函数来说，一旦具有了支出函数的全部性质之后，也就成为支出函数了，一个性状良好（well-behaved）的效用函数就能产生出这样的支出函数。结论的本身很有趣，当用它来充分表达消费者需求行为理论的可观察的特征时，其真正的意义就一目了然。这个令人惊讶的特征源于所谓的“可积性定理”，下一节会详细介绍。考虑到该结论的重要性，本节可视为后面内容的铺垫。2.1.1 支

3、出和消费者的偏好为了了解函数的构建方式，如图2.1（a）所示，选择并取值，得到的数值，再用这个数构建消费集上的“半空间”：注意，是一个包含了超平面及其上方所有点的一个闭的凸集。现在保持而选择一个新的再建一个闭的凸集：对所有的不断地重复这个过程，最后会形成一个无穷的交集：见原书P.74，公式（2.1）图2.1（b）的阴影部分画出了的一个有限的交集，从中大致可以看出的样子。可以想象一下，随着考察的价格逐渐增加，会有更多的集合并入到这个交集中，阴影部分的面积会越来越接近一个拟凹实值函数的上优集。这样，你可能会察觉到，用这些集合可以构建一个间接效用函数，它代表着凸的且单调的偏好。的确如此！下面的定理就

4、说明了这一点。见原书P.74页 图2.1 （a）的闭的半空间（b）有限个的交集(a) (b)定理2.1 由一个支出函数来构建一个效用函数令满足定理1.7给出的关于支出函数的全部7条性质，同（2.1）中的一样，函数由下式给出：那么，该函数必为递增的、无上界的且拟凹的。你可能会奇怪，为什么要用这种方式来定义呢，毕竟用来给赋值的方式是多种多样的。为了了解个中原因，暂且忘了的含义，假设其实就是由某个效用函数产生的支出函数。现在，怎么利用的信息再推导出呢？注意，根据支出函数的定义，对所有的，有；而且对某些价格来说，该式常以等式成立。这样的话，鉴于关于是严格递增的，所以就是的最大值，使得。于是，当真是一个

5、的支出函数的时候，刚才所作的构建工作恰好就是倒推出（或恢复，recover）产生该支出函数的效用函数。前面的过程告诉我们证明所采用的策略是：先说明是一个由定理2.1所定义的且满足了相关公理的效用函数；然后再表明，实际上就是由所产生的一个支出函数（这正是定理2.2的内容）。下面给出定理2.1的证明。证明：注意，根据的定义，我们可以将写成：首先必须要做的工作是对明确定义函数，即，必须证明集合包含了最大的元素。原因如下，首先，我们将该集合称为，因为关于是无上界且递增的，所以，必有上界以及一个最小的上界值。一定可以证明，因为是一个闭集，原因略去不表。明确定义了之后，再来考虑一下递增的问题。如果，那么：

6、见原书P.75，公式（P.1）由于所有的成分（component）都不会小于的，根据的定义，有：见原书P.76，公式（P.2）将（P.1）和（P.2）结合在一起，意味着：见原书P.76，公式（P.3）因此，满足条件，但是满足的最大的，于是有，这表明是递增的。在上无界的源于关于是递增的、凹的、齐次的和可微的等性质，以及的定义域是全部的这个事实。这里就不再进一步证明了（可参考定理2.2的证明）。为了证明是拟凹的，我们必须说明，对所有的以及二者的凸组合来说，有。为了了解这一点，假设，由于关于是严格递增的，进而我们知道，以及：见原书P.76，公式（P.4）根据的定义，有： 将两个式子各自乘以和，然后相

7、加，利用（P.4），有： 以及因此，根据的定义，有，得证。 定理2.1说明，我们可以从一个支出函数出发，构建出一个效用函数，它表示了表示凸且单调的偏好，当然，偏好的性质远不止于此。如果我们从这个偏好和效应函数出发，会推导出一个相关的支出函数，终点又回到了起点！定理2.2 引致效用的支出函数是令满足定理1.7规定的支出函数的全部7条性质，是像定理2.1那样由推导出来的，那么，对于所有的非负的价格和收入，有： 即，是由引致效用（或衍生效用，derived utility）产生的支出函数。证明：将和保持不变，假设满足。注意，由于像定理2.1那样可由推出，于是，必有： 此外，由于是一个递增的效用函数，

8、并且，必有：见原书P.77，公式（P.1）于是，对任意价格，有：见原书P.77，公式（P.2）可（P.2）意味着：见原书P.77，公式（P.3）我们想表明（P.3）的第一个不等式会取等式的形式，为了证明这一点，需要找到单独的一个，使得：见原书P.77，公式（P.4）这显然意味着（P.3）等式右侧的最小值不会大于。为了构建（P.4），根据欧拉定理（定理A2.7），由于关于是可微的、一阶齐次的：见原书P.77，公式（P.5）其中，我们用来表示对价格的偏导数向量，此外，由于关于是凹的，定理A2.4告诉我们，对于所有的，有：见原书P.77，公式（P.6）估计处（P.5）的值，然后将它和（P.6）结合在

9、一起，有：见原书P.78，公式（P.7）令，注意，由于关于是递增的，所以，我们可将（P.7）整理为：见原书P.78，公式（P.8）这样的话，根据的定义，必有；此外，计算（P.5）在处的值，得到。因此，对于选择，我们构建了（P.4），并且证明： 由于且不受限制，我们就证明了正好是上的支出函数。 前两个定理告诉我们，在任何时候，只要我们写出的价格和收入的函数满足了定理1.7的7条性质，它就是一个合理的支出函数，并隶属于某些满足了一般公理的偏好。我们可以将函数对商品价格求微分从而得到相关的希克斯需求系统。如果背后的偏好是连续且严格递增的话，那么对求反（逆）函数，会得到间接效用函数，然后利用罗伊等式再

10、推导出马歇尔需求系统。我们一直认为这个需求系统具备了效用最大化所要求的全部性质，因此出于理论的目的，你可以在下列方案中进行选择：从直接效用函数出发，通过求解一个特定的优化问题，推导出希克斯需求和马歇尔需求；或者，从支出函数出发，经过一个更加简单的相反路线和微分，得到消费者的需求系统。2.1.2 凸性和单调性回忆一下，在介绍过偏好的凸性公理之后，我们断言，“不管有没有这个公理，理论的预测性内容是一样的”，现在到了检验这个论断以及考察凸性假设的重要性的时候了。为了眼下的讨论，我们只假设是连续的，进而它既不必是递增的，也不必是拟凹的。令是由推导出的支出函数，如你所知，函数的连续性确保了被充分界定，此

11、外，它也是连续的。接下来，找出一个效用函数，它是我们按照惯用的方式从中得到的，即：回顾一下定理2.1的证明，我们知道是递增和拟凹的，因此，无论是否拟凹或递增，都具备这两个性质。和显然不必相同，它们之间到底是什么关系呢？根据的定义，我们有，于是，对所有的来说，很明显。现在我们根据的定义推导出想要的那个不等式。因此，对任意的而言，在水平的上优集（比如，）被包含在在水平的上优集（比如，）中，而且，鉴于是拟凹的，所以是凸的。现在来看一下图2.2。如果恰好是递增和拟凹的，的边界就是图（a）中负斜率的、凸的无差异曲线，需要注意的是，边界上的每一点都是在某一价格向量时获得效用的支出最小化组合。因此，如果的话

12、，那么，对某个，有。不过，鉴于关于是严格递增的，这意味着。再根据始终成立，这样必有。由于是任意选取的，这表明对所有的，都有。不过，从定理2.1和2.2来看，再考虑到（假设）拟凹和递增的性质，得出这个结论就没什么可奇怪的了。图2.2（b）中的图形很有意思，这里的既不递增，也不拟凹，但的边界没变，还是无差异曲线。需要注意的是，无论价格向量怎样，无差异曲线上的某些点从未使获得效用的支出最小化。在图2.2（c）中粗线的部分表明，此处的组合在某个正价格向量下实现了支出的最小化。对那些位于粗线部分的中的某些组合来说，和以前一样，仍然有，但由于拟凹、递增，这条无差异曲线必定如（d）图所画的那样。因此，只有要

13、求严格递增和拟凹时，它才会不同于。给定无差异曲线之间的关系，如果某一商品组合能够在的约束下最大化，它也自然能够在下最大化（注意，逆命题并不成立）。因此，由一个非递增、非拟凹的效用函数（比如）所生成的任何一种可观测的需求行为，也同样可由一个递增、拟凹的效用函数（比如）所生成。也正是从这个意义上讲，有关偏好的单调性和凸性的假设对我们的消费者需求理论才没有可观测的含义。 在结束本节之前，我们将指出在单调性结论方面需要注意的一个地方。需求行为由前面第二种情况中所生成的事实是由递增函数取决于消费者只面临非负价格的假设所体现的。例如，在两种商品的情形下，如果有一种商品的价格，比如为负的话，我们将处于图2.

14、2（e）所描述的状况。这里对效用函数是最优的，但对递增函数并不是最优的，因此，如果价格可以为负，没有可观测的结果，单调性并不成立。见原书P.80 图2.2 支出与效用之间的对偶（a） （b）（b） （d） 预算线（e）2.1.3 间接效用和消费者偏好我们已经看到，对偶关系能让我们的分析从支出函数过渡到直接效用函数。鉴于支出函数和间接效用函数关系密切（例如，它们彼此之间互逆），毫不奇怪，我们可以从间接效用函数开始分析，最终回到潜在的直接效用函数那里。这一节将概括出直接效用函数和间接效用函数之间的对偶关系。假设是由间接效用函数生成的，根据定义，对每一个以及，都有。另外，典型地存在某个价格向量，使得

15、该不等式取等式形式。于是，显然有：见原书P.81，公式（2.2）因此，（2.2）为我们提供了一种由间接效用函数生成的信息倒推出效用函数的方法，下面的定理说的就是这个结论，尽管假设不是最弱的。定理2.3 直接效用和间接效用之间的对偶假设是拟凹的，它在上式可微且偏导数严格为正，则，对所有的而言，由所生成的间接效用函数在上得到了一个关于的最小值，并且：见原书P.81，公式（T.1）证明：根据之前有关定理2.3的讨论，（T.1）的左侧永远不会大于右侧，因此，对每个来说，足以证明存在某个，使得：见原书P.81，公式（P.1）考虑，并令，那么根据假设，有；此外，令，有：见原书P.82，公式（P.2）以及见

16、原书P.82，公式（P.3）于是，满足消费者最大化问题（）的一阶条件，而且，根据定理1.4，由于是拟凹的，这些条件足以保证是在以及时消费者问题的解。因而，所以，对与，（P.1）成立。不过，由于任意取值，我们能得出，就每一个来说，（P.1）仅对某些才成立。 和支出函数的情况相同，我们可以用（T.1）来证明，如果函数具备了定理1.6所描述的间接效用函数的全部性质的话，它实际上就是一个间接效用函数。这里不给出证明的过程，有兴趣的读者可以参考Diewert（1974）的文章。最后，我们发现可以把（T.1）写成另一种形式，这样有时候用起来会更加方便。因为关于是零次齐次的，只要，就有。因此，如果对于，和使

17、取最小值，那么，对于而言，就会使取最小值，使得；加之，因此，（T.1）可以写成：见原书P.82，公式（T.1）在用推导的时候，使用（T.1）还是（T.1）无关紧要，哪个方便就用哪个。（T.1）的缺点在于解的多重性：由于是齐次函数，如果是（T.1）的解的话，对于所有的，也是它的解；这样的话，比如，我们就不能像下面那样使用定理A2.22（包络定理），正是由于这个原因，（T.1）要更胜一筹。 例题2.1 现在我们用一个具体的例子来推导出间接效用函数。假设，根据例题1.2的最后一部分，我们知道该函数具备了一个间接效用函数所必需的全部性质，我们将利用（T.1）推导出。令，有，因此，简介效用函数将是一个最

18、小值函数： 首先，求解该最小化问题，然后给出目标函数在解点的值以便形成最小值函数。拉格朗日函数的一阶条件要求满足：见原书P.83，公式（E.1）见原书P.83，公式（E.2）见原书P.83，公式（E.3）由（E.1）和（E.2）消除得：见原书P.83，公式（E.4）将（E.4）代入（E.3）之后再使用（E.4），经过简单的运算，得到的解为：见原书P.83，公式（E.5）见原书P.83，公式（E.6）将其带入目标函数中，得到，有：定义，得：见原书P.83，公式（E.7）这是（也应该是）我们在例题1.2中一开始使用的CES直接效用函数。 上面所得到的对偶性结论是消费者的反需求函数。在这一章用到的普

19、通形式的马歇尔需求函数中，我们始终将需求量表示为价格和收入的函数，可有些时候，需求函数的逆形式用起来更得心应手。现在，我们就将商品的需求量表示为该中商品和其他全部商品的数量的函数，写成。如下面的定理所说的那样（假设函数是可微的），对偶理论为我们推导反需求函数系统（或方程组）提供了一个捷径。定理2.4 （Hotelling，Wold）对偶和反需求函数方程组令是消费者的直接效用函数，则，商品在收入时的反需求函数为：证明：根据的定义，对所有的，有以及，因此，基于上面的定理2.3以及规范化的需要，有：见原书P.84，公式（P.1）现在考虑（P.1）中最小化问题的拉格朗日函数，利用包络定理，有：见原书P

20、.84，公式（P.2）其中，是拉格朗日乘子的最优值。设，有。将（P.2）乘以并加总，得：见原书P.84，公式（P.3），结合（P.2）、（P.3）以及之前的，就能得到要证明的结果。 例题2.2 再考虑一下CES效用函数的情况，如果，那么，两端乘以后加总（j=1,2）会形成要求的比率，利用定理2.4得到收入=1时的反需求函数的方程组：需要注意的是，当我们用进行替换之后，它们恰好是例题2.1中的一阶条件（E.5）和（E.6）的解。这不是巧合，一般来说，消费者效用最大化问题的解是关于价格的马歇尔需求函数，其对偶问题（标准的间接效用最大化问题）的解是关于数量的反需求函数。 2.2 可积性在第1章我们已

21、经证明了，效用最大化的消费者需求函数必须满足：零次齐次、预算平衡性、对称性、负半定以及古诺和恩格尔加总。可实际上，在这些条件中，有的略嫌多余。特别是，我们知道，根据定理1.17的预算平衡性就能得出两个加总的结论，有一个就多余了。在剩下的四个条件中，预算平衡性、对称性和负半定的确各自独立，零次齐次也可以由其他条件得出。实际上，正如下面这个定理所说的那样，预算平衡性和对称性就意味着齐次性。定理2.5 预算平衡性和对称性意味着齐次性如果满足预算平衡性，并且它的斯勒茨基矩阵是对称的，则，该函数关于是零次齐次的。证明：先回忆一下定理1.17的证明，当预算的平衡性得到满足时，我们可以将预算等式对价格和收入

22、做微分，得到（）：见原书P.85，公式（P.1）以及见原书P.86，公式（P.2）固定，然后对所有的，令。我们必须证明关于不变，或者对所有的有。将对求微分，得：见原书P.86，公式（P.3）现在，根据预算平衡性，所以两边同时除以有：见原书P.86，公式（P.4）将（P.4）中的代入（P.3）然后整理，得：中括号里的部分是斯勒茨基矩阵的第项，根据假设，它是对称的。这样的话，即便将括号中的交换，等式仍然成立。因此，这里倒数第二个等式源于（P.1）和（P.2）并在处取值。 因此，如果是一个效用最大化的需求方程组，我们就可以将迄今为止发现的可观察行为的含义概括为： 预算平衡性：； 负半定性：伴随的斯勒

23、茨基矩阵必为负半定； 对称性：必对称。我们想知道这个总结是否全面，有没有漏掉什么？也就是说，从我们的消费者行为的效用最大化模型中得到的可观察行为的含义就只有这些？是否还有我们没发现的其他含义？没有了！我们可以证明这个总结确实是完备的根据效用最大化的消费者理论，为需求行为施加的约束就只有这些。可是，怎么证明这个结论呢？求解的方法精妙无比，可以追溯到Antonelli（1886），其思想是：假设我们已经有了一个关于价格和收入的向量值函数，而且我们也知道如何去构建一个效用函数该函数恰好生成了一个同其需求函数一样的函数。于是，初始的函数显然一定会与我们的效用最大化的消费者理论一致，因为它实际上就是一个

24、需求函数，隶属于拥有我们构建的效用函数的那个消费者。Antonelli意识到，如果我们在分析之初所用的关于价格和收入的向量值函数正好满足上述三个条件的话，实际上就一定会存在一个效用函数，它生成了这个值函数并将它作为自己的需求函数。由需求函数倒推出消费者效用函数的问题被称为可积性问题（integrability problem）。其含义在明显不过了，根据Antonelli的洞见，如果一个关于价格和收入的函数满足上述三个条件的话，它必定为某个效用最大化的消费者的需求函数。我们已经知道，仅当一个价格和收入的函数满足同样条件的时候，它才是某个效用最大化的消费者的需求函数。结合两者，一定会得出如下结论：

25、（仅仅）这三个条件，就能为我们的消费者行为理论提供一个完备且确定的检验。也就是说，当且仅当需求行为满足预算平衡性、负半定以及对称性的时候，需求行为和效用最大化理论才是一致的。结论如此之强，确保了如下命题的成立。定理2.6 可积性定理一个连续可微函数是由某个递增、拟凹效用函数生成的需求函数，当且仅当（效用函数是连续、严格递增和严格拟凹的）它满足预算平衡性、对称性以及负半定。我们现在大概介绍一下Antonelli的结论的证明，但使用的是由Hurwicz和Uzawa（1971）发展的现代方法，他们的证明套路是对对偶理论功能的全美诠释。证明：（简要说明）我们已经证明了“仅当”的部分，这对证明命题的“当

26、”的部分来说足够了。假设某个函数满足预算平衡性、对称性和负半定，我们必须证明存在这样一个效用函数，它可以生成并将其作为自身的需求函数。考虑任意一个支出函数，它由某个递增的效用函数生成，再假设这个生成了马歇尔需求函数。到目前为，和，和以及和之间不必存在任何关系。但是仅仅出于论证的需要，假设和之间有如下关系：见原书P.88，公式（P.1）这样，我们可以就同推导出的效用函数之间的关系说点什么吗？实际情况是，可以！如果（P.1）成立，则就是由效用函数生成的需求函数，即，。我们现在简单介绍一下其中的原因。注意，如果谢泼德引理适用的话，（P.1）的左侧将等于，所以（P.1）意味着：见原书P.88，公式（P

27、.2）此外，如果定理1.9也适用的话，希克斯需求函数和马歇尔需求函数将有如下关系：见原书P.88，公式（P.3）将（P.2）和（P.3）结合在一起，有：见原书P.88，公式（P.4）我们回想一下，作为一个支出函数，它假设，对每一个固定的来说，随着在定义域内不断变化，它都会取一个非负的数值随之而变。因此，（P.4）等价于： 这正是我们想要的结果（尽管实际上我们既没用上谢泼德引理，也没用上定理1.9，但仍然可以得到前面的结论）。因此，如果函数与某一个支出函数的关系如（P.1）所示，则就是由某个递增、拟凹的效用函数所生成的需求函数（例如，根据定理2.1，效用函数生成了支出函数）。于是，我们的任务就简

28、化为证明存在一个支出函数，它同的关系如同（P.1）。眼下，想找到一个使（P.1）成立的支出函数绝非易事。实际上，在一些数学类的文献中，（P.1）被称为一个偏微分方程组（partial differential equations）。尽管这个方程组时常难以求解，但有一个重要的结论能准确地告诉我们方程组何时有解，并且，就我们的目的而言，这个存在性就足够了。不过，在介绍这个结论之前，需要注意，如果（P.1）有一个解，那么将两侧对求微分，得：根据谢泼德引理，利用（P.2）并令，上式可以写成：见原书P.89，公式（P.5）根据杨格定理，（P.5）左侧的部分关于是对称的，这意味着右侧关于也必然是对称的，而

29、后一种对称是（P.1）的解存在的必要条件。显然，我们也可以证明该条件也是界存在的充分条件。根据Frobenius定理，当且仅当（P.5）的右侧关于对称的时候，（P.1）的解才存在。仔细观察一下（P.5）的右侧，它是的斯勒茨基伴随矩阵的第项，由于该矩阵是对称的，所以满足（P.1）的函数一定存在。该函数是一个真正的支出函数吗？Frobenius定理没法回答这个问题，不过根据定理2.2，如果它具备了定理1.7列出的支出函数的全部性质的话，那它就是一个支出函数。我们现在就来验证每条性质。首先我们注意到，由于满足（P.1）而非负，所以关于递增并且满足谢泼德引理；此外，关于是连续的，关于严格递增以及无界的

30、，而且当时，。习题2.4让你证明：由于满足了（P.1）和预算平衡性，关于一定是一次其次的。因此，支出函数剩下唯一必须要具备的性质就是关于是凹的。根据定理A2.4，当且仅当的海塞矩阵关于是负半定的时候，它关于才是凹的。不过，根据（P.5），当且仅当的斯勒茨基伴随矩阵是负半定的时候（根据假设，的确如此），上述命题才能成立。我们已得到的全部结论是：当且仅当满足预算平衡性、对称性以及负半定的时候，（P.1）的解存在。这也恰好是我们要证明的东西。 尽管我们已经强调了该结论对理论本身的重要性，但其应用价值也不容忽视。例如，假设一个人想基于有限的数据估计消费者的需求函数，而且它还希望施加一个约束条件需求函数

31、是通过效用函数（最大化）生成的，那么，只要一个函数满足了预算平衡性、对称性和负半定这几条性质即可成为一个需求函数，至于具体形式，反倒无关紧要。正如现在我们知道的那样，任何此类的需求函数都一定是效用生成的。为了让你了解从支出函数倒推出需求函数的实际过程，下面考虑一个涉及3种商品的例子。例子2.3 假设有3种商品，消费者的需求行为可由下列函数概括其中，而且。显然，该需求矩阵满足预算平衡性、对称性和负半定，于是，根据定理2.6，一定是通过效用函数生成的。我们想推导出一个满足（在之前的证明中）（P.1）的支出函数。习题2.5要求你跟进一步，利用定理2.1的构造去推导出一个效用函数，我们这里用到的支出函

32、数即由该效用函数生成。得到的这个效用函数会生成一些需求行为，这就是我们分析的起点。这样的话，我们的一个任务就是找到下面的偏微分方程组的解：首先，我们注意到该式可以写成如下形式：见原书P.90，公式（E.1）现在告诉你，让你求出，答案定会定脱口而出：常数。（E.1）说的正是这个，。还需要记住的是，函数对求偏导数时，其他变量（）都被当成是常数。记住这一点之后，你就很容易发现（E.1）等于：见原书P.91，公式（E.2）其中，函数可能是放在前面的常数，但我们必须确定它的形式以便使三个方程同时成立。稍加思考，你就会发现（E.2）意味着：其中，是的某个函数，上式又意味着：由于必须要确保关于是严格递增的，

33、所以我们可以选择任何一个严格递增的函数作为，这个问题无关紧要，因为函数蕴含的需求行为和这种严格递增的形式没什么关系。比如，我们可以选择，这样最终的解为：看看这个函数是不是满足初始的偏微分方程组以及它是否具备了支出函数的所有性质，这个工作就留给你自己来完成。 2.3 显示偏好迄今为止，我们处理需求理论的方法都是假设消费者的偏好满足某些特定的性质（完备、传递、严格单调），然后在此基础上尝试着推导出市场需求的全部的可观察的特性（预算平衡性、对称性、斯勒茨基矩阵负半定）。因此，我们的分析实际上是始于一些看不见的东西（偏好），然后推导出一些可见的预测（消费者的行为）。在著名的经济分析的基础（Founda

34、tions of Econmoic Analysis）一书中，保罗萨缪尔森（Paul Samuelson，1947）提出了另一种方法。为什么而我们的分析不能始终从可观察的行为出发呢？萨缪尔森证明了，在我们对消费者的可观察的选择做一些简单、合理的假设之后，一般消费者理论对消费者可观察的市场行为的每种预测实际上也可以由这些假设得到，而不是由那些不可见的偏好来导出。背后的基本思想一目了然：如果在同样买得起的情况下，消费者选择购买某一商品组合而不是其他组合，那他一定是认为该组合显示性地偏好于（revealed preferred）其他组合。从实际的选择来看，消费者传递了关于自身偏好的重要信息。这和之前

35、依靠消费者偏好的若干公理的做法完全不同，我们只要求作出的选择要有一致性，更正式一点的表述如下。定义2.1 显示偏好弱公理（WARP）如果对于每一组不同的消费组合来说，消费者在价格为的时候选择了；在价格为的时候选择了，则称消费者的选择行为满足显示偏好弱公理（WARP）。换句话说，如果显示性地偏好于而从不显示性地偏好于时，WARP成立。为了能更好地理解其中的含义，看一下图2.3。在这两个图中，消费者都在价格是的时候选择了，在价格是的时候选择了。在图2.3（a）中，消费者的选择满足WARP，在买得起的时候选择了，在选择的时候买不起；相反，在图2.3（b）中，消费者在买得起的时候选择了，但在选择的时候

36、他也买得起（但没买），所有后者违反了WARP。现在假设消费者的选择行为满足WARP，令表示消费者在价格和收入分别为时候的选择。需要特别留意的是，由于我们没有提到效用或者效用最大化，所以并不是一个需求函数，它仅仅代表了消费者在面临时选择的数量。为了让你能清楚地记住这一点，我们把当成一个选择函数。除了WARP之外，需要对消费者的选择行为施加的一个新的约束条件是，对于，选择满足预算平衡性，即。这两个约束条件明显要宽松许多，但背后的意义不可小看。见原书P.92页 图2.3 显示偏好弱公理（WARP）(a) (b)WARP和预算平衡性的第一个结论是，选择函数关于是零阶齐次的。想了解其中的原因，假设在价格

37、为和收入为时的选择，在价格为和收入为且时的选择。由于，而当所有的收入用尽时必有。首先，在上式中用替代再除以，得：见原书P.93，公式（2.3）然后在同样的那个式子中用代替，得：见原书P.93，公式（2.4）如果（2.3）成立时和为两组不同的消费束，那么WARP就意味着（2.4）的左侧一定是严格小于右侧的这就出现了一个矛盾。因此，这些商品不可能不同，而且消费者的选择函数关于价格和收入一定是零次齐次的。于是，选择函数必定会呈现出需求函数的另一个性质，实际上我们将要证明，也必定会具有需求函数的其他一些性质。习题1.45介绍了斯勒茨基补偿需求的概念，现在让我们来考察一下这种补偿需求对消费者选择行为的影

38、响。略过习题，斯勒茨基补偿是相对于某个预先指定好的而言组合的（比如），其思想是，在价格任意变动时对消费者进行收入补偿，使其正好可以买得起原来的消费，然后观察消费者选择的变化（见图2.4）。这样的话，在价格是时，他的收入为；其他情况下，收入为。见原书P.93页 图2.4 收入的斯勒茨基补偿现在，固定并令，如果为其他任意的价格向量且，则WARP意味着：见原书P.94，公式（2.5）实际上，如果的话，（2.5）就会取等式；如果，由于是在买得起的情况下的选择（比如在价格为和收入为的时候），因此，WARP意味着只要选择了，则消费者的收入就不足以支付得起。所以，（2.5）会是一个严格的不等式。现在，根据预

39、算平衡性，有：见原书P.94，公式（2.6）用（2.6）减去（2.5）之后的结果意味着对所有的价格，有：见原书P.94，公式（2.7）由于（2.7）对所有的都成立，令，其中和为任意值，则该式变为：见原书P.94，公式（2.8）两边同时除以得：见原书P.94，公式（2.9）上式中用到了这一事实。现在将固定，我们可以找到一个足够小的使得对所有的有。注意，当时（2.9）将取等式。（2.9）表明了函数是由其右侧部分定义的，例如：在上的位置取最大值，因此，必有。但通过对求导然后在取值（假设可微），有：见原书P.94，公式（2.10）现在，由于是任意取的，（2.10）表明矩阵的第项一定是负半定的：见原书P

40、.94，公式（2.11）而这个矩阵恰好是选择函数的斯勒茨基伴随矩阵！因此，我们已经证明了，如果一个选择函数满足MARP和预算平衡性的话，他也必须要满足效用最大化的另外两个性质，即，零次齐次和斯勒茨基矩阵的负半定。另外，如果我们可以证明选择函数的斯勒茨基矩阵是对称的，那么，根据可积性的结论，该函数在实际上会是一个需求函数，因为我们可以构建一个能生成该需求函数的效用函数。在对最后一点进行深入探讨之前，有必要指出的是，如果是一个效用生成的需求函数，它就必须满足WARP。为了了解这一点，假设一个效用最大化的消费者有着严格单调且严格凸的偏好，于是我们知道，在每一个价格集下都有唯一的一个需求组合，而且这个

41、组合总是能用尽消费者的全部收入（参见习题1.16）。于是，我们令是价格为时的效用最大化组合，我们令是价格为时的效用最大化组合，假设。由于是一个虽然买得起但没有被选择的组合，所以。因此，当价格为时消费者选择了，则必定为一个不可行（支付不起）的组合，或者有。于是意味着，所以函数满足WARP。可反过来说意味着什么呢？消费者的选择函数总满足WARP吗？行为一定要由效用最大化生成吗？换句话说，一定存在这样一个效用函数，它会导致一些作为效用最大化过程的结果的可观察的选择吗？如果答案是肯定的，我们就说效用函数理性化（rationalise）了可观测行为。证明的结果，答案是肯定的，也可能是否定的。如果只有两种

42、商品，WARP意味着存在某个效用函数让选择理性化；不过，如果选择是在两种以上的商品间进行的话，即便WARP成立，也不必然一定证存在这样一个函数。两种商品的情况之所以例外，和斯勒茨基矩阵的对称性以及传递性有关。能证明在两种商品的情形中，预算平衡性和齐次性在一起意味着斯勒茨基矩阵一定是对称的（参见习题2.9），这样的话，鉴于WARP和预算平衡性意味着齐次性和负半定，于是在两种商品的情况下，它们也意味着斯勒茨基矩阵的对称性，从而，可积性定理告诉我们，选择函数一定是效用生成的。一个明显不同但实质等价的（对两种商品情形特殊性的）解释是，通过显示偏好对组合成对地排列不会出现非传递性的循环（习题2.9会让你

43、来证明这个结论），一旦如此，就会存在一个生成选择函数的效用表达式，于是，像我们之前提到过的那样，在斯勒茨基矩阵的对称性和消费者偏好的传递性之间有一种更密切的联系。就多种商品的情形而言，WARP和预算平衡性既不意味着斯勒茨基矩阵的对称性，也不意味着显示偏好关系中不存在非传递性的循环。所以，WARP和预算平衡性在这种情况下同效用最大化的假说并不等价。问题自然就来了，“WARP要多强才能得到一个和效用最大化理论等价的显示偏好理论呢？”答案就是“显示偏好强公理”。如果对每一个不同的组合序列来说，显示偏好于，显示偏好于，显示偏好于，但不显示偏好于，那么，显示偏好强公理（SARP）被满足。SARP排除了不

44、可传递的显示偏好，进而可用来推导一个完备的、可传递的偏好关系，对这种关系，会有一个理性化可观察行为的效用函数。本节略去证明，读者可以参考霍萨克（Houthakker，1950）的最初研究和瑞切特（Richter，1966）的精彩证明。如果消费者选择一个组合来最大化严格拟凹且严格递增的效用函数，不难证明，他的需求行为一定满足SARP（参见习题2.11）。因此，仅以SARP（对可观测选择的一种限制）为基础的需求理论在本质上与建立在效用最大化基础上的需求理论是等价的。消费者需求无论以哪种理论为基础，都将是齐次的，斯勒茨基矩阵也将是负半定和对称的。但目前为止，我们的分析始终集中在显示偏好公理和消费者的

45、选择函数上，仿佛在研究中有大量的关于价格和数量的数据可用。对多数人来说，显示偏好理论的根本魅力在于保证研究工作可以从实际数据出发并用一个隐含的效用函数预测消费者的行为。由于真实世界的数据集所包含的无外乎是数量有限的样本，所以，显示偏好领域最新的工作就是尝试直接解决由此引发的各种问题。最后，Afriat（1967）引入了显示偏好的一般化公理（GARP），这是一个比SARP更弱的条件，他还证明了一个与可积性定理（定理2.6）类似的定理。根据Afriat定理，当且仅当存在一个使数据理性化的连续、递增以及凹的效用函数时，一个有关可观察的价格和数量数据的有限集合将满足GARP（习题2.12将会介绍一个该

46、定理的弱版本）。不过，由于数据有限，消费者的偏好并不会完全局限在非样本（out-of-sample）的组合上，因此，能使（有限）数据理性化的效用函数可能不只一个。见原书P.97页 图2.5 推导满足GARP的偏好可是在很多时候，显示偏好不允许我们做某种“非样本”的比较。例如，在图2.5中，我们假设消费者在价格为时选择了，在价格为时选择了，很明显，显示偏好于，因此，对任何一个可理性化数据的效用函数来说，根据定义，必有。现在假设我们相比较这样的组合，它们显然不在样本之中。由于在选择时花的钱要少于，我们可以得出。此外，如果“多比少好”的话，效用函数一定是递增的，进而有，所以，对于任何一个可理性化观测

47、数据的效用函数来说，有，这样我们就可以直接对非样本的组合进行比较了。结论是，对于任何一个可生成所观察到的数据的递增效用函数来说，。凡事并非总是一帆风顺。比如，我们看到消费者在价格的时候选择了，由于经过的无差异曲线与预算线相切，很容易证明，效用函数使选择理性化。与此同时，效用函数同样会使这个选择（在价格时选择）理性化，因为该函数经过的无差异曲线与同样的预算线相切于。如果和之间仅仅是单调变换的关系，这倒没什么可大惊小怪的，但它们不是。当我们比较样本外的组合和时，一种情况下有，也就是偏好于；可在另一种情况下，这又告诉我们偏好于。那么，对于一个既定的组合，我们能找到全部的组合，使得对于每一个可理性化数

48、据集的效用函数均有吗？瓦里安（Varian，1982）给出了一个局部解，在一个商品组合集中，其中的每个对每个理性化数据的效用函数都满足。Knoblauch（1992）后来证明了瓦里安集是一组完备的解，也就是说，这个集合囊括了所有此类的组合。不幸的是，消费数据经常会违反GARP，因此，现在我们一方面要找到一个标准来确，在何种情况下这种违背无关紧要、可以忽略；另一方面要找到在实践中用来构建一个适宜的效用函数所用的运算法则，该效用函数建立在对GARP只有轻微违背的数据集基础上。2.4 不确定性到目前为止，我们都一直假设决策者处在一个确定性的世界中，消费者完全知道所有商品的价格，了解全部可行的消费组合

49、。现实世界中的经济行为人显然并不总是在这么理想的环境中，很多经济决策都涉及到不确定性。例如，消费者在买车的时候，会考虑将来的油价、维修费用以及几年后的转售价格没有一个在决策那一刻是确定的。这种都涉及到对决策结果的不确定性，虽然决策者可能知道不同结果出现的概率，但最终的结果只有到了最后才能见分晓。乍一看，不确定性似乎过于棘手、难以处理，但经济学理论在这方面已经有诸多建树，首要的分析方法源自冯诺依曼和摩根斯坦（von Neumann and Morgenstern，1944）的开创性工作。2.4.1 偏好在本书前面的部分中，我们假设消费者对消费集中的所有消费组合有一种偏好关系，现在只需对视角稍加变

50、化，就可以将不确定性容纳进来。偏好关系仍被保留，但假设个体的偏好关系是发生在赌博（或赌局，gambles）而不是商品组合之间。正式的表述是，令表示一个有限的结果集，可能是消费组合、货币数量（或正或负），或者其他任何什么东西，重要的是本身不涉及不确定性；换句话说，我们要把集合当作赌博形成的基础。例如，令，其中“1”代表结果为“赢了1美元”而“-1”代表结果为“输了1美元”。假设你和一位朋友参加这样一个赌局：正面（头像）朝上的话，她给你1块钱，反面朝上的话，你给她1块钱。从你的角度来看，赌局的结果是（中的两种）二选一：1（赢1美元）或-1（输1美元）。由于这是一场公平的赌局，每种结果出现的可能性都

51、是二分之一。更一般地讲，一场简单赌局（或单赌，simple gamble）会为中每一种结果指派一个概率。当然，由于是概率，它一定是非负的，又因为赌博一定会出现中的某个结果，所以之和必定为1。我们用来表示这场单赌，而单赌的集合定义如下：定义2.2 单赌令为结果集，则单赌（的）的集合由下式给出：当有一种或多种结果的为零时，处于简化的目的，我们会将这些部分从表达式中拿掉。比如，单赌可以写成。需要注意的是，包含，因为对每个来说，（）（出现的概率是1）处于中。为了使表示方法更简单一些，我们用来代替（），这表示赌局的结果一定是。回到扔硬币的例子中，进而每个人面临的单赌为。当然，并不是所有的赌博都是单赌。例

52、如，很多国家彩票（state lottery）常把下一期的彩票当成奖券。赌博的奖金本身也是赌博，这被称为复合赌局（或复赌，compound gambles）。注意，一个复赌到底包含了多少层组合是没有限定的。实际上，国家彩票在这方面就是一个特例。因为每场国家彩票都可能会以另一个彩票做奖金，所以一场彩票可以包含的组合层次是无限的。即，通过不断地拿彩票当奖金，在你开始买的彩票兑现之前，国家彩票想玩多少回就能玩多少回。仅仅是出于简化的目的，我们把像国家彩票这样的无穷次数的复赌排除掉，只考虑哪些经过任意有限次数的赌局后会出现中的结果的那些复赌。这样的话，我们令表示所有赌博的集合，其中包括单赌和复赌。尽管

53、复赌的集合（进而）有更正式的表达方法，但仅就我们的研究目的来说，这些就足够了。简单一点，可以把一场赌博看成是一张彩票，其本身就能导致诸多彩票中（可能完全不同）的某一种，然后以此类推。但最终，在经历了有限次数的博彩之后，一定会出现中的某个结果。所以，如果是中的任意一场赌局，则，对某谐和某些赌博，其中，可以是复赌、单赌或其他。当然，必须非负，而且之和要等于1。 的一个正式的定义如下。令，并且对每一个令，于是=。不确定性条件下的决策的选择对象是赌博。和消费者理论类似，我们假设决策者对赌博的集合的偏好是。在分析过程中需要设定若干公理，这被称为关于决策者偏好关系的不确定性下选择公理（axioms of

54、choice under uncertainty）。和以前一样，和表示由派生出来的“无差异”和“严格偏好于”关系。前两个公理看起来非常眼熟，所以无须赘言。公理1：完备性。对中任意两个赌局和而言，要么，要么；公理2：传递性：对中任意三个赌局、和而言，如果且的话，则。由于中的每个在中都退化为一个赌局，公理具体意味着中有限数量的元素可通过来加以排序（参加习题2.16）。所以，在不丧失一般性的情况下，假设中的元素可以被指标化，使得。这样的话，看起来没有赌局会好过肯定发生的情况，也没有赌局糟过肯定出现的情形（尽管我们并没有直接做这样的假设）。也就是说，对任何一个而言，当时，有；当时，有。下面的定理表明，

55、如果无差异关系在两种极端情况下均不成立，那它一定在取某些中间值时成立。公理3：连续性。对中任意一个赌局，总存在某个概率，使得。公理3乍一看有点匪夷所思，例如，假设，对多数人来说，这些结果的严格排序如下：。现在考虑一个“肯定能得到10美元”的单赌，根据，一定存在某个概率使得赌局的吸引力和“10美元”相同。因此，如果没能找到这样的概率，就说明你对赌博的偏好不符合。那么，难道说公理为偏好施加了一个过分严格的约束吗？先别急着要答案。如果你开车经过一个小镇能得到1000美元，也有可能（虽然微乎其微）在车祸中丧生；而呆在家里肯定能得到10美元。你可能会说你偏好这场赌局，不喜欢那一笔可忽略不计的确定性收入。

56、假设我们可以不断地提高出现致命车祸的概率直到你认为这两个选择没有差别，一旦出现这种情况，我们会发现那个使选择无差异的概率也就是中假设存在的概率。下一个公理表达了这样一种思想，如果两个单赌分别只能得到最好和最坏的结果，那么人们会更偏好那个最好结果出现概率更大的赌局。公理4：单调性。对所有的概率，当且仅当。注意，单调性意味着，所以决策者认为中所有的结果是无差异的这种情况被排除掉了。虽说（如单调性所说的那样）多数人总是偏好好结果出现概率比较大的那个赌局，但不是必然如此。例如，对狩猎的人来说，一次外出的最坏结果就是丢掉性命，不过死亡的可能性反而增加了冒险的刺激。有点危险比没有强，这很明显违背了单调性。

57、下一个公理说的是，如果决策者认为两个赌局的结果相同，而且这些结果出现的概率也相同，那么，他就认为这两个赌局是一样的（无差异）。公理5：替代性。如果以及都属于，而且如果对每个来说，则。G5和G1在一块意味着，如果行为人认为两个赌局一样的话，他也一定认为这两个赌局的所有的凸组合也是相同的。即，如果，那么由于（根据G1），所以公理G5意味着。下一个（也是最后一个）公理说的是，在考虑某一个特定赌局的时候，决策者关心的只是赌局分派给A中每个结果的有效概率。这点需要详细说明一下。例如，假设，考虑如下一场复赌：出现结果的概率是；得到另一份彩票的概率是。彩票本身也是一场单赌：出现结果的概率是；出现的概率是。现

58、在把它们放在一起考虑。结果实际出现的有效概率是多少呢？以两种不同（或互斥）的方式出现，一种是作为复赌的中间过程的结果，另一种是作为彩票的一个结果。第一种情况出现的概率显然为；第二种情况出现的概率为，因为要想通过彩票获得，则一定不是复赌的中间结果且必定是彩票的结果。这样的话，由于出现的这两种方式是互斥的，全部概率放在一起等于+。同样，结果为的有效概率为。在面对上面的复赌时，我们说决策者只在乎的有效概率就等于说他认为这个复赌同由其产生的单赌是一样的（无差异的）。很明显，我们可以用类似的方法推导出任意复赌中出现的有效概率。鉴于整个过程（至少在概念上）简单易懂，我们就不详加介绍了。对任意的赌博来说，如

59、果表示指派给的有效概率，那么，我们就说引致了单赌。我们强调的是，每一个引致了唯一的单赌。最后一个公理表述如下。 在某些处理中，G5和G6合二为一，变成“独立性”公理。（参见习题2.20）公理6：简化公理。对任意的赌博，如果是由所引致的一个单赌，那么。注意，根据G6（以及G2），个体对所有赌博（复赌或其他）的偏好完全由他对单赌的偏好决定。就像G6看起来那样，它确实限定了我们的分析，特别是如果一个人想为在拉斯维加斯度假的人的行为建模的话，使用这个假设就不太合适了。根据有效概率对输赢的定义，他们可能认为在那里玩几次老虎机和所有赌博都玩一次没什么区别。可另一方面，很多不确定性下的决策都发生在拉斯维加斯

60、以外，对这些人来说，公理G6完全适用。2.4.2 冯诺依曼和摩根斯坦效用既然我们已经介绍了需要遵守的对赌博的偏好的公理，那就再问一次，是否可以用一个连续的实值函数来表示这种偏好？毫不奇怪，回答是肯定的。基于对确定条件下的偏好的研究，我们知道，公理G1、G2和某种连续性假设应该能确保代表的连续函数存在。另一方面，除了G1、G2和连续性之外我们还做了其他假设，所以我们预期推导出的效用表达式不只具有连续性。实际上，本节将证明，我们不但能得到一个代表关于的偏好的连续效用函数，还发现该函数同结果的有效概率之间是线性关系。为了表示的更准确一点，假设是一个表示关于的偏好关系的效用函数， 只要，当且仅当时，函

61、数就可以表示偏好关系，参见定义1.5。所以，对每个来说，代表着赋予赌博的效用值，具体来说，对每个而言，为退化赌局指派了一个数，其中结果确定会出现。我们常用指代结果的效用。下面将要说明的是前面提到过的线性性质。定义2.3 期望效用的性质效用函数具有期望效用的性质，如果对于每一个来说，其中，是由引致的一个单赌。因此，说具有期望效用的性质就是说它为每个赌局指派了可能发生的效用的期望值，其中，可能出现的每个效用都被指派了有效概率。 将分别以取的函数的期望值定义为等于。这里扮演了的角色，进而我们考虑的是效用的期望值。当然，获得效用的有效概率只不过是出现结果的有效概率，即。注意，如果具有期望效用的性质，并且如果是一场单赌，那么，因为由所引致的单赌就是本身，所以我们一定有： 因此，函数以为A上的有限结果集指定数值的方式完全由决定。如果用一个具有期望效用性质的效用函数表示个人的偏好，并且如果个人总是选择他最偏好的可行方案，那么，只有当一个赌局的期望效用更大的时候，它才会被选择。因此，这类个体是一个期望效用最大化者（expected utility maximiser）。这样的函数明显