热学输运理论和分子动理论的非平衡态理论实用教案

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1、 3.1 黏性现象黏性现象(xinxing)的宏观规的宏观规律律 一. 层流(cn li)（laminal flow） 直圆管中流体直圆管中流体(lit)的流线图的流线图 流体在河道、沟槽及管道内的流动情况流体在河道、沟槽及管道内的流动情况相当复杂，它不仅与流速有关，还与管道、相当复杂，它不仅与流速有关，还与管道、沟槽的形状及表面情况有关，也与流体本沟槽的形状及表面情况有关，也与流体本身性质及它的温度、压强等因素有关身性质及它的温度、压强等因素有关 实验发现，流体在实验发现，流体在流速较小流速较小时将作分层平时将作分层平行流动行流动-层流层流。 层流层流: :分层流动，质点轨迹相同，不重叠。分

2、层流动，质点轨迹相同，不重叠。 第1页/共54页第一页，共54页。第2页/共54页第二页，共54页。 流体作层流时，通过任一平行于流速的截面两侧的相邻两层流体上作用有一对阻止(zzh)它们相对“滑动”的切向作用力与反作用力 流动流动(lidng)较快的一层流体减速，流动较快的一层流体减速，流动(lidng)较慢的一层流体加速较慢的一层流体加速-黏性力（黏性力（viscous force）（内摩擦力）（内摩擦力）.二二. . 稳恒层流稳恒层流(cn li)(cn li)中的黏性现象中的黏性现象Fz( )u zdfdf0u 0u对于面积对于面积dA的相邻两流体层的相邻两流体层ddff 第3页/共5

3、4页第三页，共54页。ddufAz 2111N s m0.1kg ms 牛顿牛顿(ni dn)黏性定律：黏性定律：的单位为的单位为 称为称为(chn wi)(chn wi)泊泊, ,以以P P表示表示 . . :黏度黏度(nind)或黏性系数、黏滞系数（或黏性系数、黏滞系数（coefficient of viscosity) . ddptddpft三三. 切向动量流切向动量流 单位时间内相邻流体层之间所转移的沿流体层切向的单位时间内相邻流体层之间所转移的沿流体层切向的定定向动量向动量切向动量流密度切向动量流密度 dd/ddppuJAtz (1)易于流动的流体其黏度较小；说明说明(2)黏度与温度

4、有关黏度与温度有关.第4页/共54页第四页，共54页。旋转(xunzhun)黏度计RR例例:旋转黏度计是为测定气体的黏度而设计旋转黏度计是为测定气体的黏度而设计(shj)的仪器，的仪器，其结构如图所示。扭丝悬吊了一只外径为其结构如图所示。扭丝悬吊了一只外径为R、长为、长为L的内的内圆筒，筒外同心套上一只长亦为圆筒，筒外同心套上一只长亦为L的、内径为的、内径为 的外的外圆筒圆筒( ), 内、外筒间的内、外筒间的 隔层内装有被测气体。使隔层内装有被测气体。使外筒以恒定角速度外筒以恒定角速度 旋转旋转 内筒所受到的气体黏性力产生的力矩内筒所受到的气体黏性力产生的力矩(l j)被扭丝的扭被扭丝的扭转力

5、矩转力矩(l j)所平衡。所平衡。G可由装在扭丝上的反光镜的偏转角可由装在扭丝上的反光镜的偏转角度测定。度测定。求求:被测气体的黏度表达式。被测气体的黏度表达式。解解: :因内筒静止，外筒以因内筒静止，外筒以 的线速度在运动，夹层流体有的线速度在运动，夹层流体有 的速的速度梯度（因度梯度（因 ，可认为层内的速度梯度处处相等），气体对内，可认为层内的速度梯度处处相等），气体对内圆筒表面施予黏圆筒表面施予黏性力，黏性力对扭丝作用的合力矩为性力，黏性力对扭丝作用的合力矩为RuRR 322RR LGRL R故气体的黏度为故气体的黏度为32GR L第5页/共54页第五页，共54页。四四. 非牛顿流体（非

6、牛顿流体（non-Newtonian fluidnon-Newtonian fluid） 人们日常接触的流体中还有一些不遵从牛顿黏性定律人们日常接触的流体中还有一些不遵从牛顿黏性定律(dngl)(dngl)的流体，人们称它的流体，人们称它为非牛顿流体。如泥浆、橡胶、血液、油漆、沥青等。为非牛顿流体。如泥浆、橡胶、血液、油漆、沥青等。 五. 气体黏性微观(wigun)机理 常压下气体的黏性就是由流速不同的流体层之间的定向常压下气体的黏性就是由流速不同的流体层之间的定向(dn xin)动量的迁移产生的。动量的迁移产生的。 由于气体分子无规的热运动，在相邻流体层间交换分子对的同时，交换相邻流体层的由

7、于气体分子无规的热运动，在相邻流体层间交换分子对的同时，交换相邻流体层的定定向运动动量向运动动量。以上讨论的仅是常压下的气体。对于压强非常低的气体以及所有的液体，其微以上讨论的仅是常压下的气体。对于压强非常低的气体以及所有的液体，其微观机理都不相同。观机理都不相同。 说明说明第6页/共54页第六页，共54页。3.1.2 泊肃叶定律泊肃叶定律(dngl)（Poiseuille law） 动力学观点:要使管内流体作匀速运动，必须(bx)有外力来抵消黏性力，这个外力就是来自管子两端的压强差p.ddVt4dd8VrptL41pr 以长为以长为L,半径为半径为r的水平直圆管为例来讨论不可压缩黏性流体的水

8、平直圆管为例来讨论不可压缩黏性流体(lit)（其黏度为（其黏度为）的流动。的流动。体积流率体积流率:泊肃叶（泊肃叶（Poiseuille）定律）定律:(单位时间内流过管道截面上的流体体积单位时间内流过管道截面上的流体体积) 利用动力学方法证明利用动力学方法证明: : 说明说明第7页/共54页第七页，共54页。3.2 扩散现象扩散现象(xinxing)的宏观规律的宏观规律 3.2.1 自扩散自扩散(kusn)与互扩散与互扩散(kusn) 菲克定律菲克定律 当物质中粒子数密度不均匀当物质中粒子数密度不均匀(jnyn)(jnyn)时，由于分子的热运动使粒子从数密度高的地方迁时，由于分子的热运动使粒子

9、从数密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象称为扩散。移到数密度低的地方的现象称为扩散。一. 自扩散与互扩散自扩散与互扩散（self-diffusion and inter-diffusion） 互扩散互扩散:发生在混合气体中，由于各成份的气体空间不均匀，各种成份分子均要从高密度区向低密发生在混合气体中，由于各成份的气体空间不均匀，各种成份分子均要从高密度区向低密度区迁移的现象。度区迁移的现象。AB A, B：温度相同，压强相同，数密度相同。：温度相同，压强相同，数密度相同。 自扩散自扩散:这是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异尽量变小，使它们相互扩散的速率趋这是一种使发生互扩散的两种气体分子

10、的差异尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过程。于相等的互扩散过程。 CO2(C12 , C14)第8页/共54页第八页，共54页。二二. 菲克定律菲克定律(dngl)（Ficks law） 1855年法国生理学家菲克（Fick,1829-1901）提出了描述扩散规律的基本(jbn)公式菲克定律。21msddNnJDz ddMtddzD:扩散系数扩散系数（diffusion coefficient） 同样同样(tngyng)，单位时间内气体扩散的总质量，单位时间内气体扩散的总质量 与密度梯度与密度梯度 之间的关之间的关系系 ddddMDAtz 粒子流密度：粒子流密度：ddddNnDA

11、tz 单位单位:负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。mn第9页/共54页第九页，共54页。 三. 气体扩散(kusn)的微观机理 扩散是在存在同种粒子的粒子数密度空间扩散是在存在同种粒子的粒子数密度空间(kngjin)不均匀性的情况下，由于分子热运动所产不均匀性的情况下，由于分子热运动所产生的宏观粒子迁移或质量迁移。生的宏观粒子迁移或质量迁移。 1. 应把扩散与流体应把扩散与流体(lit)由于空间压强不均匀所产生的流体由于空间压强不均匀所产生的流体(lit)流动区别开来流动区别开来成团粒子成团粒子整体定向运动所产生。整体定向运动所产生。2. 以上讨论

12、的都是气体的扩散机理，至于液体与固体，由于微观结构不同，其扩散机以上讨论的都是气体的扩散机理，至于液体与固体，由于微观结构不同，其扩散机理也各不相同。理也各不相同。 说明说明第10页/共54页第十页，共54页。3.3 热传导现象热传导现象(xinxing)的宏观规律的宏观规律 当系统与外界之间或系统内部各部分之间存在温度差时当系统与外界之间或系统内部各部分之间存在温度差时就有热量就有热量(rling)(rling)的传输的传输.ddddQTAtz ddTzQ3.3.1 傅里叶定律(dngl)一一. 傅里叶定律傅里叶定律（Fourier law of heat conduction ) 1822

13、法国科学家傅里叶（法国科学家傅里叶（Fourier）在热质说思想的指导下提出了傅里叶定律。）在热质说思想的指导下提出了傅里叶定律。 该定律认该定律认为热流为热流 （单位时间内通过的热量）与温度梯度（单位时间内通过的热量）与温度梯度 及横截面积及横截面积 A成正比，即成正比，即其中比例系数其中比例系数 称为热导系数（称为热导系数（heat conductivity）, 其单位为其单位为11W mK第11页/共54页第十一页，共54页。 引 入 热 流 密 度 J T （ 单 位 时 间 内 在 单 位 截 面 积 上 流(shngli)过的热量）ddTTJz 二二. . 热传导的微观热传导的微观

14、(wigun)(wigun)机理机理 热传导是由于分子热运动强弱热传导是由于分子热运动强弱(qin ru)程度（即温度）不同所产生的能量传递。程度（即温度）不同所产生的能量传递。（1）气体）气体：当存在温度梯度时，作杂乱无章运动的气体分子，在空间交换分子对的同：当存在温度梯度时，作杂乱无章运动的气体分子，在空间交换分子对的同时时交换了具有不同热运动平均能量的分子交换了具有不同热运动平均能量的分子，因而发生能量的迁移，因而发生能量的迁移（2）固体和液体）固体和液体 其分子的热运动形式为振动。热运动能量借助于相互联接的分子的频繁的振动逐层地传递开其分子的热运动形式为振动。热运动能量借助于相互联接的

15、分子的频繁的振动逐层地传递开去的去的 一般液体和固体的热传导系数较低一般液体和固体的热传导系数较低 。但是金属例外。但是金属例外. .第12页/共54页第十二页，共54页。例 一半径为b的长圆柱形容器在它的轴线上有一根半径为 r、单位(dnwi)长度电阻为R的圆柱形长导线。圆柱形筒维持在定温，里面充有被测气体。当金属线内有一小电流 I 通过时，测出容器壁与导线间的温度差为T。假定此时稳态传热已达到，因而任何一处的温度均与时间无关。试问待测气体的热导率是多少？brTTTQrTdddd2ddQTrLtr ddTTJz rrrd解解设圆筒长为设圆筒长为L，在半径，在半径(bnjng) r 的圆柱面上

16、通的圆柱面上通过的总热流为过的总热流为 。在。在 的的圆筒形薄层气体中的温度梯度为圆筒形薄层气体中的温度梯度为 ，故故第13页/共54页第十三页，共54页。在达稳态时在不同(b tn) r 处 均相同.故Qddln2QbtTLa dddd2 QrtTLr 2ln2bI RaTRLIQ2从从 a 积分积分(jfn)到到 b ,则则因为因为(yn wi)， , 故热导率故热导率brTTT第14页/共54页第十四页，共54页。3.6 气体气体(qt)分子平均自由程分子平均自由程 气体的输运过程来自分子的热运动。气体分子运动过程中经历十分频繁(pnfn)的碰撞。 本节将介绍本节将介绍(jisho)一些

17、描述气体分子间碰撞特征的物理量：碰撞截面、平均碰撞频一些描述气体分子间碰撞特征的物理量：碰撞截面、平均碰撞频率及平均自由程。率及平均自由程。 气体分子间的碰撞，对气体平衡态的性质起着十分重要的作用气体分子间的碰撞，对气体平衡态的性质起着十分重要的作用 碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子行进了十分曲折的路程碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子行进了十分曲折的路程 碰撞使分子间不断交换能量与动量。而系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。碰撞使分子间不断交换能量与动量。而系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。 第15页/共54页第十五页，共54页。3.6.1 碰撞碰撞(pn zhu

18、n)（散射）截面（散射）截面 两分子作对两分子作对(zu du)(zu du)心碰心碰撞撞 d是两分子对心碰撞时相互接近最短质心是两分子对心碰撞时相互接近最短质心(zh xn)间距离间距离dd = 分子碰撞有效直径分子碰撞有效直径第16页/共54页第十六页，共54页。 B分子在接近A分子时受到A的作用而使轨迹(guj)线发生偏折 若定义若定义(dngy)B分子射向分子射向 A分子时的轨迹线与离开分子时的轨迹线与离开A分子时的迹线间的交角为偏折角。则偏折分子时的迹线间的交角为偏折角。则偏折角随角随B分子与分子与O点间垂直距离点间垂直距离b的增大而减小的增大而减小.令当令当b增大到偏折角开始变为零

19、时的数值为增大到偏折角开始变为零时的数值为d,则则d称为称为分子有效直径分子有效直径 B分子分子(fnz)平行射向静止的平行射向静止的A分子分子(fnz)时轨迹图时轨迹图. 分子碰撞有效直径分子碰撞有效直径d =存在相互作用时的距离存在相互作用时的距离第17页/共54页第十七页，共54页。 由于平行(pngxng)射线束可分布O的四周，这样就以O为圆心“截”出半径为d的垂直于平行(pngxng)射线束的圆。2d2121()4dd圆的面积圆的面积 为分子散射截面，也称分子碰撞为分子散射截面，也称分子碰撞(pn zhun)截面。截面。(1) 在碰撞在碰撞(pn zhun)截面中最简单的情况是刚球势

20、。这时，不管两个同种分子相对速率多大，分子有效截面中最简单的情况是刚球势。这时，不管两个同种分子相对速率多大，分子有效直径总等于刚球的直径直径总等于刚球的直径 .对于有效直径分别为对于有效直径分别为d1、d2的两刚球分子间的碰撞的两刚球分子间的碰撞(pn zhun)，其碰撞，其碰撞(pn zhun)截面为截面为说明说明 (2) 对刚性分子碰撞截面可形像化地比喻为古代战争用的盾牌对刚性分子碰撞截面可形像化地比喻为古代战争用的盾牌.第18页/共54页第十八页，共54页。3.6.2分子分子(fnz)间平均碰撞频率间平均碰撞频率 平均碰撞(pn zhun)频率-单位时间内一个分子平均碰撞(pn zhu

21、n)的次数 讨论碰撞截面讨论碰撞截面(jimin)时假定视作盾牌的被碰撞的时假定视作盾牌的被碰撞的A分子静止，视作质点的分子静止，视作质点的B分子相对分子相对A运动，去运动，去碰撞碰撞A。现在反过来，认为所有其它分子都静止，而。现在反过来，认为所有其它分子都静止，而A分子相对于其它分子运动，显然分子相对于其它分子运动，显然A分子的碰撞分子的碰撞截面截面(jimin)这一概念仍适用这一概念仍适用. 这时这时A分子可视为截面积为分子可视为截面积为 的一个圆盘，圆盘沿圆盘中心轴方向以速率的一个圆盘，圆盘沿圆盘中心轴方向以速率v12 运动运动. 这相当于一盾牌以相对速率这相当于一盾牌以相对速率v12向

22、前运动，而向前运动，而“箭箭”则改为悬浮在空间中的一个个小球。则改为悬浮在空间中的一个个小球。 第19页/共54页第十九页，共54页。 圆盘每碰到一个视作质点的其它分子就改变运动方向(fngxing)一次，因而在空间扫出如图那样的其母线呈折线的“圆柱体”212Zndv 只有那些其质心落在圆柱体内的分只有那些其质心落在圆柱体内的分子才会与子才会与A发生发生(fshng)碰撞。碰撞。 单位单位(dnwi)时间内时间内A分子所扫出的分子所扫出的“圆柱体圆柱体”中的平均质点数，就是分子的平均中的平均质点数，就是分子的平均碰撞频率碰撞频率 其中其中n是气体分子数密度，是气体分子数密度， 是是A分子相对于

23、其它分子运动的平均速率。分子相对于其它分子运动的平均速率。12v第20页/共54页第二十页，共54页。122vv2Znv2d8,kTpnkTmv4pZmkT对于同种对于同种(tn zhn)气体气体因而处于平衡态的化学纯理想气体中分子因而处于平衡态的化学纯理想气体中分子(fnz)平均碰撞频率为平均碰撞频率为其中其中(qzhng) 。因为。因为 故故 说明在温度不变时压强越大（或在压强不变时，温度越低）分子间碰撞越频繁说明在温度不变时压强越大（或在压强不变时，温度越低）分子间碰撞越频繁。 第21页/共54页第二十一页，共54页。例：空气分子有效直径为3.510-10m。估计在标准状况(bio zh

24、n zhun kun)下空气分子的平均碰撞频率。5253231.013 102.7 10 m1.38 10273pnkT29126.5 10 sZndv解解：数密度数密度(md)标准状况下空气标准状况下空气(kngq)分子平均速率为分子平均速率为388 8.31 273446m/s3.14 29 10mRTMv平均碰撞频率平均碰撞频率标准状态下，标准状态下，1秒钟内，一个空气分子平均要与周围分子碰撞六十亿次。秒钟内，一个空气分子平均要与周围分子碰撞六十亿次。 第22页/共54页第二十二页，共54页。3.6.4气体分子平均气体分子平均(pngjn)自由程自由程 理想气体(l xin q t)分子

25、在两次碰撞之间可近似认为不受到分子作用，因而是自由的。tZ tZvv分子两次碰撞之间所走过的路程称为分子两次碰撞之间所走过的路程称为(chn wi)自由程，以自由程，以 表示。表示。平均两次碰撞之间走过的距离平均两次碰撞之间走过的距离-平均自由程平均自由程 将将 代入代入n21pkT2v2Znv可得可得 对于同种气体，对于同种气体， 与与n成反比，而与成反比，而与 无关无关. 第23页/共54页第二十三页，共54页。86.910mzvd200916.5 10 sZ1m s103.510m例例 试求标准状况下空气试求标准状况下空气(kngq)分子的平均自由程。分子的平均自由程。我们我们(w me

26、n)知道空气分子有效直径知道空气分子有效直径 d 约为约为 可见可见(kjin)标准状况下标准状况下 解解 标准状况下空气分子的平均速率为标准状况下空气分子的平均速率为446 ，平均碰撞频率为，平均碰撞频率为 , 将它们将它们代入代入第24页/共54页第二十四页，共54页。m79. 71021. 3)103(2117210317233m1021. 33001038. 11033. 1kTpn真空管的线度为真空管的线度为 10-2 m ，其中真空度为，其中真空度为 1.33 10-3 Pa 。设空气分子设空气分子(fnz)的有效直径为的有效直径为 310-10 m 。27 时单位体积内的空气分子

27、数、平均时单位体积内的空气分子数、平均(pngjn)自由程、平均自由程、平均(pngjn)碰撞碰撞次数次数 。解解例例求求nd2121由气体由气体(qt)的状态方程的状态方程, 有有mm21079. 7 所以此时空气分子的平均自由程为所以此时空气分子的平均自由程为m210 第25页/共54页第二十五页，共54页。在这种情况在这种情况(qngkung)(qngkung)下气体分子相互之间很少发生碰下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断地来回碰撞真空管的壁。撞，只是不断地来回碰撞真空管的壁。 141068. 4sZ vm/s7 .4688MRTv11117.60sZv 气体容器线度小于平均自由程

28、计算气体容器线度小于平均自由程计算(j sun)值时，实际平均自由值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。程就是容器线度的大小。（10-1 10-5 Pa 高真空高真空(zhnkng)） 第26页/共54页第二十六页，共54页。例：混合例：混合(hnh)理想气体理想气体:,ABr r,ABmm,ABnnT求：求：A分子分子(fnz)总的平均碰撞频率总的平均碰撞频率? B分子分子(fnz)总的平均碰撞频率总的平均碰撞频率? 各自的平均自由程各自的平均自由程?解解：AAAABZZZ2822(2)AAAAAAAAkTZnnrmvABBABABZnv228()()ABABkTvvvABABm mmm2

29、21()()4ABABABddrr第27页/共54页第二十七页，共54页。22884 2()AAAABBAkTkTZrnrrnm22884 2()BBBABABkTkTZrnrrnmAAAZvBBBZv第28页/共54页第二十八页，共54页。3.7 气体气体(qt)分子碰撞的概率分布分子碰撞的概率分布 前面引入的分子间碰撞的平均频率及平均自由程，虽然它们均能表示分子间碰撞的主要特征(tzhng)，但不能反映分子间碰撞的随机性质。 实际上，若一分子在实际上，若一分子在 x = 0处刚好被碰撞处刚好被碰撞(pn zhun)过，则以后遭受第二次碰撞过，则以后遭受第二次碰撞(pn zhun)的时间完全

30、是随机的。所以它在两次碰撞的时间完全是随机的。所以它在两次碰撞(pn zhun)之间走过的路程也是随机的。之间走过的路程也是随机的。 为了描述这种随机性质，必须找到它在为了描述这种随机性质，必须找到它在 x x+dx 范围内受到碰撞的概率，即分子范围内受到碰撞的概率，即分子的自由程处于的自由程处于x x+dx 范围内的概率。范围内的概率。 第29页/共54页第二十九页，共54页。3.7.1 气体分子气体分子(fnz)的自由程分布的自由程分布 导出分子自由程分布的一种(y zhn)方法是制备N0个分子所组成的分子束。分子束中的分子恰好在同一地点（x=0处）刚被碰过一次，以后都向x方向运动。 在在

31、t = 0时刻（即气体分子逸出小孔的时刻），时刻（即气体分子逸出小孔的时刻），x = 0处（即在小孔位置）恰好都碰撞过处（即在小孔位置）恰好都碰撞过一次的，向相同方向一次的，向相同方向(fngxing)（x轴方向轴方向(fngxing)） 运动的运动的 N0个分子。个分子。 分子束在行进过程中不断受到背景气体分子分子束在行进过程中不断受到背景气体分子的碰撞，使分子数逐渐减少。只要知道分子束在的碰撞，使分子数逐渐减少。只要知道分子束在xx+dx范围内所减少的分子数范围内所减少的分子数dN即可得到自由程分布。即可得到自由程分布。第30页/共54页第三十页，共54页。 假如在 t 时刻、 x 处剩下

32、 N 个分子，经过 dt 时间，分子束运动到 x+dx 处又被碰撞掉 dN 个分子（即自由(zyu)程为 x x+dx 的分子数为 dN )，在 xx+dx 距离内所减少的分子数 dN 与 x 处的分子数 N 成正比，也与 dx 的大小成正比。ddNKN xddNK xN 第31页/共54页第三十一页，共54页。对上式积分(jfn)，可得00lndxNK xN 0dexp()dNKKxxN0d/N N0dexp() dNKNKxx 上式表示从上式表示从 x = 0 处射出的刚碰撞过的处射出的刚碰撞过的 N0 个分子，它们行进个分子，它们行进(xngjn)到到 x 处所残存的分子数，处所残存的分

33、子数，N 是按指数衰减的。是按指数衰减的。 对上式之右式两边对上式之右式两边(lingbin)微分，有微分，有 （-dN）表示）表示 N0 个分子中自由程为个分子中自由程为 xx+dx 的平均分子数，则（的平均分子数，则（ ）是分子的）是分子的自由程在自由程在 x x+dx范围内的概率范围内的概率。分子自由程的概率分布分子自由程的概率分布0exp()NNKx第32页/共54页第三十二页，共54页。平均(pngjn)自由程01exp()dx KKxxK0exp()NxN0d1exp()dNxxN0d1( )dexp()dNxP xxxN 0dexp() dNKNKxx)exp(0KxNN将上式代

34、入将上式代入 分子束行进到分子束行进到x处的残存的概率处的残存的概率(gil)，也是自由程从，也是自由程从x 到无穷大范围内的概率到无穷大范围内的概率(gil)分子分子(fnz)在在x到到x+dx距离内受到碰撞的概率距离内受到碰撞的概率P(x)dx 分子自由程的概率分布分子自由程的概率分布第33页/共54页第三十三页，共54页。 其中打斜线区域的面积表示了式的残存概率。打水平线条的面积表示自由其中打斜线区域的面积表示了式的残存概率。打水平线条的面积表示自由(zyu)程为程为xx+dx范围的概率。范围的概率。 0exp()NxN0d1exp()dNxxN第34页/共54页第三十四页，共54页。例

35、：求例：求1mol理想气体分子自由理想气体分子自由(zyu)程在程在1 2之间的分子数及此间隔内分子的平均自由之间的分子数及此间隔内分子的平均自由(zyu)程。程。解解：0d1exp()dNxxN1221001exp()d()xNNxN ee2121122101201exp()d)1exp()dxNxxeelxNxee(1) 当当 讨论讨论(toln)120, l(2) 当当 12, 2l第35页/共54页第三十五页，共54页。3.8 气体气体(qt)输运系数的导出输运系数的导出 气体的黏性、热传导及扩散来源于不均匀气体中的无规热运动(yndng)，在交换分子对的同时分别把分子原先所在区域的宏

36、观性质（动量、能量、质量）输运到新的区域。ll 需要需要(x(xyo)yo)说明：说明： 本节将利用分子碰撞截面及分子平均自由程来导出气体输运系数的表达式。本节将利用分子碰撞截面及分子平均自由程来导出气体输运系数的表达式。 输运过程都是近平衡的非平衡过程输运过程都是近平衡的非平衡过程l l 三个假设三个假设：(1) 局域平衡假设局域平衡假设.(2) 一次碰撞同化假设一次碰撞同化假设.(3) 缓慢变化假设缓慢变化假设.第36页/共54页第三十六页，共54页。3.8.1 气体(qt)黏性系数的导出一一. 气体气体(qt)的黏性系数的黏性系数tA16nA t v 在层流流体中，每个分子除有热在层流流

37、体中，每个分子除有热运动动量运动动量(dngling)外，还叠加上外，还叠加上定向动量定向动量(dngling)。 设想有一与定向动量方向设想有一与定向动量方向平行平面，它的平行平面，它的 z轴坐标轴坐标 z0如如图所示。图所示。 个分子向个分子向 z0方向运动，方向运动， 时间内从上方穿过时间内从上方穿过 z0平面上的平面上的 面积元向下运动的平面积元向下运动的平均分子数为均分子数为 6nA t v)(0zmux)(0zmux)0zmux（0z0z0zzx6nA t v局域平衡16nv第37页/共54页第三十七页，共54页。 假设所有(suyu)从上面（或从下面）穿越Z0平面的分子，平均说来

38、都分别是来自 或 处，)(0Z)(0Z)(0Zmux)(0Zmux01()6xnmuzA t v每个质量为每个质量为m的分子的分子(fnz)的定向动量分别为的定向动量分别为 ,t时间内越过时间内越过z=z0平面的平面的A面积向上输运面积向上输运(sh yn)的总动量的总动量t时间内越过时间内越过z=z0平面的平面的A面积向下输面积向下输运的总动量运的总动量01()6xnmuzA t v一次碰撞同化6nA t v)(0zmux)(0zmux)0zmux（0z0z0zzx6nA t v第38页/共54页第三十八页，共54页。黏性力001()()6xxfnm uzuzAv)()()(00zuzuzu

39、xxx)()()(00zuzuzuxxxxuxu 分子平均自由程并不很大，这说明在分子平均自由程并不很大，这说明在z方向间距为方向间距为 的范围内，定向速率的变化的范围内，定向速率的变化 与与 相相比比(xin b)小得多小得多,因而可作泰勒级数展开并取一级近似，有因而可作泰勒级数展开并取一级近似，有 考虑到在近平衡的非平衡条件下，气体考虑到在近平衡的非平衡条件下，气体(qt)定向运动的速度梯度较小定向运动的速度梯度较小缓慢(hunmn)变化001()()6xnmu zmuzA t v净输运的总动量净输运的总动量净动量输运净动量输运第39页/共54页第三十九页，共54页。比较 后即可知(k z

40、h)黏性系数为12()6xufnmAzvAzuf13nmvnm13vn2132mv可得可得利用利用(lyng)气体的密度气体的密度 的关系，上式可写为的关系，上式可写为二二. 讨论讨论(toln)（1） 与与n无关。无关。第40页/共54页第四十页，共54页。(2) 仅是温度(wnd)的函数。8kTmv1/21/223kmTTLd2d（3）利用上式可以测定气体分子碰撞）利用上式可以测定气体分子碰撞(pn zhun)截面及气体分子有效直径的数量级。在截面及气体分子有效直径的数量级。在三个输运系数中，实验最易精确测量的是气体的黏性系数，利用黏性系数的测量来确三个输运系数中，实验最易精确测量的是气体

41、的黏性系数，利用黏性系数的测量来确定气体分子有效直径是较简便的。定气体分子有效直径是较简便的。（4）黏性系数公式的适用）黏性系数公式的适用(shyng)条件为条件为实验实验0.7T第41页/共54页第四十一页，共54页。（5）采用不同近似程度的各种推导(tudo)方法的实质是相同的。6nv)(00zz或)32(3200zz或4n v上面的推导中采用上面的推导中采用(ciyng)了如下近似了如下近似:平均说来从上（或下）方穿过平均说来从上（或下）方穿过z0平面的分子平面的分子(fnz)都是在都是在 处经受一次碰撞的；处经受一次碰撞的；未考虑分子从上（或下）方穿过未考虑分子从上（或下）方穿过z0平

42、面时的碰撞概率。若进一步考虑碰撞概率，可证明：平面时的碰撞概率。若进一步考虑碰撞概率，可证明：平均说来从上（或下）方穿过平均说来从上（或下）方穿过z0平面的分子都是在平面的分子都是在 处遭受上一处遭受上一次碰撞的，而单位时间内从上（或下）方穿过次碰撞的，而单位时间内从上（或下）方穿过z0平面上单位面积的分子数是平面上单位面积的分子数是 个，由此仍可求得个，由此仍可求得3 v第42页/共54页第四十二页，共54页。l l即使是这种较为严密细致的推导，其中仍有一定的近似，其结果与实验仍有一定差别，更深层次的讨论要利用非平衡态统计，其数学处理要复杂得多。l l实际上，所有不同层次的各种推导方法的实质

43、都是相同的，所得结果其数量级一致。l l对于初学者来说，应该首先关心输运(sh(sh yn) yn)系数与哪些物理量有关？它的数量级是多少？至于公式中的系数，在不影响数量级的情况下是次等重要的。l l推导中应特别注意其物理思想，至于为什么在推导中用 ，为什么是在距离 而不是在距离 内交换粒子对等等，可暂时不必细究。64nn而 不 用vv2322第43页/共54页第四十三页，共54页。3.8.2 气体气体(qt)热传导系数热传导系数的导出的导出 一. 气体(qt)的热导系数0()T z气体热传导是在分子热运动过气体热传导是在分子热运动过程中交换分子的同时所伴随的程中交换分子的同时所伴随的能量传输

44、，其讨论方法与上节能量传输，其讨论方法与上节类同类同(li tn)。不同仅是在。不同仅是在z轴轴方向不存在定向运动速率梯度，方向不存在定向运动速率梯度，而存在温度梯度。而存在温度梯度。0z0z0()T z6nA t v0z0z0z)(0zT)(0zT)(0zT6nA t v第44页/共54页第四十四页，共54页。zT0z00()()zzz0z0z001()()6TJnzzzzv)(0zT00()()zzz/ 6nv若若 的数值较小，就可假定恰在的数值较小，就可假定恰在 处碰撞过的分子的平均动能处碰撞过的分子的平均动能(dngnng)仅与仅与 有关，有关，在 平面与 平面上的分子在z0平面上交换

45、分子对的同时也交换了热运动动能,因而产生(chnshng)了热量的输运。在单位时间内，在单位截面上交换的分子对数为 ,因此流过的热量为 6nA t v0z0z0z)(0zT)(0zT)(0zT6nA t v第45页/共54页第四十五页，共54页。因为理想气体内能就是热运动能量(nngling)，而理想气体摩尔定体热容13TJnz vddmV mAUCNTTddTTJz nm可 得1133V mTACTTJnnTzNz vv将上式与傅里叶定律将上式与傅里叶定律(dngl)对照对照利用利用(lyng)其中其中 是气体热导率是气体热导率, Mm是气体摩尔质量。是气体摩尔质量。 .13V mmCMv第

46、46页/共54页第四十六页，共54页。二. 讨论(toln)00zz及,n2/132TMCkmmmVn21Ld（1）在热导率公式推导中中没有考虑到）在热导率公式推导中中没有考虑到,由于温度梯度不同，会在由于温度梯度不同，会在 处处产生气体分子数密度的差异产生气体分子数密度的差异(chy)及平均速率的差异及平均速率的差异(chy)，故前面所有的，故前面所有的 均应是与气体平均温度所对应的数密度、密度及平均速率。均应是与气体平均温度所对应的数密度、密度及平均速率。（2）利用）利用(lyng) (3) 气体热导率公式适用于温度梯度较小，满足气体热导率公式适用于温度梯度较小，满足 条件的理想气体。条件

47、的理想气体。 密度密度 n无关，仅与无关，仅与T1/2有关有关。6nA t v0z0z0z)(0zT)(0zT)(0zT6nA t v第47页/共54页第四十七页，共54页。3.8.3 气体气体(qt)扩散系数扩散系数的导出的导出 类似地可证明(zhngmng)理想气体的扩散系数13Dv,v33/ 223kTDmp1221mmDD二二. 讨论讨论(toln)（1）利用）利用 公式可将上式化为公式可将上式化为 这说明刚性分子气体的这说明刚性分子气体的D与与 、 不同，它在不同，它在p一定时与一定时与T3/2成正比，在温度一定时，又与成正比，在温度一定时，又与p成反比。成反比。（2）由上式可看到，

48、在一定的压强与温度下，扩散系数）由上式可看到，在一定的压强与温度下，扩散系数D与分子质量的平方根成反比。与分子质量的平方根成反比。 第48页/共54页第四十八页，共54页。3.8.4 与实验结果与实验结果(ji gu)的比较的比较 例试估计标准状况(bio zhn zhun kun)下空气的黏性系数、热导率及扩散系数。m109 . 681446m sv330.029101.29kg m22.462113 10 N s m3 v062031115212017.110N s m382710J msO1.7810msCCKD 空气,311119.5 10 J m s3V mmCKM v52111.0

49、 10 ms3D v解解:标准状况标准状况(bio zhn zhun kun)下空气的下空气的 而空气密度为而空气密度为1.主要用于估计数量级。主要用于估计数量级。2.前面所介绍的仅是关于输前面所介绍的仅是关于输运过程微观分析的初级理论，运过程微观分析的初级理论，它还存在相当大局限性。它还存在相当大局限性。 说明说明第49页/共54页第四十九页，共54页。3.9.2 稀薄气体中的热导稀薄气体中的热导(r do)现象现象 *黏性现象黏性现象 *扩散现象扩散现象 在稀薄气体中，最简单的是的超高真空气体（极稀薄气体），这时气体分子主要在器壁之间碰撞，在稀薄气体中，最简单的是的超高真空气体（极稀薄气体

50、），这时气体分子主要在器壁之间碰撞，它们在与器壁碰撞的同时，与器壁发生能量它们在与器壁碰撞的同时，与器壁发生能量(nngling)或动量的输运，因而产生热导与黏性现象。或动量的输运，因而产生热导与黏性现象。L（一）热传导现象（一）热传导现象(xinxing)考虑有两块温度分别为考虑有两块温度分别为T1及及T2的平行平板，平板之间的距离的平行平板，平板之间的距离L比平板的线度小得多，其中充比平板的线度小得多，其中充有其平均自由程有其平均自由程 的气体。分子在两器壁往返的运动过程中很少与其它分子相碰。的气体。分子在两器壁往返的运动过程中很少与其它分子相碰。分子在来回碰撞于温度为分子在来回碰撞于温度

51、为T1及及T2器壁的同时，把热量从高温传到低温器壁的同时，把热量从高温传到低温-极稀薄气体中极稀薄气体中热传导的基本微观过程。热传导的基本微观过程。 第50页/共54页第五十页，共54页。显然，这时在气体中不存在温度梯度，也没有显然，这时在气体中不存在温度梯度，也没有(mi yu)傅里叶定律中那种热传导的概念。傅里叶定律中那种热传导的概念。的能量回碰撞一次所平均传递壁间来一个分子在不同温度器面积器壁上的分子数单位时间内碰撞在单位热流密度只要两器壁碰撞的温度差只要两器壁碰撞的温度差T=T1-T2 T，就可以认为，只要与温度为，就可以认为，只要与温度为T1（或（或T2）的器壁碰撞过一次，这一分子的

52、平均能量的器壁碰撞过一次，这一分子的平均能量(nngling)就变为就变为 或或 ，其中其中 i 的数值由对能量的数值由对能量(nngling)均分定理作实际贡献的自由度所决定，均分定理作实际贡献的自由度所决定， 1/ 2ikT2/ 2ikT定义单位时间内从单位面积定义单位时间内从单位面积(min j)平行积平行板上所传递的能量为热流密度：平行积平行板上所传递的能量为热流密度：第51页/共54页第五十一页，共54页。显然一个分子在两器壁间来回显然一个分子在两器壁间来回(lihu)碰一次传递的平均能量为碰一次传递的平均能量为 则热流则热流(rli)密度密度2)(21TTik单位时间单位时间(sh

53、jin)内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数为内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数为 6n v1. 热流密度热流密度 JT与真空夹层厚度与真空夹层厚度L无关。无关。12.,1211()621()6TV mAJnik TTCnTTN vv2. 传热量正比于传热量正比于n，因而正比于压强，因而正比于压强p ，p越小，热流密度越小，热流密度JT越小，这就是真空绝热技术的基本原越小，这就是真空绝热技术的基本原理。理。 n讨论讨论第52页/共54页第五十二页，共54页。第三章作业第三章作业(zuy)思考题：思考题：3.4, 3.9习题习题(xt)：3.1.1, 3.3.3, 3.3.5, 3.6.1, 3.6.3, 3.6.4, 3.6.6, 3.7.3, 3.8.3第53页/共54页第五十三页，共54页。感谢您的观看(gunkn)！第54页/共54页第五十四页，共54页。