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1、精品文档（第一章 行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为_.解. a12a21a33a44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“”, 所以答案为a12a21a33a44.2. 排列i1i2in可经_次对换后变为排列inin1i2i1.解. 排列i1i2in可经过1 + 2 + + (n1) = n(n1)/2 次对换后变成排列inin1i2i1.3. 在五阶行列式中=_.解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“”.4. 在函数 中, x3的系数是_.解. x3的系数只要考察. 所以x3
2、前的系数为2.5. 设a, b为实数, 则当a = _, 且b = _时, .解. . 所以a = b = 0.6. 在n阶行列式D = |aij|中, 当i r1 (B) r r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以 又因为 , 于是 所以 . (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以 . 同理. (B)是答案.三. 计算证明题1. 设, . 求: i. ABBA ii. A2B2 iii. BTAT解. ,
3、 2. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii. iii. iv. 解. i., ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到: iii. . 由矩阵分块求逆公式: 所以 iv. 由矩阵分块求逆公式:得到: 3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, , . 试求矩阵A.解. 由本题的条件知: 4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解. 所以 5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆.解. 因为 所以 . 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以. 因为B可逆, 所以所以
4、. 所以都可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且 解. = =所以 .8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| 0, AE可逆, 且(AE)1 = (BE)T, 求证A可逆.解. 因为(AE)1 = (BE)T, 所以(AE)(BE)T = E所以 , 由 |B| 0 知存在. 所以 . 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)1 = A1 + B1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以 10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为 所以 因为 , 所以 11. 设A为主对
5、角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵 i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)1A为对称矩阵.解. i. , , 所以当 时, E + AB可逆.ii. 因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)1A为对称矩阵.12. 设, 求An.解. 使用数学归纳法. 假设 =则 = =所以 =13. A是n阶方阵, 满足Am = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素aij用其代数余子式Aij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为Am
6、= E, 所以, 所以A可逆. 所以 14. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵)ii. 求A100.解. i. 所以 假设 则 =所以 ii. 15. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以 因为 16. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(AB)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.解. 因为(AB)2 = A + B, 所以 于是 , 所以 因为 A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以.第三章 向量一. 填空题1. 设, 则k = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式
7、 = 13k +5 = 0. 2. 设, 则t = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 . 所以对任何t, a1, a2, a3, a4线性相关. 3. 当k = _时, 向量b = (1, k, 5)能由向量 线性表示.解. 考察行列式 得k =8. 当k =8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 将a1, a2, a3, a4表示成矩阵 . 所以 r (a1, a2, a3, a4) = 35. 设, 则秩(A) = _.解. 所以 r (A) = 3.6
8、. 已知矩阵A = ab, 则秩(A) = _.解. A = ab = 所以 r (A) = 1. 7. 已知向量, 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 则t = _.解. A = (a1, a2, a3, a4) 所以当t = 7时, r (A) = 2.二. 单项选择题1. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(C) a1a2, a2a3, a3a1 (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由 得 因为向量组a1, a2, a3线性无关, 所以得关于的方程组 的系数行列式为 . 所以有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵Amn的秩为R(A) = m 0, 即 .5. 设A为n阶实对称矩阵, 证明: 秩(A) = n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B, 使是正定矩阵.解. “充分性”(反证法)反设 , 则|A| = 0. 于是是A的特征值, 假设相应的特征向量为x, 即, 所以 . 所以 , 和是正定矩阵矛盾;“必要性”因为 , 所以A的特征值全不为0. 取 , 则, 它的特征值为全部为正, 所以是正定矩阵.51
考研数学理工类精选试题及解析：线性代数
