断裂力学试题

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1、2007 断裂力学考试试题B 卷答案一、简答题 （本大题共5 小题，每小题6 分，总计30 分）1、（1）数学分析法 : 复变函数法、积分变换； （ 2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（ 3）实验标定法：柔度标定法； （4）实验应力分析法：光弹性法 .2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值() max 达到临界时, 裂纹开始扩展.3、应变能密度:WS ，其中S 为应变能密度因子， 表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。二、推导题

2、 （本大题10 分）D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。x2DBx1A积分路径：塑性区边界。AB 上：平行于 x1 ，有 dx 20 , dsdx1 , T2sBD 上：平行于 x1 ，有 dx 20 , dsdx1 , T2s5 分J(Wdx2Tiuids)T2u2 dx1BDT2u2dx1x1ABx1x15 分BDsv As v Bs (vAvD )s三、计算题 （本大题共3 小题，每小题20 分，总计60 分）1、 利用叠加原理 : 微段集中力 qdxdK2qadx( a2x2 )Ka2qadx10 分(a20x2 )令 xa cosa2x2a

3、cos, dxa cos dasin 1 ( a1 a )K2q0a cosd2qa sin 1 (a1a )a cos当整个表面受均布载荷时 , a1a .K2qa sin 1( a a )qa10 分2、 边界条件是周期的 :a. z,yx.b. 在所有 裂纹 内部 应力 为零 . y 0, ax a, a 2b x a 2b 在区间内y0, xy0c. 所有裂纹前端y单个裂纹时Zzz2a2又 Z 应为 2b 的周期函数sinzZ2b10 分(sinz) 2(sina) 22b2b采用新坐标 :zasin(a)Z2b(a) )2a)2(sin(sin2b2b当0 时, sin,cos2b1

4、2b2bsin(a)sincosacossina2b2b2b2b2b2bcosasina2b2bsin(a) 2() 2 cos22ba2cosa sin a(sin a)22b2b2b2b2b2bsin(a) 2(sina)22cosasin a2b2b2b2b2basinZ2b02cosa sina2b2b2bsinaaKlim2 Z2b2b tan01cosa sina2b2b2b2ba2ba10 分tana2b3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度 , 材料屈服 , 即 :( 12 )2(23 ) 2(31 )22 s2对于型裂纹的应力公式:1xy(xy

5、 ) 2xy2221Kcos1sin22 r2210 分3 0 ( 平面应力 , 薄板或厚板表面 )rK2222 s2cos 1 3sin2210 分- 平面应力下 , 型裂纹前端屈服区域的边界方程.当0 时, r01 ( K) 22s第3页共3页一、简答题（ 80 分）1. 断裂力学中， 按裂纹受力情况， 裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。 （15 分）2 请分别针对完全脆性材料和有一定塑性的材料，简述裂纹扩展的能量平衡理论？（ 15 分）3. 请简述应力强度因子的含义，并简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（ 15）4. 简述脆性断裂的 K 准则及其含义？（ 15

6、）5. 请简述疲劳破坏过程的四个阶段？（ 10）6. 求出平面应变状态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖端塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小？（ 5 分）7. 对于两种材料， 材料1 的屈服极限s 和强度极限b 都比较高，材料2 的s 和b 相对较低，那么材料1 的断裂韧度是否一定比材料2 的高？试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？（5 分）二、推导题（ 10 分）请叙述最大应力准则的基本思想，并推导出 I-II 型混合型裂纹问题中开裂角的表达式？三、证明题（ 10 分）urr定义 J 积分如下， J(wdyTu / xds) ，围绕裂纹尖端的回路，始于裂纹下表面，

7、终于裂纹上表面， 按逆时针方向转动， 其中 w 是板的应变能密度，T 为作用在路程边界上的力， u 是路程边界上的位移矢量， ds是路程曲线的弧元素。证明 J 积分值与选择的积分路程无关，并说明 J 积分的特点。四、简答题（ 80 分）1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。（15 分）答：按裂纹受力情况把裂纹 （或断裂）模式分成三类： 张开型（I 型）、滑开型（ II 型）和撕开型（ III 型），如图所示yyyoxoxoxzI 型张开型II 型滑开型三型撕开型2 请分别针对完全脆性材料和有一定塑性的材料，简述裂纹扩展的能量平衡理论？（ 15

8、分）答：对完全脆性材料，应变能释放率等于形成新表面所需要吸收的能量率。对于金属等有一定塑性的材料， 裂纹扩展中， 裂尖附近发生塑性变形， 裂纹扩展释放出来的应变能， 不仅用于形成新表面所吸收的表面能， 更主要的是克服裂纹扩展所吸收的塑性变形能， 即塑性功。 对金属材料， 能量平衡理论这时需要更广泛的概念。这时，抵抗裂纹扩展能力 =表面能 +塑性变形能，对金属材料这是常数。3. 请简述应力强度因子的含义，并简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（ 15）答：各种类型裂尖应力和位移场可表示为(I )ijKfij( I ) ( )i , j 1,2,32rui( I )Kr gi( I ) (

9、)i1,2,3若角标 II, III ，代表 II 型或 III 型裂纹。可见应力场有如下三个特点：1） r0 处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点；2）应力强度因子在裂尖为有限量；3）裂尖附近的应力分布是r 和的函数，与无限远处应力和裂纹长无关。由上述裂尖应力场的特点可知， 用应力为参量建立如传统的强度条件失去意义，但应力强度因子是有限量， 它不代表某一点的应力， 而代表应力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是合适的。应力强度因子一般写为：KYa4. 简述脆性断裂的 K 准则及其含义？（ 15）答：K1K1C为应力强度因子准则。其中，K 1 为裂纹尖端的应力强度因子，是表示裂纹尖端应

10、力场强度的一个参量， 由载荷及裂纹体形状和尺寸决定，可以用弹性理论的方法进行计算； K 1C 称为材料的平面应变断裂韧度，是材料具有的一种机械性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力，由试验测定。该式称为脆性断裂的K 准则，表示裂尖的应力强度因子K1 达到 K 1C 时，裂纹失稳扩展。当 K 1K 1C 时，裂纹稳定；当K 1K1C 时，裂纹失稳扩展。5. 请简述疲劳破坏过程的四个阶段？（ 10）答： 1）裂纹成核阶段2）微裂纹扩展阶段3）宏观裂纹扩展阶段4）断裂阶段6. 求出平面应变状态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖端塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小？（ 5 分）解：裂纹尖

11、端的主应力为1K Icos(1sin)2r222KIcos (1sin)2r223(12 )2K Icos2 r2应用 Von-Mises 屈服条件( 12 )2( 23 ) 2( 31 )22 x2代入可得1( K I )2 cos2(12v) 23sin 22S22在平面应变状态下，沿厚度方向约束所产生的是拉应力Z ，在三向拉伸应力作用下材料不易屈服而变脆7. 对于两种材料， 材料1 的屈服极限s 和强度极限b 都比较高，材料2 的s 和b 相对较低，那么材料1 的断裂韧度是否一定比材料2 的高？试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？（5 分）答：一）材料 1 的断裂韧度不一定比材料

12、2 的断裂韧度高。二）下面简述断裂力学与材料力学设计思想的差别：断裂力学和材料力学的研究对象不同， 材料力学研究完整的材料， 而断裂力学则研究带裂纹的材料。 虽然断裂力学是材料力学的发展和补充， 但是断裂力学与材料力学的设计思想不同，其差别可从一下几方面来看：1）静载荷情况传统的强度条件要求最大计算应力小于材料强度指标，即：maxs （屈服），s 为屈服应力nsmaxb （破坏），b 为强度极限nb而断裂力学的裂纹失稳准则是：K ICK InK I 裂纹尖端的应力强度因子2）循环载荷情况传统的疲劳设计，是用光滑试件作SN 曲线，求出下界限应力1 疲劳极限。如果最大工作应力满足下式1maxn 1

13、n 1 为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。断裂力学认为： 含裂纹构件， 只有裂纹未达到临界长度仍可使用； 在循环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。并选用指标da 作用载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩展的能力。dN3）腐蚀介质下的情况综上所述，断裂力学出现后， 对宏观断裂有了进一步认识， 对传统设计思想进行了改善与补充。五、推导题（ 10 分）请叙述最大应力准则的基本思想，并推导出 I-II 型混合型裂纹问题中开裂角的表达式？答：最大应力准则的基本假定：1）裂纹沿最大周向应力方向开裂；2）在该方向上周应力达到临界值时，裂纹开始扩展

14、。根据该假定有，20，20cos把2K I(1cos ) 3K II sin 带入上面两式2 2 r并利用 sin 2cos21 ，可求得开裂角的表达式3K 2K 48K2K20arccosK 29K 2对于纯 I型， K0 ，0 0 ，故根号前必须取正，则3K 2K 48K2K20arccosK 29K 2六、证明题（ 10 分）1）证明 J 积分值与选择的积分路程无关；2）说明 J 积分的局限性。答： 1） 由弹性力学公式Tiniij ， i, j1,2ni 弧元素法线的方向余弦。利用 dydx2 ，dxdx1 ，带入J( wdyTu ds)x可以得到 J(wdx 2 ni ijui ds

15、)x1ui 位移分量。由图（ 1）可知， n1dx2 / ds ， n2dx1 / ds所以有，dx21.nj1 jdsn ds则， J( w 1 jijui )nj dsx1作一封闭曲线* ，分四段1 、2 、3 、 4，如图（ 2），故* 内无奇异点。由格林公式：( Pdx1Qdx 2 )(QQ )dx1dx2 )sAx1x2令 Q 0 ，同时 dx1n2 .ds ， dx2n1.ds ，则格林公式可改写成Pn j dsP dAsAx j则线积分* (w 1 jijui )nj dsx jw 1 jijuidAw( ijui ) dAx1Ax1Ax1x jx1（ a）利用：wij ， ij

16、1(uiu j) 及 ijjji可以推出2x jxiijwwijij1 (uiu j)( ijui )uiijx1ijx1x12 x jxixjx1x jx1利用平衡方程ij , j0 ，可得w(ijui)x1x jx1将上式带入 (a)式，有* ( w 1 jijui )n j ds 0x1即 J* (wdyTu ds)0x注意到， J*12340又因为在路径2 、4 上， dy0 ，且由于2 、4 是自由表面， T0则有，133所以积分路径与选择的路线无关。2）J 积分的局限性主要有：a）积分中使用了全量理论，wij ，因此不允许卸载；ijb）用到了 ij1 (uiu j) ，因此必须是小

17、变形；x jxi2c）用到了 ij , j0，指系统处于静平衡状态。七、简答题（ 70 分）1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（15）2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论？（ 15 分）3. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？（10 分）4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段？（ 5）5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？（ 10 分）八、推导题（ 20 分）在 I-II 复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近周向应力场由下式给出cos( / 2) K I (1cos )3K II sin/(22 r )请简述最大应力准则的基本假定，并根据基本假定推导出开裂角的表达式

18、？九、证明题（ 25 分）定义J 积分如下，J(wdyurTru /xds) ，围绕裂纹尖端的回路，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中w 是板的应变能密度， T 为作用在路程边界上的力， u 是路程边界上的位移矢量， ds 是路程曲线的弧元素。证明 J 积分值与选择的积分路程无关，并说明 J 积分的特点。十、简答题（ 70 分）1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（15）答：裂纹尖端应力场有如下三个特点：1） r0 处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点；2）应力强度因子在裂尖为有限量；3）裂尖附近的应力分布是r 和 的函数，与无限远处应力和裂纹长无关。2.

19、简述裂纹扩展的能量平衡理论？（ 15 分）答： 对完全脆性材料，应变能释放率等于形成新表面所需要吸收的能量率。对于金属等有一定塑性的材料， 裂纹扩展中， 裂尖附近发生塑性变形， 裂纹扩展释放出来的应变能，不仅用于形成新表面所吸收的表面能，更主要的是克服裂纹扩展所吸收的塑性变形能，即塑性功。对金属材料，能量平衡理论这时需要更广泛的概念。这时，抵抗裂纹扩展能力 =表面能 +塑性变形能，对金属材料这是常数。3. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？（10 分）答：按裂纹受力情况把裂纹 （或断裂）模式分成三类： 张开型（I 型）、滑开型（ II型）和撕开型（ III 型）。4. 请简述疲

20、劳破坏过程的几个阶段？（ 5）答： 1）裂纹成核阶段2）微裂纹扩展阶段3）宏观裂纹扩展阶段4）断裂阶段5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？（10 分）答：断裂力学和材料力学的研究对象不同，材料力学研究完整的材料，而断裂力学则研究带裂纹的材料。虽然断裂力学是材料力学的发展和补充，但是断裂力学与材料力学的设计思想不同，其差别可从一下几方面来看：1）静载荷情况传统的强度条件要求最大计算应力小于材料强度指标，即：maxs （屈服），s 为屈服应力nsmaxb （破坏）， b 为强度极限nb而断裂力学的裂纹失稳准则是：K ICK InK I 裂纹尖端的应力强度因子2）循环载荷情况传统的疲劳设

21、计， 是用光滑试件作 SN 曲线，求出下界限应力1 疲劳极限。如果最大工作应力满足下式1maxn 1n 1 为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。断裂力学认为：含裂纹构件，只有裂纹未达到临界长度仍可使用；在循环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。并选用指标 da 作用载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩dN展的能力。3）腐蚀介质下的情况综上所述， 断裂力学出现后，对宏观断裂有了进一步认识，对传统设计思想进行了改善与补充。十一、推导题（ 20 分）在 I-II 复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近周向应力场由下式给出cos( / 2) K I (

22、1cos )3K II sin/(22 r )请简述最大应力准则的基本假定，并根据基本假定推导出开裂角的表达式？答：最大应力准则的基本假定：1）裂纹沿最大周向应力方向开裂；2）在该方向上周应力达到临界值时，裂纹开始扩展。根据该假定有，20，20cos2K I (1 cos ) 3K II sin 带入上面两式把r2 2并利用sin 2cos21 ，可求得开裂角的表达式3K 2K 48K2K20arccos29K 2K对于纯 I型， K0 ， 00 ，故根号前必须取正，则3K 2K 48K2K20arccos29K 2K十二、证明题（ 25 分）rur定义 J 积分如下， J(wdy Tu /

23、xds) ，围绕裂纹尖端的回路，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面， 按逆时针方向转动， 其中 w 是板的应变能密度，T 为作用在路程边界上的力，u 是路程边界上的位移矢量，ds是路程曲线的弧元素。证明 J 积分值与选择的积分路程无关，并说明J 积分的特点。答： 1） 由弹性力学公式Tiniij， i, j1,2ni 弧元素法线的方向余弦。利用 dydx2， dxdx1，带入 J( wdyTu ds)x可以得到J(wdx 2niijuids)x1ui 位移分量。由图（ 1）可知， n1dx2/ ds ， n2dx1 / ds所以有，dx21.nj1 jdsn ds则， J( w 1 jijui )

24、nj dsx1作一封闭曲线* ，分四段1 、2 、3 、 4，如图（ 2），故* 内无奇异点。由格林公式：( Pdx1 Qdx 2 )( QQ )dx1dx2 )sAx1x2令 Q0 ，同时 dx1n2 .ds ， dx2n1.ds ，则格林公式可改写成Pn j dsP dAsx jA则线积分* (w 1 jijui )nj dsA x jw 1 jijui dAw( ijui ) dAx1x1Ax1x jx1（ a）利用：w1(uiu j) 及 ij可以推出ij ， ijx jxijjiij2wwijij1 ( uiu j )( ijui )ijuix1ijx1x1 2 x jxixjx1x

25、 jx1利用平衡方程ij , j0 ，可得w(ui)x1ijx jx1将上式带入 (a)式，有* ( w 1 jijui )n j ds 0x1即 J* (wdyTu ds)0x注意到， J*01234又因为在路径2 、4 上， dy0 ，且由于2 、4 是自由表面， T 0则有，133所以积分路径与选择的路线无关。2）J 积分的局限性主要有：a）积分中使用了全量理论，wij ，因此不允许卸载；ijb）用到了ij1 ( uiu j ) ，因此必须是小变形；2x jxic）用到了ij , j0 ，指系统处于静平衡状态。十三、填空（ 25 分，每空 1 分）1. 在断裂力学中， 按照裂纹受力情况可

26、将裂纹分为三种基本类型， 简述均匀各向同性材料的两种裂纹类型的受力特点：型_型_2. 对于有一定塑性的金属材料， 应用能量平衡理论时， 材料抵抗裂纹扩展能力这个概念，包括两个部分，即_和_，只有当大于代表材料抵抗裂纹扩展能力的常数时，裂纹才失稳扩展。3. 最大周向应力准则的两个基本假定是：_和。该假定的缺点是_。4. 常 用 的 计 算 应 力 强 度 因 子 的 方 法 有 _、_和。（任意写出三种即可）5. 在复合型断裂准则中，以能量为参数的断裂准则一般包括准则和准则。6. 经典J 积分守恒性成立的前提条件包括、和 _。（任意写出三个即可）7.疲劳破坏过程按其发展过程可分为四个阶段，包括裂

27、纹成核阶段、_、_和_。8. HRR 理论是 Hutchinson、Rice 和 Rosengren应用 _以及 _确定应力和应变的幂次。该理论存在一个重要矛盾是：_。9. 可以表征材料断裂韧性度量的力学量主要有_、_和。（任意写出三个即可）十四、简答题（ 55 分）1. 简述脆性材料断裂的K 准则 K IK IC 的物理含义以及其中各个量的意义，并结合线弹性断裂力学理论简单讨论K 的适用范围。（15 分）2. 求出平面应变状态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖端塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小？（ 15 分）3. 请简单推导 J 积分与应力强度因子 K 以及在 M-D

28、模型中与 COD 的关系。（15分）4. 简述 COD 准则及其优缺点。（10 分）十五、计算题（ 20 分）某种合金钢在不同的回火温度下，测得的性能如下：275C 回火时，600C 回火时，1780 MN / m2 ， K IC3s52MN / m 2 ，1500 MN / m2 ， K IC3s100MN / m 2设应力强度因子为 K I 1.1a ，且工作应力为0.5 s ，试求两种回火温度下的临界裂纹长度。（20 分）十六、简答题（ 本大题共5 小题，每小题6 分，总计 30 分）1、裂纹的分类如何？2、工程上如何处理并列裂纹？3、如何利用 P-V 曲线确定 K IC ？4、论述 J

29、 积分的两种定义。5、影响疲劳裂纹扩展速率的因素有哪些？二、推导题 （本大题共2 小题，每小题20 分，总计 40 分）1、应力强度因子和能量释放率的关系。2、利用 D-B 带状塑性区模型推导 J 积分和 COD 的关系。三、计算题 （本大题共2 小题，每小题15 分，总计 30 分）1、无限大板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离为xb 处各作用一对集中力。2、 无限大板中心穿透裂纹。yppbx2appaa1题图2题图断裂力学 考试试题A 卷答案一、 简答题（ 本大题共5 小题，每小题6 分，总计30 分 ）1、按裂纹的几何类型分：穿透裂纹，表面裂纹，深埋裂纹；按裂纹的受力和断裂特

30、征分类：张开型（I 型），滑开型（ II 型），撕开型（ III ）。2、并列裂纹的作用使K下降，工程上偏安全考虑：(1) 并列裂纹作为单个裂纹考虑； (2) 对于密集的缺陷群 , 假定它们在空间规则排列 , 并可把空间裂纹简化成平面裂纹。3、PmaxPPmaxPAAP5P5OvOv（ 1）做切线 OA（ 2）做割线 OPS，斜率比切线斜率小 5%（ 3）确定 P若在 P5 前,曲线各点小于P5，则 PP5若在 P5 前,曲线各点小于P5，则 PPmax（ 4）计算 Pmax P 1.1 满足，则有效，否则加大试件（ 5）计算 K I ,利用前面给出公式。（ 6）计算2.5( K) 2 a,

31、B,( Wa)，每项都满足一定要求S满足K ICK 否则加大试件（厚度为原厚度1.5 倍的试件）4、（ 1）回路积分定义：围绕裂纹尖端周围区域的应力、应变和位移所围成的围线积分。（ 2）形变功率定义： 外加载荷通过施力点位移对试件所作的形变功率给出。5、平均应力，超载，加载频率，温度，腐蚀介质，随机载荷等。二、推导题 （本大题共2 小题，每小题20 分，总计40 分）1、假设裂纹闭合yOayxa x oxayKcos(1 sin2sin 3)2r22当0, rx 时,yK .2x又 vKr(2 k1)sinsin 34G222当 rax ,时.Kax2)v2(2k4G应力 0y , 位移 v0

32、.10分ay vdx .在闭合时 , 应力在 a 那段所做的功为 B0GBay vdx1aKKa x (2k 2)dx4k1 K2Ba 0a 02x4G24G平面应力情况 : k3,GK21E12平面应变情况 : k34GK2EK2EE平面应力GE10分EE平面应变122、 D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。x2DBx1A积分路径：塑性区边界。AB 上：平行于 x1 ，有 dx 20 , dsdx1, T2sBD 上：平行于 x1 ，有 dx 20 , dsdx1, T2s10 分J(Wdx2Tiuids)ABT2u2dx1T2u2dx1x1x1BD

33、x110 分BDs (vAvD )sv As v Bs三、计算题 （本大题共2 小题，每小题15 分，总计30 分）1、xyReyImxyy Re ZReZy Im ZZZ选取复变解析函数： Z2 pz a2b2。( z2b2 )边界条件：a. z,xyxy0.b. za, 出去 zb 处裂纹为自由表面上y0,xy0 。10 分c. 如切出 xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为 p 。以新坐标表示：Z2 p(a)a 2b2(a)2b2 (2a)Klim 2Z ()2 pa5 分220(a)b2、 根据几何方程和物理方程 :rxzw1r yzw1xyxyz0xG xzyGyz单元体的平衡方程 :xzyz02w 0位移函数满足 laplace方程 .xy所以 w 为调和函数 .解析函数性质 : 任意解析函数的实部和虚部都是解析的.w(x, y)1 Im Z ( z)GxzyzGwIm ZIm ZxxGwIm ZRe Z5 分yy边界条件 :a.y0, xa,yz0.b.z,xz0,yz.选取函数 Z (z)z满足边界条件 .z2a2取新坐标za .(a)Z( )