福建师范大学22春《近世代数》离线作业1答案参考16

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1、福建师范大学22春近世代数离线作业1答案参考1. 求解下列有界变量线性规划问题： (1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7, s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13, x2-x4求解下列有界变量线性规划问题：(1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7,s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13,x2-x4+x5+x6+2x7=9，x3+2x4+2x5+2x6-x7=5,0xj5(j=1，2，7)；(2)min f=x1+2x2+x3-x4+2x5+x6-x7,s.t.x1+2x4-2x5+x6-8x7=0,x2+x4+x5-

2、x6+x7=11,x3+3x4-x5-2x6+2x7=6,0xj4(j=1，2，7)(1)x*=(1,0,0,3,2,0,5)T,x0*=-11. (2) 2. 列出多重集S=2a，1b，3c的所有3-组合和4-组合。列出多重集S=2a，1b，3c的所有3-组合和4-组合。3-组合包括：2a，1b，2a，1c，1a，1b，1c，1a，2c，1b，2c，3c。 4-组合包括：2a，1b，1c，2a，2c，1b，3c，1a，1b，2c，1a，3c。 3. 一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标轴所围成的三角形，它的每一个垂直于x轴的截面为半圆求该立体的体积一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标

3、轴所围成的三角形，它的每一个垂直于x轴的截面为半圆求该立体的体积由已知条件，该底面三角形可表示为，0x4，并且对于区间0，4上的任一x，线段就是半圆的直径，因此垂直于x轴的该半圆面积为 从而该立体的体积为 4. 由方程ex-xy2+siny=0确定y是x的函数，求由方程ex-xy2+siny=0确定y是x的函数，求在方程ex=xy2+siny=0中，x是自变量y是x的函数，从而方程中出现的y2，siny都要看作是x的复合函数(y是中间变量)于是(y2)x=2yyx， (siny)x=cosyy 将方程两端同时对x求导，得ex-(1y2+x2yy)+cosyy=0 解出yex-y2+(cosy-

4、2xy)y=0 即 注由隐函数求导数时，y在表达式中一般都含有y，即使是由方程F(x，y)=0可解出y，这里也不要求用x的解析式代换y 5. 求下列函数的微分： (1)y=acos3x(a0)； (2)y=(1+x2)xesx求下列函数的微分：(1)y=acos3x(a0)；(2)y=(1+x2)xesx(1)因为y=(acos23x)=acos23x2cos3x(-3sin3x)lna， 所以 dy=-6sin3xcos3xInaacos23xdx =-3sin6xlnaacos23xdx (2)y=(1+x2)secxsecxln(1+x2) 故有 6. 用对称式方程及参数方程表示直线用对

5、称式方程及参数方程表示直线设直线的方向向量为n，则可取 再在直线上取一点，例如，可令z=0，得 于是，直线的对称式方程 参数式方程为 7. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d 提示：应用综合除法 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d提示：应用综合除法 由 可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数b，易知a=2，也是第三次除法所得之商 算式如下： 结果有 f(x)=2x3-x2-3x-5 =2(x-2)3+11(x-2)

6、2+23(x-2)+13 8. 设某商品的需求函数为Q=f(Q)=12-求：设某商品的需求函数为Q=f(Q)=12-求：$(16)=$E(6)0.679. 证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算正确答案：设(ijst均为整数)则rn n|i-sn|j-trn于是n整除rn i(j一t)+(is)t=ij一strn从而rnrn即同余类的乘法是Zn的一个代数运算设(i,j,s,t均为整数),则n|i-s,n|j-t于是n整除i(j一t)+(is)t=ij一st从而即同余类的乘法是Zn的一个代数运算10. 设y=exlnx，求y&39;。设y=exlnx，求y。

7、y=(ex)lnx+ex(lnx) 11. 设M=1，2，3)，与是M的置换：，求-1，-1设M=1，2，3)，与是M的置换：，求-1，-1 12. 已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功？以y为积分变量，则y的变化范围为0，12，相应于0，12上的任一小区间y，y+dy的一薄层水近似看作高为dy、底面积为x2=y的一个圆柱体，得到该部分体积为ydy，水的密度P=1000kg/m3，该部分重力为1000gydy

8、，把该部分水抽出的移动距离为12-y，因此作功为 . 13. 用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。置换群为 G=I，2，3，4，1，2，3，4，5 G的循环指数为 故由定理可得 14. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正

9、确答案：15. 设随机变量服从参数为2的指数分布，试证=1-e-2在区间(0，1)上服从均匀分布设随机变量服从参数为2的指数分布，试证=1-e-2在区间(0，1)上服从均匀分布因为服从参数为2的指数分布，则概率密度函数为 分布函数 在x0时，y=1-e-2x的反函数是，有 故服从均匀分布 16. 已知方程组有3个线性无关的解.已知方程组有3个线性无关的解.略$a=2，b=-3，通解为x=(2，-3，0，0)T+c1(-2，1，1，0)T+c2(4，-5，0，1)T.17. 椭球面围成的几何体的体积是_。椭球面围成的几何体的体积是_。3218. 直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和 (1)

10、(2) (3) (4),m1 (5)，a,bR+直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和(1)(2)(3)(4),m1(5)，a,bR+(1)因为，所以 于是因此级数收敛，且其和为 (2)因为 所以 于是 因此级数收敛，且其和为 (3)因为 ，所以 因为不存在，所以不存在，故级数发散 (4)因为 而m1，所以，于是因此级数收敛，且其和为m (5)因为，所以和均收敛，且 ， 根据收敛级数的性质得知收敛，且其和为 19. 若f(x，y)的偏导数存在，则f&39;x(x0，y0)=0，f&39;y(x0，y0)=0是f(x，y)在(x0，y0)取得极值的( ) A充分条件若f(x，y)的偏导数存在，

11、则fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0是f(x，y)在(x0，y0)取得极值的()A充分条件B必要条件C充要条件D无关条件B20. 甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为： 甲：15.0，1甲、乙两车床生产同一种零件现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径(单位：mm)为：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高(=0.0

12、5)?21. f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )正确答案： 22. 设扩大的欧氏平面P2(R)上两点A(3，-1，2)，B(2，0，1)，求： (1)直线AB在齐次坐标中的普通方程与参数方程； (设扩大的欧氏平面P2(R)上两点A(3，-1，2)，B(2，0，1)，求：(1)直线AB在齐次坐标中的普通方程与参数方程；(2) 直线AB上的无穷远点的齐次坐标和它所对应的参数值。(1)由，求出直线AB的普通方程为 参数方程为 (，是不全为0

13、的实数) 因为无穷远点的齐次坐标为(x1，x2，0)，所以从普通方程中解出x1=1，x2=1，即无穷远点的齐次坐标为(1，1，0)，此时，相应的参数值由参数方程解得=-1，=2。 23. 比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。组合逻辑电路测试方法有穷举法、一维通路敏化法、布尔差分法和D算法等。时序逻辑电路测试的主要方法是把时序电路构造成相应的组合电路。24. 设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，使f&39;()=0设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，

14、使f()=0由于f(x)在a，b上可导，可知f(x)在a，b上必定连续,设在(a，b上f(x)0，则由定积分的不等式性质可知 与已知矛盾，这表明在(a，b上不可能总有f(x)0,相仿可证在(a，b上不可能总有f(x)0,因此必定存在一点c(a，b，使 f(c)=0在a，c上对f(x)利用罗尔定理可知至少存在一点，使f()=0由于f(x)在a，b上可导，f(a)=0，如果能找到一点c(a，b，使f(c)=0，则利用罗尔定理可证所给命题,由(1)可知c必定存在 25. 一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一汽车保险公司分析一组(2

15、50人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X占10%写出X的分布，并求X2500.12(即X30)的概率设各客户是否提出索赔相互独立按题意知Xb(250，0.10)现在需要求 即需求 由拉普拉斯定理得 26. 若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线正确答案：证法1 由两曲线的从法线重合可设 其中S为曲线x(s)的弧长而为另一曲线rn的参数未必为其弧长对s求导得=V1(s)一(s)v(s)V2(s)+(s

16、)V3(s)因为rn两边用V3(s)作内积得(s)=0(s)=0(常数)x(s)=V1(s)一0(s)V2(s)于是 rn因此这是公共的从法向即rn故02(s)=0如果使得(s0)0则0=0再由于(s)=0为常数故(s)=00且rn即这两曲线完全重合如果(s)0(Vs)根据定理122x(s)为平面曲线设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a由于(s)0(常数Vs)故x(s)=x(s)+(s)V3(s)=x(s)+0V3(s)=x(s)+0a显然x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移0得到的所以它也是平面曲线rn证法2依题意有 rn两边关于t求导得rn因为点乘(作内积)V3(t)得

17、到(t)=0rn 即 (t)=0(常数)从而由前式有再对上式求导得因为故点乘V3(t)得rn如果0=0则即两曲线重合如果00则(t)0由完全与证法1相应部分相同的推导得两条曲线rn与x(t)都为平面曲线证法1由两曲线的从法线重合,可设,其中S为曲线x(s)的弧长,而为另一曲线的参数,未必为其弧长对s求导,得=V1(s)一(s)v(s)V2(s)+(s)V3(s)因为,两边用V3(s)作内积,得(s)=0,(s)=0(常数),x(s)=V1(s)一0(s)V2(s)于是因此这是公共的从法向,即,故02(s)=0如果,使得(s0)0,则0=0再由于(s)=0为常数,故(s)=00,且,即这两曲线完

18、全重合如果(s)0(Vs),根据定理122,x(s)为平面曲线设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a由于(s)0(常数,Vs),故x(s)=x(s)+(s)V3(s)=x(s)+0V3(s)=x(s)+0a显然,x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移0得到的,所以它也是平面曲线证法2依题意有两边关于t求导,得因为,点乘(作内积)V3(t),得到(t)=0,即(t)=0(常数)从而由前式有再对上式求导,得因为故点乘V3(t),得如果0=0,则,即两曲线重合如果00,则(t)0由完全与证法1相应部分相同的推导,得两条曲线与x(t)都为平面曲线27. 线性方程组都可用克莱姆规则求解。

19、( )线性方程组都可用克莱姆规则求解。()参考答案：错误错误28. 某橡胶厂采用两种配方生产橡胶，现测得两种配方生产的橡胶伸长率如下： 方案甲 540 533某橡胶厂采用两种配方生产橡胶，现测得两种配方生产的橡胶伸长率如下：方案甲540533525520545532529541534方案乙565577580575556542560532570561设两总体都服从正态分布，均值和方差均未知，问两种配方伸长率的方差有无显著差异(=0.1)?有显著差异29. 设f(x)=|x(1x)|，则( ) Ax=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点 Bx=0不是f(x)的极值点，但(设

20、f(x)=|x(1-x)|，则()Ax=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点Bx=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点Cx=0是f(x)的极值点，(0，0)也是曲线y=f(x)的拐点Dx=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点C30. 若n阶方阵A，B满足AB=A+B，则(A-E)-1=_.若n阶方阵A，B满足AB=A+B，则(A-E)-1=_.B-E.31. 设函数f(x)可导，且f&39;(3)=2，求设函数f(x)可导，且f(3)=2，求 32. 设函数f(x)在点xa处可导，则函数f(x)在点xa处不可导的允分条件

21、是Af(a)0且f(a)0Bf(a)0设函数f(x)在点xa处可导，则函数f(x)在点xa处不可导的允分条件是Af(a)0且f(a)0Bf(a)0且f(a)0Cf(a)0且f(a)0Df(a)0且f(a)0正确答案：B33. 函数设f(x1)x22x5，则f(x)_设f(x1)x22x5，则f(x)_正确答案：f(x)x26f(x)x2634. 验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)

22、usin(xat)正确答案：(1)uxkcos(kx)sin(akt) uxxk2sin(kx)sin(akt) utaksin(kx)cos(akt)rnutta2k2sin(kx)sin(akt)rn综上utta2uxx成立；rnrn综上utta2uuxx成立；rn(3)uxcos(xat)uxxasin(xat) utacos(xat) utta2sin(xat)rn综上utta2uxx成立(1)uxkcos(kx)sin(akt)uxxk2sin(kx)sin(akt)utaksin(kx)cos(akt)utta2k2sin(kx)sin(akt)综上,utta2uxx成立；综上,u

23、tta2uuxx成立；(3)uxcos(xat)uxxasin(xat)utacos(xat)utta2sin(xat)综上,utta2uxx成立35. 求微分方程y&39;&39;+y=2sin3x的通解。求微分方程y+y=2sin3x的通解。(1)先求对应齐次方程的通解。 由于对应齐次方程的特征方程r2+1=0的特征根为r1,2=i，则对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx (2)再求该方程的一个特解。 因为自由项f(x)=2sin3x为Pm(x)exsinx型函数，为求该方程的一个特解，先求方程y+y=2e3ix的一个特解。 由于i=3i不是特征根。故其特解可设为y

24、*=ae3ix。把它代入方程y+y=2e3ix并消去e3ix，得，即y+y=2e3ix的一个特解为 取其虚部就得到题设方程的一个特解为。因此题设方程的通解为 36. 设是参数的无偏估计量0，则下列结论必定成立的是( ) A( )2是2的无偏估计量 B( )2是2的矩估计量 C设是参数的无偏估计量0，则下列结论必定成立的是()A()2是2的无偏估计量B()2是2的矩估计量C()2是2的有偏估计量D()2是2的一致估计量C37. 已知微分方程y&39;+P(x)y=Q(x)有两个特解，求满足条件的P(x)，Q(x)，并给出方程的通解已知微分方程y+P(x)y=Q(x)有两个特解，求满足条件的P(x

25、)，Q(x)，并给出方程的通解由，代入原微分方程，有 由，代入原微分方程，有 所以 从而可得， 即原微分方程为 由一阶非齐次线性微分方程通解公式，得 即原微分方程的通解为 (C为任意常数) 38. 某厂生产一种熔丝，规定熔丝熔化时间的方差不能超过400今从一批产品中抽取25个，测得其熔化时间的方差为388.某厂生产一种熔丝，规定熔丝熔化时间的方差不能超过400今从一批产品中抽取25个，测得其熔化时间的方差为388.58设熔化时间服从正态分布，根据所给数据，检查这批产品的方差是否符合要求(=0.05)设熔丝熔化时间为X，则XN(u，2)，依题意有n=25，s2=388.58 待检假设H0：202

26、=400，H1：202=400 检验统计量，得拒绝域为 22(n-1)=0.052(24)=36.415. 由于22(n-1)，故接受H0，即这批产品的方差符合要求 39. 平面2x-y=1的位置是( ) A与y轴平行 B与xoy面垂直 C与x轴平行 D与xoy面平行平面2x-y=1的位置是()A与y轴平行B与xoy面垂直C与x轴平行D与xoy面平行B40. 求两平面1：2x-y+z=7；2：x+y+2z=11之间的夹角求两平面1：2x-y+z=7；2：x+y+2z=11之间的夹角+1=2i-j+k；=i+j+2k；=21+(-1)1+12=3 ； 记 41. 在一个班级的50名学生中，有21

27、名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生在线性代数考试中取得了优秀成绩在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生在线性代数考试中取得了优秀成绩，假如有17名学生在此两科考试中都没有取得优秀成绩，问有多少名学生在两科考试中都取得了优秀成绩?并试用文氏图画出结果设在高等数学考试中取得优秀成绩的学生为集合A，在线性代数考试中取得优秀成绩的学生为集合B，根据题意，有 |AB|=50-17=33 根据容斥原理 |AB|=|A|+|B|-|AB| |AB|=|A|+|B|-|AB|=21+26-33=14 故在两科考试中都取得优秀成绩的学生人数为14人，文氏图如下

28、： 42. 在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?y=3x2曲线y=x3上点(x，y)处切线斜率k=3x2； 曲线y=x3上点(x，y)处法线斜率 直线y-12x-1=0的斜率k1=12 今3x2=12x2=4x=2 在曲线y=x3上点(-2，-8)和点(2，8)处的切线平行于 直线y-12x-1=0 直线y+12x-1=0的斜率k2=-12 令 在曲线y=x3上点和点处的法线平行于 直线y+12x-1=0 43. 求两条相交直线，的

29、交角的平分线方程。求两条相交直线，的交角的平分线方程。与44. 求出等于下列表达式的一个二项式系数求出等于下列表达式的一个二项式系数运用Pascal公式，可得 还可运用组合学方法证明。这只要考虑对集合a1，a2，an，b1，b2，b3的k-组合以如下方式形成：从n个a中取k个a，再从3个b中取0个b；或者从n个a中取k-1个a，再从3个b中取1个b；或者从n个a中取k-2个a，再从3个b中取2个b；或者从n个a中取k-3个a，再从3个b中取3个b。因此 45. 设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，1

30、0，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。 46. 问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗?正确答案：都不可能都不可能47. 矩阵设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_正确答案：应填1分析利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得详解因A的特征值的乘积等于A，又A为3阶矩阵，所以2A23A232348，故148. 设f(x，y)关于y在R上满足Lipschitz

31、条件：对任意的R，R，有 ， (7.14) 其中L称为Lipschitz常数对后退欧拉公设f(x，y)关于y在R上满足Lipschitz条件：对任意的R，R，有，(7.14)其中L称为Lipschitz常数对后退欧拉公式yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1)(7.15)进行迭代求解(7.16)证明当h满足hL1时，此迭代过程是收敛的首先证明是Cauchy序列由 两边取绝对值并利用条件(7.14)得 ，k=1，2，3， 递推得 ，k=1，2，3， 对任意的l，m(lm)，有 因为hL1，所以任给0，存在N，当lmN时， 因而是Cauchy序列，从而存在，设其值为y* 在(7.16)的两边令k

32、，则得y*=yi+hf(xi+1，y*)因而 49. 证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交，从而 N=BT=(cost，sint，0)。故N与z轴垂直 即主法线与z轴垂直，且螺线上任一点r(t)处的主法线方程为=()=r(t)+N(t)=(acost，asint，bt)+(cost，sint，0)。显然z轴上的点(0，0，bt)=(-a)在主法线上，故主法线与z轴垂直相交，交点为(-a)。 50. 证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线由于向量因此向量平行，即P3位于过P1，P2的直线上，也就是P1，P2，P3三点共线