垃圾问题的数学建模

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1、.河南城建学院第四届大学生数学建模竞赛承 诺 书我仔细阅读了河南城建学院第四届大学生数学建模竞赛参赛须知。我完全明白，在竞赛开始后参赛者不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与任何人研究、讨论与赛题有关的问题。我知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我将受到严肃处理。我们选择的题号为：C题姓名赵津霄姓名吴金涛姓名张森（以下内容参赛同学不需填写，由竞赛组委会统一编码）评阅编号 ：

2、.题目：垃圾焚烧厂的经济补偿问题摘要“垃圾围城”问题在中国已日益严重，垃圾焚烧处理方法的推广、垃圾焚烧厂的建立却遭遇重重阻挠。本文就深圳市计划建立一个中型的垃圾厂的背景下，开展相关研究。本文先调查了该垃圾焚烧厂的周边环境， 获取了地形、 风速、风向等数据， 并进行了预处理。 随后，本文建立了基于湍流扩散基本理论的高斯烟羽模型，考虑了烟囱高度，风力风速等因素对污染物扩散分布的影响，利用 MATLAB和 excle 对高斯烟雨模型的污染物浓度以及污染系数进行了相关分析和求解，使用层次分析法对赔偿方案进行了初步确定，应用公平偏好效用函数对赔偿方案做了进一步的修改，获得了该模型下相应的污染物浓度分布图

3、。还考虑了主设备多重机器故障发生的随机性，因而能更加客观真实的反映出不同距离的空气污染水平。同时充分考虑了三项代表污染物对整体空气质量的影响，避免了通常情况下只考虑单一污染物而忽视其他污染物的缺点。 并基于该模型对深圳市政府该如何制定补偿方案进行了探讨。最后，本文评价了模型的优缺点，进一步阐述了模型的指导意义，和推广前景。关键词：高斯烟羽模型、MATLAB、层次分析法、 FS模型、多重故障分析.一、问题重述“垃圾围城” 是世界性难题， 在今天的中国显得尤为突出。 2012 年全国城市生活垃圾清运量达到 1.71 亿吨，比 2010 年增长了 1300 万吨。数据显示，目前全国三分之二以上的城市

4、面临“垃圾围城”问题，垃圾堆放累计侵占土地 75 万亩。因此，垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。城市垃圾经过分类处理，剔除可回收垃圾和有害垃圾后将剩余垃圾在焚烧炉中焚烧处理，既可避免垃圾填埋侵占大量的土地，又可利用垃圾焚烧产生的能量进行发电等获得可观的经济效益。然而，由于政府监管不力、投资者目光短浅等多方面的原因， 致使前些年各地建设的垃圾焚烧电厂在运营中出现了环境污染问题，给垃圾焚烧技术在我国的推广造成了很大阻力，许多城市的新建垃圾焚烧厂选址都出现因居民反对而难以落地的局面。事实上垃圾焚烧厂对环境的污染风险与建设投资规模、运行监管力度有直接关系。小型垃圾焚烧厂由于没有规模效应，在

5、污染治理方面的投入也会受到影响，致使其污染物排放比较严重，难以达到国家新的排放标准，对环境的危害较大。尤其是目前建厂选址尤为困难，所以国内各大城市目前均倾向于采用新型大型焚烧炉的焚烧厂取代分散的小型焚烧炉的举措。 然而大型焚烧厂又存在需要考虑垃圾运输成本与道路建设成本等问题，因此对于不同城市来说，究竟该把大型焚烧厂的建设规模控制在什么水平，这是一个值得研究的课题。在垃圾焚烧厂运行监管方面，目前主要是在垃圾焚烧厂内进行测量监控，缺少从周边环境视角出发的外围动态监控，因而难以形成为民众所信服的全方位垃圾焚烧厂环境监控体系。深圳市某地点计划建立一个中型的垃圾焚烧厂，计划处理垃圾量 1950 吨/ 天

6、（设置三台可处理垃圾 650 吨/ 天的焚烧炉，排烟口高度 80 米，每天 24 小时运转）。从构建环境动态监控体系、并根据潜在污染风险对周围居民进行合理经济补偿的需求出发，有关部门希望能综合考虑垃圾焚烧厂对周围带来环境污染以及其他危害的多种因素（例如，焚烧炉的污染物排放量、 居住点离开垃圾焚烧厂的距离、 风力和风向及降雨等气象条件、地形地貌以及建筑物的遮挡程度等等） ，在进行科学定量分析的基础上，确立一套可行的垃圾焚烧厂环境影响动态监控评估方法， 并针对潜在环境风险制定出合理的经济补偿方案。请你在收集相关资料的基础上考虑以下问题：(1) 假定焚烧炉的排放符合国家新的污染物排放标准 （参见附件

7、 1），根据垃圾焚烧厂周边环境设计一种环境指标监测方法， 实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控。以你设计的环境动态监控体系实际监控结果为依据，设计合理的周围居民风险承担经济补偿方案。(2) 由于各种因素焚烧炉的除尘装置（如袋式除尘器）损坏或出现其他故障导致污染物的排放增加， 致使相关各项指标将严重超标 （如：烟尘浓度、二氧化硫、氮氧化物、一氧化碳、二恶英类及重金属等排放超标，附件 2 给出了一台可处理垃圾 350 吨/ 天的焚烧炉正常运作时的在线排放监测记录） 。请在考虑故障发生概率的情况下修正你设计的监测方法和补偿方案。二、模型假设(1) 污染物的浓度在 y、 z 轴上的分布

8、是高斯分布（正态分布）的；(2) 污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻云团内部的浓度、温度呈均匀分布；(3) 扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射；(4) 烟囱排放气体是理想气体，遵守理想气体状态方程；(5) 在水平方向，大气扩散系数呈各向同性；.(6) 取 x 轴为平均风速方向，整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变，不随地点、时间变化而变化；(7) 地面对烟囱排放气体起全反射作用，不发生吸收或吸附作用；在本模型中，将烟尘（烟气中含有固体颗粒）的扩散与污染气体的扩散做类似处理。(8) 假设将焚烧炉视为高架点源，三台焚烧炉对环境的影响相互独立，其对环境的影响可进行叠加

9、；(9) 假设垃圾焚烧厂周围居民风险承担经济补偿只与综合污染程度有关。三、符号说明1、X（x,y,z ）为下风向 x 米、横向 y 米、地面上方 z 米的扩散的气体浓度，单位为kg/m 3 ；2、Q为源强（即源释放速率） ，单位为 kg/s ；3、u 为平均风速，单位为m/s；4、y 为水平扩散参数，单位为m；5、z 为垂直扩散参数，单位为m；6、t 为泄漏后是时间，单位为s；7、H为泄漏源有效高度，单位为m；8、y 为横向距离，单位为m；9、z 为垂直方向距离，单位为m四、问题一4.1 问题分析我们根据垃圾焚烧厂周围的风向及风速、居民区与焚烧厂的距离，通过两种不同的系数确定污染程度， 从而进

10、行相关赔偿。 首先，根据附件 4 的一年的风速与风向的关系，算出污染系数 K 。其次，根据高斯烟羽模型算出各个区域的污染物的浓度，最后两者结合设计了环境指标监测方法， 实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控。进而，根据污染程度的不同，分成几个污染等级，从而进行经济补偿。4.2 建立模型4.2.1 条件分析1、通常风速越大越有利于空气中污染物质的稀释扩散。而长时间的微风或静风则会抑制污染物质的扩散，使近地面层的污染物质成倍地增加。当人口聚集区处于垃圾焚烧厂烟气排放下风方向时会出现较重的污染；当人口聚集区其上风方向时就不会受到其污染。2、根据谷歌地图，通过垃圾焚烧厂周围等高线的分布情

11、况，得出垃圾场周围 3km 的地形高度低于烟囱的海拔高度，定义垃圾场周围地形为简单地形。即可认为垃圾场周围地形高度为 0m。查阅资料得知，垃圾场周围新田乡的建筑物高度不高于 100m，所以，在此模型中忽略地形地貌以及建筑物的遮挡程度对污染物传播的影响。.4.2.2 污染系数1、根据污染物危害的程度和受污染的时间及浓度有关，确定焚烧厂和居民点的相对位置时要考虑风向、风速两个因素。污染系数 = 风向频率 100%；平均风速污染系数与风向频率成正比， 即某一方向频率越大， 其下风向受污染的机会越多 , 频率越小，污染机会也会越小。污染系数与该风向的平均风速成正比，即某一方向风速越大，则下方向的污染越

12、少。利用 excle 制作如下所示表格：.可以得出：一年中西风和西南风的天数最多，所以焚烧厂东面和东北面受到的污染较为严重。2、从而构造风向玫瑰图以及饼状图说明问题风向频率北150西北100东北50西0东风向频率西南东南南风向频率西北北东北7%北7% 东8%东北西3%24%东东南东南4%南南西南8%西南西西北39%综上所述进：可以明显看出该地区主要风向为西南风、西风。所以应该在其下风口各布置一个监测点等等.4.2.3 污染物浓度1、建立坐标系高斯扩散模式适用于均一的大气条件， 以及地面开阔平坦的地区， 点源的扩散模式。排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等，虽然其大小不一，但是只要不是讨论烟囱

13、底部很近距离的污染问题，均可视其为点源。高斯模式的坐标系如图所示，其原点为排放点（无界点源或地面源）或高架源排放点在地面的投影点， x 轴正向为平均风向， y 轴在水平面上垂直于 x 轴，正向在 x 轴的左侧， z 轴垂直于水平面 xoy，向上为正向，即为右手坐标系在实际中，由于地面的存在，烟羽的扩散是有界的。根据假设可以把地面看做一镜面，对泄漏气体起全反射作用，并采用像源法处理，原理如图2.2 所示。可以把任一点p 处的浓度看做两部分的贡献之和：一部分是不存在地面时所造成的烟囱排放物浓度；一部分是由于地面反射作用增加的烟囱排放物浓度。 该处的烟囱排放物浓度即相当于不存在地面时由位于（ 0,0

14、,H ）的实源和位于（ 0,0,-H ）的像源在 P 点处所造成的烟囱排放物浓度之和。其中，实源的贡献为：.Q1 y21 (zH )2X1 (x, y, z)exp(2 ) exp(22)2 uyz2yz其中，像源的贡献为：X（2Q1y21 ( zH )2x, y, z）exp(2 ) exp(22)2 uyz2yz则该处的实际浓度为：X（x, y, z）X（x, y, z）1X（x, y, z）2由以上条件可得到高架连续点源扩散的高斯烟羽模型公式为：X（ x, y, z, t , H ）Qexp(1 y 22 u22 )yzy1 ( z H )2exp(1 ( z H )2exp(2)22)

15、2zz令 y=z=0，即可得到地面轴线气体浓度计算公式：X (x,0,0, H )Qexp(H 2)u y z2z2其中， X（x,0,0）为下风向 x米的地面扩散气体浓度，单位为 kg/m 32、扩散系数的选取扩散系数的大小与大气湍流结构、离地高度、地面粗糙度、泄漏持续时间、抽样时间间隔、风速以及离开泄漏源的距离等因素有关。大气的湍流结构和风速在大气稳定度中考虑。大气稳定度由 10 米高度以上的风速、白天的太阳辐射或夜间的云量等参数决定。按照 Pasquill 的分类方法，随着气象条件稳定性的增加， 大气稳定度可以分为 A、B、C、D、E、F 六类。其中 A、B、 C 三类表示气象条件不稳定

16、， E、F 两类表示气象条件稳定， D类表示中性气象条件，也就是说气象条件的稳定性在稳定和不稳定之间。A、B、C三种类型的稳定度中， A 类表示气象条件极其不稳定， B 类表示气象条件中等程度不稳定，C类表示气象条件弱不稳定。 E 和 F 两种类型的稳定度中， E 类表示气象条件弱稳定，F 类表示气象条件中等程度稳定。大气稳定度具体分类方法见下表1、表 3。.根据风速确定大气稳定度B, 扩散系数分别为0.16x*(1+0.0001x)(-1/2)和 0.12x3、首先利用 MATLAB对污染物浓度进行了求解，然后利用excle 对数据进行分析如下观察图形发现其污染物浓度的变化趋势和污染系数的变

17、化出奇的相似， 因此可以中和两个因素进行赔偿的确定.4.2.4 层次分析确定赔偿方案由焚烧厂的地理位置及周边环境可知，居住在东北方向的人们颇多，然后东、北、南、东南、西南方向次之，西、西北方向居住的人最少，并给出分布权重。将距焚烧厂周围 500m的污染物浓度作为主要的因素之一（其他距离相对而言较小），然后将污染系数 K 也可作为一个主要因素， 此时我们可简单的建立一个层次分析法来合理的计算出相应的衡量的结果，并以此来设计经济赔偿方案。衡量指标：R K C W经济赔偿等级：等级（ R10）等级（ 10R15 ）等级（ 15R20 ）等级（ 20R25 ）风向北东北东东南南西南西西北污染系数 K1

18、1.57912.7787.3338.758.38709743.44826.33310.385污染物浓度5.020234.143374.133173.65943.08063.81543.427832.62397（1*10(-8)）C居民分布权重0.060.490.150.10.010.110.050.03W指标3.48775525.942554.546283.2019750.25837318.234864.5132520.817498表 6各因素共同决定的衡量指标由表 6 所计算的衡量指标与划分好的等级可确定：东北风向的居民赔偿等级最高，为等级，其次是西南方向的居民，为等级，较次之为东，西方向的

19、居民，最后为东南、西北、北、南方向居民赔偿等级。.4.2.5 赔偿方案的改进1、建立 FS模型公平偏好的效用函数U1 x1 , x2xii max x jxi ,0i max xixj ,0 ,i,j 1,2 ,xi 为物质收益直接效用 ; i 为 i 的嫉妒偏好强度 ; i 为 i 的同情偏好强度2、模型求解建立垃圾焚烧厂会对周边环境造成影响，政府应拿出S 对周边居民进行补偿如果垃圾焚烧厂建设的补偿方案不被居民接受则双方都将遭受损失。设该垃圾焚烧所带来的社会总经济效益为1，补偿方案提议补偿给居民S, 政府获得经济效益为 1-S，如果该补偿方案得到通过，则政府和居民分别所得为UU121s112

20、ss2 12s一般认为 ,0 1， x11s ,x2s , 否则 x1 x2 0 .首先讨论居民的最优反应，对已给定的S如果不接受，则 x1x2 0 ， U1 sU 2s0 ；如果接受，即 x1 1s ， x2 s. 若S1( 给出的补偿远远超出合理的补偿范围) ，所以居民的最优反应是接受。2若 S1，U 2s2 1 2s 仅当 s2 / 122 ，居民的最优反应才是接受，2否则当地居民不会接受补偿方案。由此不难看出政府要想让居民在s 1 , 即合理的补偿方案下让居民接受，政府需2要了解居民的博弈增强因素2 。应用前述的污染物扩散模型拟合了在复杂情况下十万组包含污染物浓度的四维数据，根据图再结

21、合google 地图得到各区域居民的2。.五、问题二一般重要的主设备都有安全保护系统用来起到保护作用 , 当主设备出现故障时 , 安全保护系统采取相应的安全保护措施。5.5.1安全系统的定期功能检测主设备承受故障冲击 , 发生故障 , 此时安全系统正好也已发生故障 , 两个故障发生 , 将产生多重故障的严重故障后果 , 例如 , 汽车出现交通事故 , 此时安全气囊正好故障 , 就会产生毁人亡的严重后果。 因此 , 主设备多重故障发生概率分析 ,需要考虑两方面因素,一是安全系统自身故障发生的统计规律,另一个是主设备故障冲击因素的统计分布规律。安全系统的故障 ,对于主设备使用者来讲是不明显的,即安

22、全系统的故障是隐蔽功能故障如果主设备出现运行偏差时,安全系统不能完成规定的安全保护功能 ,称为危险故障 ,可分为以下 2 种:不 能 检 测 的 危 险 故 障 ( Dangerous undetected-DU):只有在定期功能检测或运行偏差出现时,才能发现的危险故障。简称为 DU 故障。能检测的危险故障( Dangerous detected-DD):只要发生 ,就能立即检测到的危险故障 ,例如 , 自检测诊断能够发现的危险故障。安全系统自检测诊断只能覆盖部分故障,自检测诊断不能检测的故障,采用定期功能检测的方法 , 即定期功能检测主要是针对DU 故障。5.5.2 多重故障发生概率计算多重

23、故障发生概率 ,可采用精确计算方法 , 也可采用近似计算方法 , 精确计算方法计算精度高 ,近似计算方法便于工程中近似估计。5.5.2. 1 精确计算方法f ( t),安全系统 DU 故障的分布函数为 F (t),设主设备寿命密度函数为DU安全系统定期功能检测的间隔期为 f,每次功能检测后状态恢复为完好如新。主设备在任意时刻 t的无限小区间 d t 内, 发生故障概率为 f (t)dt 。 安全系统在每个功能检测间隔期n f, (n+ 1) f 内 (n= 0, 1, 2,),不发生故障的概率为 1- F DU ( t- nf ),主设备故障时 , 安全系统不发生故障 ,就不会发生多重故障 ,

24、 不发生多重故障的概率为5.5.2. 2近似计算方法由于主设备寿命分布类型不同,以及安全系统DU 故障类型不同 ,有时式( 1) 或式 ( 2)计算会比较繁琐 ,可采用简单的近似计算方法。安全系统在每个功能检测间隔期nf,(n+ 1)f 内 (n= 0, 1, 2,),故 障的 概 率 FDU ( t)值 ,在 FDU ( 0)= 0和 FDU (f)之间变化 ,多重故障发生概率近似为.( n 1)f(n 1) ffn 0 FDU ( f )F fn 0 n fF DU (t n) f (t)dtn ff (t )dt FDU ( f )即近似计算时 , 以安全系统 DU 故障概率 F DU(

25、f),作为多重故障发生概率的近似值 , 是偏保守的估计方法。所以发生故障的概率 P= FDU ( f(n 1) f) =FDU ( f )ff (t)dtn 0nP故障概率f ( t)主设备寿命密度函数FDU ( f ) 安全系统DU 故障概率n安全系统第n 次功能检测f 功能检测间隔天数以上数据均可通过机械安全使用手册查到下面我们给出回转窑净化系统出故障的故障树假设最底层的故障包括急冷塔供电系统故障的概率为 P1 ，布水系统故障的概率为 P2 ，引风机供电系统故障的概率为 P3 ，引风机发生机械故障的概率为.5P4 ，滤袋破损的概率为 P5，则顶事件回转窑净化系统故障的概率为 P 1=pi。

26、i1(n 1)f5故障率 P=FDU ( f ) =P 1= piFDU ( f )n ff (t )dt=n 0i 1根据我国现行环境污染等级，对该地区污染超标后进行综合评价分析。六、模型的分析6.1 模型的优点分析该模型考虑了烟囱高度， 风力风速，降雨等因素对污染物扩散分布的影响，利用 MATLAB和 excle 对高斯烟雨模型的污染物浓度以及污染系数进行了相关分析和求解，使用层次分析法对赔偿方案进行了初步确定， 应用公平偏好效用函数对赔偿方案做了进一步的修改，该办法操作简便 , 可保障项目建设进程和平稳运营 , 有利于和谐稳定。我们的模型依靠计算机强大的处理计算能力，处理了大量的数据，得

27、到的数据和结果较为合理可靠。 模型引入了博弈论里最后通牒博弈概念，而且还考虑了主设备多重机器故障发生的随机性， 因而能更加客观真实的反映出不同距离的空气污染水平。 同时充分考虑了三项代表污染物对整体空气质量的影响，避免了通常情况下只考虑单一污染物而忽视其他污染物的缺点。 具有很好的现实指导意义。6.2 模型的缺点分析由于气象数据的限制，我们对模型参数的选择不够全面，对影响空气污染物的气象因素没有完全考虑，忽略了气压、大气温度、云层反射等因素的影响，从而导致模型存在一定的局限性。 我们以建立的空气等级综合评价指标作为对垃圾焚烧厂近距离空气标准的评价是合理的， 但是对距焚烧厂较远距离的评价不是完全

28、吻合此标准。 另外在故障概率方面， 采取的是近似计算方法， 所以模型可能存在一定的误差。七、模型的推广.目前已经有研究机构基于优秀的扩散模型（如 AREMOD模型等）开发出相应的研究软件，使用者只需输入相关参数便能模拟出污染物的扩散情况。 我们监控点选取模型在该研究方向上具有很大的应用前景。 我们相信，我们的模型在建立全方位垃圾焚烧厂环境监控体系的研究上一定会取得更大的进展。参考文献1 中华人民共和国国家环境保护标准 3891135.pdf2 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社， 20013 朱蓉，徐大海，孟燕君等城市空气污染数值预报系统 CAPPS 及其应用 J

29、.应用气象学报， 20014 佚名，高斯烟羽模型， 2013 年 6 月 5 日。附录1 下风向污染物浓度计算：H=80;%（烟囱高度）q=2.66e-003;%（源强）v=2.8;x=100;sigmaz=0.16*x/(1+0.001*x)0.5;%（侧向扩散参数）sigmay=0.12*x;%(竖向扩散参数 )p=q*exp(-H2/(2*sigmay2)/(pi*v*sigmaz*sigmay)2 整体浓度分布图：sigma=20;n=600;%定义模板大小n1=floor(n+1)/2);%计算中心for i=1:nfor j=1:nb(i,j) =exp(-(i-n1)2+(j-n1)2)/(2*sigma2)/(2*pi*sigma2); endendmesh(b).