[数学]第二章基本初等函数

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1、数学（必修1） 第二章 基本初等函数 （I） 　　 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 一、教学内容 教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3. 理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体

2、指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 6. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=loga

3、x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数的图象，了解它们的变化情况 . 二、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为15课时. 2.1 指数函数： 6课时 2.2 对数函数： 6课时 2.3 幂函数： 1课时 小结： 2课时 2．1指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时） 教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有

4、理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时： （I）复习回顾 引例：填空 （1）； a0=1（a； (2) (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z) （3）； -； （4）； （II）讲授新课 1.引入： （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为可看作,所以可以归入性质；又因

5、为可看作，所以可以归入性质(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根 23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根 25=32 2叫32的5次方根 … 2n=a 2叫a的n次方根 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方

6、根。由此，可有： 2.n次方根的定义：（板书） 一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？ 分析过程： 例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程） 解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为=-32，所以-2是-32的5次方根； 因为，所以a2是a6的3次方根。 结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。 从而

7、有：，， 例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。 解：因为，，所以2和-2是16的4次方根； 因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。 结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为： 其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。 例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。 解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。 结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。

8、 这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质： 3.n次方根的性质：（板书） 其中 叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书） ①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。 问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 例4：求 ， ， ， 由所得结果，可有：（板书） ② 性质的推导如下： 性质①推导过程： 当n为奇数时， 当n为偶数时， 综上所述，可知： 性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定

9、义得： 当n为偶数时，由n次方根定义得： 则 综上所述： 注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 例题讲解 例1．求下列各式的值： （4）（a>b） 注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业： a.求下列各式的值 b.书P5

10、9习题2.1 A组题第1题。 2、预习作业： a.预习内容：课本P50—P53。 b.预习提纲： （1）根式与分数指数幂有何关系？ （2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？ 第二课时： （I）复习回顾 1.填空 （1） （2）； （3） (4) （5）； （6） （II）讲授新课 分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：； 也可根据n次方根的性质来解：。 问题1：观察，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？ ，即：当根 式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。 问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整

11、除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：是否可行？ 分析：假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用，那么，这说明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是。这说明可行。 由此可有： 1.正数的正分数指数幂的意义：<板书> ) 注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：等等； 反例：；又如： 。这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。至于，这是正确的，但此时不能理解为分

12、数指数幂，不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而，那是因为，负号内部消化了。 问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？ 分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。 2.负分数指数幂：<板书> 3.0的分数指数幂：（板书） 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。 说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样

13、适用，即（板书） ； (4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。 （5）同样可规定 ① ap表示一个确定的实数； ② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。 （III）例题讲解 例2．求值： 分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解： 例3．用分数指数幂的形式表示下列各式： 分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解： （IV）课堂练习

14、课本P54练习：1、2、3 （V）课时小结 通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。 （Ⅵ）课后作业 1、书面作业：课本P59习题2.1A组题第2.（2）（3） 4.（7）（8） 2、预习作业 （1）预习内容：课本P52例题5。 （2）预习提纲： a.根式的运算如何进行？ b.利用有理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？ 第三课时 教学目标 1.掌握根式与分数指数幂的互化； 2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：有理指数幂运算性质运用。

15、 教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I）复习回顾 1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ； 2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） （II）讲授新课 例1．计算下列各式（式中字母都是正数） 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数

16、相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但： ① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。 例2．计算下列各式： 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。 解： 例3．求值： 分析：（1

17、）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解： 要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 （III）课堂练习 计算下列各式： 要求：学生板演练习，做完后再讲评。 （IV）课时小结 通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。 （V）课后作业 完成P59 习题2.1 A 组和B组 2.1.2 指数函数及其性质（第一课时） 教学目标：1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3

18、、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：底数a对函数值变化的影响 教学方法：探究法 教学过程： （Ⅰ）复习：（提问） 引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：．这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。 （Ⅱ）新课讲解： 1．指数函数定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是． 说明：①定义域为什么是实数集？ 因为在a>0前提下，x可以取任意实数。

19、 ②在函数解析式中为什么要规定a>0,a≠1 ? 因为㈠ ㈡ ㈢ 练习：判断下列函数是否为指数函数。 ① ② ③（且）④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧． 指数函数有② ③ ⑤ 注：判断一个函数是否是一个指数函数一是看底数是否是一个大于零的常数；二是看自变量是否是一个x且在指数位置上；的系数要为1. . 2.指数函数（且）的图象： 例1．画的图象（图（1））． 解：列出的对应表，用描点法画出图象 … -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

20、1 1.5 2 3 … … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 … 图（1） 例2．画的图象（图（1））． … -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 … … 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 … 指出函数与图象间的关系？ 说明：一般地， 函数与的图象关于轴对称。 3．指数函数在底

21、数及这两种情况下的图象和性质： 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）过点，即时 （4）在上是增函数 （4）在上是减函数 例3．已知指数函数的图象经过点，求的值（教材第56页例6）。 例4．比较下列各题中两个值的大小： ； （教材第57页例7） （Ⅲ）小结：学习了指数函数的概念及图象和性质； （Ⅳ）练习：教材第58页练习1、3题。 （Ⅴ）作业：教材第59页习题2。1A组题 第5、7、8题 2.1.2 指数函数及其性质（第二课时） 教学目标：1.熟练掌握指数函

22、数概念、图象、性质； 2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域； 3.掌握比较同底数幂大小的方法； 4. 培养学生数学应用意识。 教学重点：指数函数性质的运用 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 教学过程： （Ⅰ）复习：（提问） 1．指数函数的概念、图象、性质 2．练习： （1）说明函数图象与函数图象的关系； （2）将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ； （3）画出函数的草图。 （Ⅱ）新课讲解： 例1（P57例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过2

23、0年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999年底 人口约为13亿 经过1年 人口约为13（1+1%）亿 经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿 经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿 经过年 人口约为13(1+1%)亿 经过20年 人口约为13(1+1%)20亿 解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则 当=20时， 答：经过20年后

24、，我国人口数最多为16亿. 小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数 . 思考：P58探究： （1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我、国人口数 . （2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 . （3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？ （4）如何看待计划生育政策？ 例2． 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图： （1）； （2）． 解：（1）比较函数与的关系： 与相等，

25、 与相等， 与相等 ， …… 由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。 （2）比较函数与的关系： 与相等， 与相等， 与相等 ， …… 由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。 说明：一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象。 练习：说出下列函数图象之间的关系： （1）与； （2）与；（3）与． 例3．求下列函数的定义域、值域： （1） （2） （3） （4）．

26、 解：（1） ∴ 原函数的定义域是， 令 则 ∴得， 所以，原函数的值域是． （2） ∴ 原函数的定义域是， 令 则， 在是增函数 ∴， 所以，原函数的值域是． （3）原函数的定义域是， 令 则， 在是增函数， ∴， 所以，原函数的值域是． （4）原函数的定义域是， 由得， ∴， ∴，所以，原函数的值域是． 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 （Ⅲ）小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解； 2．学会灵活地应用指数函

27、数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。 3．了解函数与及函数与图象间的关系。 （Ⅳ）作业：习题2.1 第3，5，6题 2.1.2 指数函数及其性质（第三课时） 教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法； 2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 教学过程： （Ⅰ）复习：（提问） 1.指数函数的图象及性质 2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断 3.判证明函数奇偶性的基本步骤： （1

28、）考查函数定义域是否关于原点对称； （2）比较与或者的关系； （3）根据函数奇偶性定义得出结论。 （Ⅱ）新课讲解： 例1．当时，证明函数 是奇函数。 证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。 ∴，所以，函数 是奇函数。 评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。 例2．设是实数，， （1）试证明：对于任意在为增函数； （2）试确定的值，使为奇函数。 分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。 （1）证明：设，则 ， 由于指数函数在上是增函数

29、，且，所以即， 又由，得，，所以，即． 因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。 评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。 （2）解：若为奇函数，则， 即，变形得：， 解得：，所以，当时, 为奇函数。 评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。 （Ⅲ）练习：（1）已知函数为偶函数，当时，,求当 时，的解析式。 （2）判断的单调区间。 （Ⅳ）小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。 （Ⅴ）作业：（补充） 1．已知函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）求证函数在上

30、是增函数。 2．函数的单调递减区间是 ． 3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式 §2．2对数函数 2.2.1 对数与对数运算（第一课时） 教学目标：（1）理解对数的概念； （2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化． 教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： （Ⅰ）引入课题 1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭 （1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （得到：＝？，＝0.125x=?） 2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿

31、元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：=2x=? ） 问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由求x （Ⅱ）讲授新课 1．对数的概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作： ﹝— 底数，— 真数，— 对数式﹞ 说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式． 思考： 为什么对数的定义中要求底数，且； 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数： 常用对数（common lo

32、garithm）：以10为底的对数； 自然对数（natural logarithm）：以无理数为底的对数的对数． 2． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数 ← → 幂底数 对数 ← → 指数 真数 ← → 幂 例1．（教材P63例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）54=645 （2） （3） （4） （5） （6） 注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明. （让学生自己完成，教师巡视指导） 巩固练习：（教材P64练习1

33、、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念． 说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题． 3． 对数的性质 例2：求下列各式中x的值 （1） （2） （3） （4） 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：（1） （2） （3） （4） 所以 （学生活动） 阅读教材P63例2，指出其中求的依据； 独立思考完成教材P64练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质 （1）负数和零没有对数； （2）1的对数是

34、零：； （3）底数的对数是1：； （4）对数恒等式：； （5）． （Ⅲ）归纳小结，强化思想 1．引入对数的必要性； 2．指数与对数的关系； 3．对数的基本性质． （Ⅳ）作业布置 教材P74习题2．2（A组） 第1、2题，（B组） 第1题． 2.2.1 对数与对数运算（第二课时） 教学目标： 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题. 教学重点：运用对数运算性质解决问题 教学难点：对数运算性质的证明方法 教学方法：推导法 教学过程： （Ⅰ）设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 （＞0，且≠1，N＞0）， 指

35、数的运算性质. （Ⅱ）讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？ 如：于是 由对数的定义得到 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让学生探究，讨论） 如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么： （1） （2） （3） 证明： （1）令 则： 又由 即： （3） 即 当=0时，显然成立.

36、 提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定＞0，且≠1，M＞0，N＞0？ 2． 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？ 例题：1. 判断下列式子是否正确，＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞，则有 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例2：用，，表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值. （1） （2） （3） （4） 分析：利用对数运算性质直接计算： （1） （2） = （3） （4） 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.

37、 让学生完成P68练习的第1，2，3题 提出问题： 你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ ＞0，且≠1，＞0，且≠1，＞0 先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程. 设 且 即： 所以： 小结：以上这个式子换底公式，换的底C只要满足C＞0且C≠1就行了，除此之外，对C再也没有什么特定的要求. 提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？ 说明：我们使用的计算器中，“”通常是常用对数. 因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数. 如： 即计算的值的按键顺序为：“”→“3”→“÷”→“”→“２” →“=” 再如：在前面要求我国人口达到1

38、8亿的年份，就是要计算 所以 = 练习：P68 练习4 让学生自己阅读思考P66~P67的例5，例6的题目，教师点拨. （Ⅲ）归纳小结 （1）学习归纳本节 （2）你认为学习对数有什么意义？大家讨论. （Ⅳ）作业 1．书面作业：Ｐ74　习题２.２　　第3、4题 P75　第11、12题 2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？ （2） 2.2.1 对数与对数运算（第三课时） 教学目标：能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力． 教学重点：用对数运算解决实践问题.

39、 教学难点：如何转化为数学问题 教学方法：练习法 教学过程： （Ⅰ）复习准备： 1. 提问：对数的运算性质及换底公式？ 2. 已知 3 = a， 7 = b, 用 a, b 表示56 3. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （答案： →→ ） （Ⅱ）讲授新课： 1.教学对数运算的实践应用： ① 出示例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式

40、为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）. （Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）； （Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1） ② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？ ③ 出示例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人

41、们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题： （Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？ ④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想 ⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？ 结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的

42、指数函数； 思考：t关于P的函数？ （） 2. 小结：初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象 （Ⅲ）巩固练习 1. 计算： ； 2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？ 2.2.2 对数函数及其性质（三课时） 教学目的：1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3.通过比较、对照

43、的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法． 教学重点：掌握对数函数的图象和性质． 教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用． 教学过程： （Ⅰ）引入课题 1．（知识方法准备） 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ 设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质． 对数的定义及其对底数的限制． 设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备． 2．（引例） 教材P81引例 处理建议：在教学时，可以让学生利用计算

44、器填写下表： 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t 然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念） （Ⅱ）讲授新课 （一）对数函数的概念 1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic function） 其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：

45、，且． 巩固练习：（教材P68例2、3） （二）对数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究： 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法） （1） （2） （3） （4） 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 图象特征 函数性质 函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y轴不对称 非奇非

46、偶函数 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，0） 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结） 规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． （Ⅲ） 典型例题 例1．（教材P71例7）． 解：（略） 说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解

47、． 巩固练习：（教材P73练习2）． 例2．（教材P72例8） 解：（略） 说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法． 注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式． 巩固练习：（教材P73练习3）． 例2．（教材P72例9） 解：（略） 说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题． 注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象． 巩固练习：（教材P74习题2．2 A组第6题）． （Ⅴ）归纳小结，

48、强化思想 本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点． （Ⅵ）作业布置 1． 必做题：教材P74习题2．2（A组） 第7、8、9、12题． 2． 选做题：教材P75习题2．2（B组） 第5题． 第二课时 教学目标：1．掌握对数函数单调性 2．掌握比较同底数对数大小的方法 3．培养学生数学应用意识 教学重点：利用对数函数单调性比较对数大小 教学难点：不同底数的对数比较大小 教学方法：学导式 教学过程 （I）复习回顾 师：上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即

49、当时，在（0，+∞）上是增函数； 当时, 在（0，+∞） 是减函数。 这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用。 （Ⅱ）讲授新课 1． 例题讲解： 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）； （2）； （3） 分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。 解：（1）考查对数函数，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是。 （2）考查对数函数，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是。 师：通过例2（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤： （1） 确定所要考查的对数函数；

50、（2） 根据对数底数判断对数函数增减性； （3） 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 解：（3）当时，在（0，+∞）上是增函数，于是 当时，在（0，+∞）上是减函数，于是 评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于是还是小于是。而已知条件并未指明，因此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。 例3．比较下列各组中两个值的大小： （1）； （2） 分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。 解：（1）， （2）；； 评述：例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对

51、数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例3（2）题也可与1比较。 （Ⅲ）课堂练习 课本P 练习 补充：比较与两个值的大小 要求：学生板演，教师讲评 （Ⅳ）课时小结 师：通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能逐步掌握分类讨论的思想方法。 （V）课后作业 1．课本P 73 习题2. 2．预习内容：函数单调性、奇偶性证明 3．预习提纲： （1） 判断、证明函数单调性的通法； （2） 判断、证明函数奇偶性的通法。 第三课时 教学目标：1．掌握对数函数单调性 2．掌握比较同底数对数大小的方法

52、 3．培养学生数学应用意识 教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用 教学方法：学导式 教学过程 （I）复习回顾 师：上一节，我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾。 1．判断及证明函数单调性的基本步骤： 假设—作差—变形—判断 说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。 2．判断及证明函数奇偶性的基本步骤： ① 考查函数定义域是否关于原点对称； ② 比较与或者的关系； ③ 根据函数奇偶性定义得出结论。 说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调

53、学生注意。 师：接下来，我们一起来看例题 （Ⅱ）讲授新课 例4．判断下列函数的奇偶性： （1）；（2） 分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行 解：（1）由可得，所以函数的定义域为：（）关于原点对称， 又，即，所以函数奇函数。 评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形。 解：（2）由可得，所以函数的定义域为R关于原点对称，又 即，所以函数是奇函数。 评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有

54、理化的技巧，应要求学生掌握。 例5．（1）证明函数在上是增函数。（2）问：函数在上是减函数还是增函数？ 分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。 证明：设，且，则 ，又在上是增函数， ∴，即 ∴函数在上是增函数 （2）题证明可以依照上述证明过程给出 评述：此题可引导学生总结函数的增减性与函数的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论。 （Ⅲ）课堂练习 （1）证明函数在上是减函数； （2）判断函数在上的增减性。 （Ⅳ）课时小结 师：通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单

55、调性、奇偶性的通法，提高数学应用的能力。 （V）课后作业 1．求的单调递减区间； 2．求的单调递增区间； 2.2.1 幂函数（两课时） 教学目标：1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 2．能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 3．体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 教学难点： 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 创设情境 组织探究 尝试练习 巩固反思 作业回

56、馈 课外活动 问题引入． 幂函数的图象和性质． 幂函数性质的初步应用． 复述幂函数的图象规律及性质． 幂函数性质的初步应用． 探索一般幂函数的图象规律． 教学过程与操作设计： 环节 教学内容设计 师生双边互动 创 设 情 境 阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题： （1）边长为的正方形面积，这里是的函数； （2）面积为的正方形边长，这里是的函数； （3）边长为的立方体体积，这里是的函数； （4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数； （5）购买每本1元的练习本本，则

57、需支付元，这里是的函数. 观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变） 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数． 生：独立思考完成引例． 师：引导学生分析归纳概括得出结论． 师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同． 组 织 探 究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． [解] 列表（略） 图象

58、 师：说明： 幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析． 生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律． 师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画图象易犯的错误． 环节 教学内容设计 师生双边互动 组 织 探 究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特

59、别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律． 生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表． 师：引导学生回顾讨 论函数性质的方法，规范解题格式与步骤． 材料三：观察与思考 观察图象，总结填写下表： 定义

60、域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 第一象限单调性 增 增 增 增 减 定点 材料五：例题 [例1]（教材P78例题） [例2]比较下列两个代数值的大小： （1），（2）， [例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出 生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析． 环节 呈现教学材料 师生互动设计 尝 试 练 习 1．利用幂函数的

61、性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1），； （2），； （3），； （4），． 2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明． 3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间． 4．用图象法解方程： （1）； （2）． 探 究 与 发 现 1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： ． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）和； （2）和 规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点

62、从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称． 作业回馈 1．在函数中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节 呈现教学材料 师生互动设计 2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（2）中的气体通过

63、的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式． 课 外 活 动 利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律． 收 获 与 体 会 1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？ 2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？ 第二章 基本初等函数（Ⅰ

64、） 小结与复习 教学目标：1．理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. 2．能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 3．通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 教学重点：指数函数与对数函数的性质。 教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题。 学法与教具：1、学法：讲授法、讨论法。 2、教具：三角板. 小黑板 教学过程： （Ⅰ）回顾本章的知识结构 整数指数幂 定义 对数 指数 有理数指数幂 运算性质 无理数指数幂 定义 定义 指数函数 对数函数 图象与性质 图象与性质

65、 （Ⅱ）指数与对数 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ N＝ b 底数 指数←→对数值 提问：在对数式中，a，N，b的取值范围是什么？ 例1：已知＝，54b＝3，用的值 解法1：由＝3得＝b ∴＝＝ 解法2：由 设 所以 即： 所以 因此得： （1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。 （Ⅲ）指数函数与对数函数 问题1：函数分别必须满足什么条

66、件. 问题2：在同一直角坐标系中画出函数的图象，并说明两者之间的关系. 问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质. 例2：已知函数的图象沿轴方向向左平移1个单位后与的图象关于直线对称，且，则函数的值域为 . 分析：函数关于直线对称的函数为 ∴ ∴ ∵ 小结：底数相同的指数函数与对数函数关于对称，它们之间还有一个关系式子： 例3：已知 （1）求的定义域 （2）求使的的取值范围 分析：（1）要求的定义域， 则应有 （2）注意考虑不等号右边的0化为，则（2）小题变为两种情况分别求出. （Ⅳ）课堂小结 1．指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法. 2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，记作指数函数与对数函数的性质. （Ⅴ）作业：P82 A组 P83 B组 第 34 页 共 34 页