版高考数学大一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第60讲几何概型课时达标理含解析新人教A

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1、第60讲 几何概型课时达标一、选择题1在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B.C. D.B解析 区间2,3的长度为3(2)5，2,1的长度为1(2)3，故满足条件的概率P.2设p在0,5上随机地取值，则关于x的方程x2px10有实数根的概率为()A. B.C. D.C解析 方程有实根，则p240，解得p2或p2(舍去)所以所求概率为.3老师计划在晚修19：0020：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率为()A. B.C. D.B解析 设19：0020：00对应时刻0,

2、60，甲、乙问问题的时刻分别为x，y，则x，y0,60两人独自去时不需要等待满足|xy|20，则由几何概型可知，所求概率为，故选B.4如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是()A. B C2 D3D解析 设阴影部分的面积为S1，圆的面积S329，由几何概型的概率计算公式得，得S13.5(2019北京昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y20的距离大于2的概率是()A. B.C. D.D解析 作出平面区域可知平面区域D是以A(4, 3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的三角形

3、区域，当点在AED区域内时，点到直线y20的距离大于2.P，故选D.6(2019山东枣庄一模)已知实数a满足3aP2 BP1P2CP1P2 DP1与P2的大小不确定C解析 若f(x)的值域为R，则1a240，得a2或a2.故P1.若f(x)的定义域为R，则2a240，得2a2.故P2，所以P1P2.二、填空题7(2019石宝中学一模)如图所示，M是半径为R的圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是_解析 当弦MN的长度恰为R时，MON，如图当点N落在半圆弧上时，弦MN的长度不超过R，故所求概率为P.答案 8记集合A(x，y)|x2y24和集合B(x，

4、y)|xy20，x0，y0表示的平面区域分别为1和2，若在区域1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域2的概率为_解析 作圆O：x2y24，区域1就是圆O内部(含边界)，其面积为4，区域2就是图中AOB内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为.答案 9在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是_解析 设随机取出的两个数分别为x，y，则0x1,0y1，依题意有xy，由几何概型知，所求概率为P.答案 三、解答题10甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的

5、概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y，则0x24,0y4或yx2或yx4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域则P(B).11已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“2ab3”为事件A，求事件A的概率；在区间0,2内任取2个实数x，y

6、，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率解析 (1)由题意共有小球n2个，标号为2的小球n个从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是，解得n2.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，则取出2个小球的可能情况共有CC12种结果，令满足“2ab3”为事件A，则事件A共有C28种结果，故P(A)；由可知(ab)24，故x2y24，(x，y)可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域(x，y)|0x2,0y2，x，yR，由几何概型可得概率为P1.12甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲

7、商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为R2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为.所以，在甲商场中奖的概率为P1.如果顾客去乙商场，从盒子中摸出2个球的一切可能的结果有C共15种摸到的2个球都是红球有C种，共3种，所以在乙商场中奖的概率为P2，又P1P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大13选做题(20

8、19福州一模)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率解析 (1)记“复数z为纯虚数”为事件A.因为组成复数z的所有情况共有CC12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所以所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，D，所以三角形OAD的面积为S13.所以所求事件的概率为P.