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1、1.2复合函数的导数复合函数的导数1). 求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数 2).又如我们知道函数又如我们知道函数y=1/x2的导数是的导数是y=- 2/x 3把平方式展开把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导利用导数的四则运算法则求导.是否还有用其它的办法求导呢是否还有用其它的办法求导呢?那么函数那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢的导数又是什么呢?想一想想一想 ?二、新课二、新课复合函数的导数：复合函数的导数：1.复合函数的概念复合函数的概念:对于函数对于函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变量如果通过变量u,y可以示可以示成成x的函数的函数,那么称这个函数为函
2、数那么称这个函数为函数y=f (u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数. 记作记作y=f(g(x) 函函 数数内圈函数内圈函数 外圈函数外圈函数 复合函数复合函数定义域定义域值值 域域u=g(x)y=f(u)y=f(g(x)xAUDUDyBxAyB问题问题1:指出下列函数的复合关系指出下列函数的复合关系)()sin()1 11 12 2n nm my ya ab bx xy yx xx x),1 1m mn ny yu uu ua ab bx x)sin,1 12 2y yu uu ux xx x解解:log ()ln)2 22 22 23 33 33 32 24 43 3x xx xx x
3、y ye ey y)ln,3 33 32 2x xy yu u u uv v v ve e),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx x2.复合函数的导数复合函数的导数:如如:求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数,注注:1)y对对x的导数等于的导数等于y对对u的导数与的导数与u对对x的导数的导数 的乘积的乘积.复合函数复合函数y=f(g(xy=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u),y=f(u),u=gu=g( (x x) )的导数间关系为的导数间关系为2)2)法则可以推广到两个以上的中间变量法则可以推广到两个以上的中间变量. .3
4、)3)在书写时不要把在书写时不要把 写成写成 , ,两者两者是不完全一样的是不完全一样的, ,前者表示对自变量前者表示对自变量x x的求导的求导, ,而后者是对中间变量而后者是对中间变量 的求导的求导. .)(x )()(xfxfx ( ( ( )yf g u xguxyfgu;xuxuyy ( )( )( ).xfxf ux或或令令y=u2,u=3x-2,1218 xuyyxux则则 从而从而2 ,3,uxyu u问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数)()1 1n nm my ya ab bx xm mn n1 1) )因因y y = = u u, ,u u = = a a
5、+ + b bx x解解:gm-1n-1m-1n-1uxux而y= m u,u= nbx而y= m u,u= nbxg x xu ux x又又y y= = y yu u n n- -1 1n nm m- -1 1x x y y= = n nm mb bx x( (a a + + b bx x ) )问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数)sin()1 12 2y yx xx x u ux x2 2 x xu ux x x x2 21 12 2) )因因 y y= =s si in nu u, , u u = =x x + +x x1 1 而而 y y= =c co os su u
6、, ,u u= =1 1 - -x x 又又 y y= =y yu u1 11 1 y y= = ( (1 1 - -) )c co os s( (x x + +) )x xx x解解:问题问题2:求下列函数复合的导数求下列函数复合的导数解解:)ln3 33 32 2x xy ye e()3 32 2x xx xe ee e()3 32 23 31 11 12 23 32 2xyx xx xx xe ee ee exuux又yyyv,3 32 21 11 13 3uux而yyvx xe eu uv v)ln,3 33 32 2因x xy yu u u uv v v ve e问题问题2:求下列函
7、数复合的导数求下列函数复合的导数解解:log ()2 22 22 23 34 43 3x xx xy y),log,2 22 24 43 32 23 3u uy yu uv v v vx xx xuuuvxuvx1 1y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2y= 3 ln3 ,u= ,v= 2x - 2vln2vln2log ()()ln()lnx xx xx xx xy yx xx x2 22 22 23 32 22 21 1 3 33 32 23 32 2log ()log()()x xx xx xx xx x2 22 22 23 32 22 22 23 31 1 3 32 23 3.2 2cos(2).cos2sin24.sin2cos2.2 2cos(2)4AyxByxxC yxxDyxsin2cos2yxx函数函数 的导数是的导数是( )A练习练习:求下列函数的导数求下列函数的导数323211).(2)12).1 23).sin (2)34).1yxxxyxyxyxx332222222111).4(2) (61)22).(1 2) 1 223).2sin(4)3(12) 14).1yxxxxxxyxxyxxxyx
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