数列题型及解题方法归纳总结材料

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1、实用标准文案知识框架能在高考中顺利地解决数列问题。数列的分类一、典型题的技巧解法数列函数角度理解1、求通项公式数列的通项公式（ 1）观察法。（2）由递推公式求通项。的概念数列的递推关系对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等等差数列的定义anan 1d ( n2)差数列或等比数列问题。等差数列的通项公式ana1( n1)d(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d， q 为常数）等差数列Snn ( a1an )na1n(n 1) d例 1、已知 a n 满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。等差数列的求和公式2 的等差数列22例 1

2、、解a-a=2 为常数 a 是首项为 1，公差为n+1nn等差数列的性质anama paq ( mn pq) an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1两个基anq( n2)例 2、已知 an 满足 an 11等比数列的定义an 1an ，而 a1 2 ，求 an =？本数列2等比数列的通项公式ana1 qn 1等比数列na1an qa1 (1 q ) ( q 1)数列n等比数列的求和公式1q1 qSna1 ( q 1)等比数列的性质 an amap aq ( mnp q)公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他（ 2） 递推式为 an

3、+1=an+f （n）例 3、已知 an 中 a111，求 an .， an 1an24n21解： 由已知可知 an 1an11111)( 2n 1)2()(2n2n1 2n 1令 n=1， 2， ，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2） +（ an-a n-1 ）掌握了数列的基本知识， 特别是等差、等比数列的定义、 通项公式、求和公式及性质， 掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可文档大全实用标准文案114n3an a1(12n)2214n 说明只要和f （ 1） +f （ 2） + +f （ n-1 ）是可求的，就可以由an+1=a

4、n+f （ n）以 n=1，2， ，（ n-1 ）代入，可得n-1个等式累加而求 an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p， q 为常数）例 4、 an 中， a11，对于 n1（ n N）有 an3an 12 ，求 an .(5) 递推式为 an 2解法一： 由已知递推式得 an+1nnn-1n+1nnn-1）pan 1qan=3a +2，a =3a+2。两式相减： a -a =3（ a -a因此数列 an+1-a 是公比为3 的等比数列，其首项为a -a=（ 3 1+2）-1=4n21思路：设 an 2pan 1qan , 可以变形为： an 2an 1(an 1an ) ，an

5、+1-a n =4 3n-1 an+1=3an+2 3an+2-a n=43n-1n-1-1即 a n=23解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=43，a -a2n-2，=4 3， ， a -an-1=4 343n把n-1个等式累加得：想 an=2 3n-1-1于是 a - a 是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。n+1n(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （ p， q 为常数）求an 。bn 1bn2 (bnbn 1 ) 由 上 题 的 解 法 ， 得 ： bn3 2( 2) n33anbn3( 1 ) n

6、2( 1) n2 n23文档大全实用标准文案数列求和的常用方法：(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系；（ 2）试用 n 表示 an。Sn 1Sn(an an 1 ) (n1 21n 1 )22 an11anan 11 an12 n 1an 122n2n+1 得 2n+1an+1=2nan+2 则 2 nan 是公差为上式两边同乘以2 的等差数列。 2nan= 2+ （ n-1 ）2=2n1、拆项分组法 ：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法 ：适用于差比数列（如果an 等差， bn 等比，那么 anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以 bn的公比 q

7、 ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法 ：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列1和1（其中a 等差）an an 1aann1n可裂项为：11 ( 11 ) ，an an 1d anan 111anan 1( an 1an )d等差数列前 n 项和的最值问题 ：1、若等差数列an 的首项 a10 ，公差 d0 ，则前 n 项和 Sn 有最大值。（）若已知通项an0an ，则 Sn 最大；an 10文档大全实用标准文案2q特别地 ，（1）形如ankan 1ba kabnk ,b、n 1（为常数）的递（）若已知Snpnqn ，则当 n

8、 取最靠近Sn 最n的非零自然数时2 pk 的等比数列 后，再求 an ；形大；推数列都可以用待定系数法转化为公比为2、若等差数列an的首项 a1 0 ，公差 d0，则前 n 项和 Sn 有最小值如 an kan 1 k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后，再求（）若已知通项an ，则 Sn 最小an0；an 。an 10（ 2）形如 anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1bSnpn2qn ，则当nqS（）若已知取最靠近的非零自然数时n 最ank 的递推数列都可以用对数法求通项。2 p（ 3）形如 an 1小；（ 7）（理科） 数学归纳法 。数列通项的求法：公式法

9、 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式。 已 知 Sn （ 即 a1a2 Lanf (n) ） 求 an，用作差法：anS1 ,( n1)。SnSn 1,( n2)f (1),( n1)已知 a1 ga2 gL ganf (n) 求 an ，用作商法： anf (n),( n。f (n2)1)已知条件中既有Sn 还有 an ，有时先求 Sn ，再求 an ；有时也可直接求an 。若an 1anf (n)求an用累加法：an ( anan 1 ) ( an 1 an 2 ) L(a2 a1 )a1 (n2)。已知 an 1f ( n) 求 an ，用累乘法 ： ananan1La2 a1 (n2

10、) 。anan 1an2a1已知递推关系求an ，用构造法 （构造等差、等比数列） 。（ 8）当遇到 an 1 an 1d或 an 1q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可an 1能是分段形式。数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（ 2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时， 常将“和式” 中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（ 3）倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） .（ 4）错位相减法 ：如果数列的通项是由一个

11、等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成， 那么常选用错位相减法 （这也是等比数列前 n 和公式的推导方法） .（ 5）裂项相消法 ：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：111 ； 11 ( 11 ) ；n(n 1)nn 1n(n k)k nn k文档大全1111 (11k1 )k 2k 22k11111111 ；k k 1( k 1)kk2( k 1)kk1 k11 11)(n12) ；nn( n1)(n2) 2n(n1)(n( n1)! 2( n 1n )211n2n2( nnnn1二、解题方法：求数列通项公式的常用方

12、法：1、公式法2、Snann1a1S1 n2anSnSn 13、求差（商）法a n1 a11a21an2n522 22n解： n11 a121 5a1142n 21 a11a21an 12n1 52222 n 1121n a n22an2 n1实用标准文案，an14( n1)2n 1(n2)练习11；aSS5 aa4an! (n 1)!nnn 13n 11nn1)a n1Sn 1SnSn 14SnS14SnSn4 nn 2anSnSn 13 4 n 14、叠乘法anaan 1nan13ann 1a2a3an12n 1an1解：1a1a2an 123na1n3a13ann5 、等差型递推公式2a

13、 n an 1f (n) a1a0ann 2a2a1f ( 2)a3a2f ( 3)anan 1f (n)文档大全ana1f (2)f (3)f (n) ana0f ( 2)f (3)f ( n)练习数列 an， a1， ann 1an1n2，求 an13（ an13n1 ）26、等比型递推公式ancan 1dc、 d为常数， c0， c1， d0可转化为等比数列，设anxc an 1xa nca n 1c1 x令 (c1) xd， xdc1 and是首项为 a1d， c为公比的等比数列c1c1 ancd1a1cd c n 11 ana1cdcn1d11c练习数列an 满足 a19， 3a n

14、 1an4，求 an实用标准文案n 1（an 841）37 、倒数法例如： a1， an 12a n，求an1an2由已知得：1an 211an 12an2an 111an 1an21为等差数列， 1，公差为 1ana11211n 1 11n 1an22 an2n12数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。文档大全实用标准文案1 35 (2n-1)=n 2适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。【例 8】 求数列 1，（ 3+5），（ 7+9+

15、10），（ 13+15+17+19）， 前 n 项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有 1+2+n= 1 n(n1)2个奇数，最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-12=n2+n-12因此所求数列的前n 项的和为（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1（ n2-1 ） + 2 （ n2-2 2）+3（ n2-3 2） +n（n2-n 2）解 S=n 2（ 1+2+3+ +n） - （ 13+23+33 + +n3）例 10、求和： Sn3Cn16Cn2L3nCnn例 10、解 Sn0 ? Cn03Cn16Cn2L 3

16、nCnn S n=3n 2n-1（ 4）、错位相减法如果一个数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、 求数列 1，3x， 5x2, ,(2n-1)xn-1 前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x2+ +(2n-1)xn-1 (2)x=0 时， S =1n(3) 当 x 0 且 x 1 时，在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x 2+5x3+ +(2n-1)xn， - ，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)xn(5) 裂项法：把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，

17、然后前后相消。（ 3）、倒序相加法常见裂项方法：文档大全实用标准文案1111例 12、求和3 ?75?9L1?5(2 n 1)(2n 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时， 也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】 等差数列 a n 的首项 a1 0，前 n 项的和为 Sn，若 Sl =Sk（ l k）问 n 为何值时 Sn 最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。 a1 0 S l =Sk（ l k）， d 0 故此二次函数

18、的图像开口向下 f （l ） =f （k）2方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q 1整理得q 3（2q6-q 3-1 ） =0 q 0文档大全实用标准文案此题还可以作如下思考：A 6B 6 ( 1) n 2C 6 2 n 2D 6 或 6 ( 1) n 2 或 6 2n 233） S336S =S +q S =（1+qS =S +q S =S （ 1+q +q ），633

19、3。9363由 S3+S6 =2S9 可得 2+q3=2（ 1+q3+q6）， 2q6+q3=0二、填空题1 已 知 数 列 an中 ， a11 ， an 1an an 1 an ， 则 数 列 通 项3换元思想【例 15】已知 a，b， c 是不为 1 的正数， x， y， z R+，且求证： a， b，c 顺次成等比数列。证明依题意令xyza =b =c =k x=1ogak， y=log b k， z=log c k2 b =ac a， b，c 成等比数列（a， b， c 均不为 0）数学 5（必修）第二章：数列一、选择题1数列 an 的通项公式 an1，则该数列的前 （）项之和等于9

20、。nn 1A98 B 99C96 D 972在等差数列an中，若 S41, S84 ，则 a17a18a19a20 的值为（）A9 B 12C16 D 173在等比数列an中，若 a26 ，且 a5 2a4a3120 ，则 an 为（）an_。2已知数列的Snn2n1，则 a8a9a10a11a12 =_ 。3 三 个 不 同 的 实 数 a,b,c 成 等 差 数 列 ， 且 a, c,b 成 等 比 数 列 ， 则a : b : c_ 。三、解答题1 已知数列an 的前 n 项和 Sn32n ，求 an2 数列lg 1000, lg(1000 cos60 0 ), lg(1000cos2 60 0 ),. lg(1000 cosn 1 600 ), 的前多少项和为最大？文档大全实用标准文案3已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，满足 Sn =2a n -2n(n N )（ 1）求数列 a n 的通项公式a n ;（ 2）若数列 b n 满足 b n =log 2 (a n +2),Tbn 的前 n 项和，求n为数列 an2证 Tn 1;2文档大全