排列、组合问题分类解析

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1、排列、组合问题分类解析一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、排除法、捆绑法（视一法）、插空法、隔板法、等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原理”.二、排列、组合问题大体分以下几个类型类型一：排队问题例 1 ： 7 人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（ 1 ）甲不站排头，乙不站排尾_（ 2 ）甲、乙两人不站两端 _（ 3 ）甲、乙两人相邻 _（ 4 ）甲、乙两人不相邻 _（ 5）甲、乙之间隔着 2 人 _（ 6）甲在乙的左边 _（ 7）若 7 人顺序不变，再加入 3 个人，要求保持原先 7 人顺序不变 _（ 8）若7人中有 4男生，3女生，男、女生相间隔排列 _（ 9

2、 ）7 人站成前后两排，前排 3 人，后排 4 人的站法 _（ 10 ）甲站中间 _（ 11） 7 人中现需改变 3 人所站位置，则不同排法_（ 12）若 7 人身高各不相同，则按照从高到低的站法_（ 13）甲、乙、丙 3 人中从左向右看由高到底（ 3人身高不同）的站法 _（ 14 ）若甲、乙两人去坐标号为1 ， 2 ，3 ， 4 ， 5 ， 6 ，7 的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法 _类型二：分组与分配问题例 2 ：将 6 本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有：（ 1 ）平均分成 3 堆，每堆 2 本 _（ 2 ）分给甲、乙、丙 3 人，每人 2 本 _（ 3 ）分成 3

3、堆，每堆本数分别是 1 ， 2 ，3 ， _（ 4 ）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本 _（ 5 ）分给 3 人， 1 人 1 本， 1 人 2 本， 1 人 3 本 _（ 6 ）分给甲、乙、丙 3 人，每人至少 1 本 _（ 7 ）若将 6 本不同书放到 5 个不同盒子里，有 _种不同放法（ 8）若将 6本不同书放到5 个不同盒子里，每个盒子至少1 本，则有 _种不同放法。（ 9）若将 6本不同书放到6 个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法_。（ 10 ）若将6本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本_（ 11 ）若将6本编号为 1，2，3，4，5， 6 的不同的书放到编号为1，2，3，

4、4，5 ， 6的 6 个不同盒子中，要求有3 本书的编号与盒子不一致的放法_（ 12 ）将 6 名优秀指标分到4 个不同的班中去， 每班至少1 名，则分法种数 _从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如2 本书平均分成2 份，仅有一种分法，而 7 本书按 2 ， 2 ， 3 来分有 C73 C42 C22种分法。A 22类型三：数字问题例 3：现有 0，1，2，3，4，5共6个数字（ 1 ）可组成数字可重复的5 位数有 _个（ 2 ）可组成无重复数字的 5 位数 _个（ 3 ）可组成无重复数字的 5 位偶数的个数 _（ 4 ）可组成能被 5 整除的无重复数字的五位数 _个（ 5）在（

5、 3 ）中所有的偶数中，从小到大，第100个数是 _（ 6）用 1 ， 2 ， 3 ， 4 组成无重复数字的四位数，所有这些四位数的数字和是_ ，所有这些四位数的和是 _（ 7）由 0 ，1，2，3，4 ，5 六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为4的有 _个（ 8）在由数字 1， 2 ，3， 4 ，5 组成的无重复数字的5 位数中，大于 23145且小于 43521 的数有 _个。（9）若从 1 邻的选法到 100这 100个自然数中，任取_种。20 个数，要求这20 个数两两不相（ 10 ） 1800 的正约数的个数为 _个类型四：几何问题例 4（ 1）从正方体的6个面中任选取3个

6、面，其中有2 个面不相邻的选法种数是_（ 2）从正方体的8个顶点中，任取两点相连，可形成_ 对异面直线。（ 3）从正方体的8个顶点中任取3点连成一个三角形，其中直角三角形有_个。（ 4）从三棱柱中，任取两个顶点连成一条直线，其中异面直线有_对。（ 5 ）在四面体的顶点、各棱中点共10 个点中，任取 4 点，使其不共面，不同取法有 _ 种。AA5A4HGA2A3A1MBDNOB1B2B3B4EFC6 题图5 题图（ 6 ）如图，在 MON 的边 OM 上有 5 个异于 O 的点， ON 上有 4 个异于 O 的点，以这 10 个点为顶点，可得 _个三角形。（ 7 ）正六边形的中心和顶点共7 个点

7、，以其中3 个点为顶点的三角形共有_个。（ 8 ）A 、B 、C、 D 是海上四岛，要建三座桥，将四岛联接起来，则不同建桥方案有_ 种。（ 9 ）在平面直角坐标系中，平行直线X=n （ n ： 0 ， 1 ， 2 ，3 ， 4 ，5 ）与平行直线 y=m(m:0 ，1 ， 2 ，3 ， 4 ， 5) 组成图形中，矩形有 _个。（ 10）从集合 1,2,3 L 11 中任取两个元素，作为椭圆方程x 2y2的 m 、 n ，m 2n 21且能组成落在矩形区域B(x, y) | x | 11且 | y |9 的椭圆个数为 _个（ 11）已知直线 ax by 10(a 2b20) 与圆 x 2y 25

8、0 有公共点，且公共点的横、纵坐标为整数，这样的直线有_条。（ 12） ABC 有任意三点不共线的2005个点，加上A、B 、 C 三个顶点共 2008个点，把这 2008 个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可形成小三角形 _个。（ 13）若直线方程Ax By 0 的系数 A 、 B 可以从 0 ， 1 ， 2 ，3 ， 6 ， 7这六个数字中取不同的数而得到，则这样的方程表示不同直线的条数是_ 。（ 14）空间中有12 个点，其中 5 点共面，此外无任何四点共面，这12个点可确定 _个不同的平面。（ 15 ）如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有 _个。

9、15 题图（ 16 ）从长度分别为1 ，2 ， 3 ， 4， 5 的五条线段中，任取3 条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边构成钝角三角形的个数为m ，则m_。n类型五：涂色问题例 5 ：（ 1 ）如图用 5 种不同颜色给图中A、 B 、C 、D 四个区域涂色，规定每一区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，共有_种不同涂法231541 题图2 题图（ 2 ）如图一地区有 5 个行政区域， 现给地图涂色， 要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色供选择，则不同着色方法有_种。（ 3 ）某城市中心广建一花圃，花辅分6 个部分，现有 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻

10、区域不能栽种同一种花，则不同栽种方法有_ 种。SCDHB3题图4题图（ 4 ）如图将一四棱锥每一个顶点染上同一种颜色，并使同一条棱上的端点颜色不同，如果仅有 5 种颜色供使用，则有 _种不同染色方法。（ 5 ）直线 xm,yx 将圆面 x2y 24 分成若干块，现用5 种不同颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120 种涂色， 则 m 的取值围是 _。yOx5题图6题图（ 6 ）如右图所示，用5 种不同颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可反复利用，则不同着色方案有_种。类型六：列方程求解问题例 6 ：（ 1）某场足球比赛的计分规则是胜一场得3 分，平一场得

11、1 分，负一场得0 分，一球队打完15 场后积 33 分，若不考虑顺序， 则该队胜、 负、平的情况共有多少种？（ 2 ）某电脑用户计划用不超过500 元的资金购买单价分别是60 元、 70 元的单片软件和盒装磁带，根据需要，软件至少买3 件，磁盒至少买2 盒，则不同的选购方法有几种？（ 3 ）一个口袋有4 个不同的红球和6 个不同的白球。从中任取4 个球，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？若取一红球记2 分，取一白球记1 分，从口袋中取5 个球，使总分不少于7 的取法种数有多少种？（ 4 ）一铁路原有n 个车站，为适应客运要求，新增m 个车站（ m1），客运票增加了 62 种，则原有

12、车站_个，现有 _个。类型七：选人问题例 7 ：现从 12 人中选出 5 人参加一项活动，求满足下列条件的选法。（ 1 ）A 、 B 、C 三人必须入选：（ 2 ）A 、 B 、C 三人不能入选：（ 3 ）A 、 B 、C 三人中只有 1 人入选：（ 4 ）A 、 B 、C 三人中至少有 1 人入选：（ 5 ）A 、 B 、C 三人中至多二人入选：例 8 ：（ 1）在 11 名工人中，有 5 人只会排版， 4 人只会印刷，还有 2 人既会排版也会印刷，现从 11 人中选 4 人排版， 4 人印刷，共有 _种不同选法。（ 2 ）某外商计划在 4 个侯选城市投资 3 个不同的项目，且在每一城市投资

13、项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案，有_种。（ 3 ）函数 f : 1,2,31,2,3满足f (f (x)f (x)，则这样的函数个数共有_个。（4 ）写有 0， 1，2 ，5 ，7 ，9 的六种卡片，若允许9 可以当6 用，那么从中抽出三卡片，可以组成_个不同的三位数。（ 5 ）设 an 是等差数列，从a1 ,a2 , L a10中任取3 个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多可有_（ 6 ）从 6 名学生中，选出 4 人分别从事 A、B 、C、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事工作 A ，则不同的选派方案共有 _种。（ 7 ）将 (xyz)10 展开后

14、，经合并同类项后的项数有_项。参考答案一、排队问题例 1: 解(1)法 1: A66C51C51 A553720(优限法 )法 2: A772 A66A553720(排除法 )(2)A52 A552400(优限法 )(3)A22 A661440(捆绑法 )(4)A77A22 A66A55 A623600(排除法 )(5)A55 A22 A44960(捆绑法 )(6)A772520(等可能法 )A22(7)C81C91C101720(插空法 )(8)A33 A44144(插空法 )(9)A775040(分步计数 )(10) A66720(优限法 )(11) C73270(分步计数 ,从 7人中任

15、取 3 人,如 a,b,c, 则改变原位置站法有 2 种,b,c,a和 c,a,b)(12)1(固定模型 )(13)A77840(等可能 )A33(14)6 A2212(固定模型 , 甲、乙两人坐法有 (2,4)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,6)6种 )二、分组与分配问题C62C42 C2215种(平均分组 , 无归属 )例 2: 解(1)A33(2) C62 C42C2290种(平均分配 , 有归属 , 而这种分法又可分以下两步 : 先平均分成3 份,每份 2 本,再分给 3 人 )(3)C61C52C3360种(不平均分配 ,无归属 )(4)C61C52C3360种(不平均

16、分配 ,有归属 )(5)C61C52C33 A33360种(不平均分配 ,有归属但不固定 )(6)C62 C42C22C64 A33C61C51C33 A33540种 (分类计数 ,3 人手中书本数可分 (2,2,2)(1,1,4)(1,2,3)3类)(7)56 种(分步计数 )(8)C62 A551800种(9)C62 A6510800种(10)C3 A4C62C42A41560种 (有 (1,1,1,3)(1,1,2,2)两类放法 )64A224(11)C63240种(同例 1 第(11) 题 )(12)C5210 种(隔板法 )三、数字问题例 3: 解 (1) C5164(2) C51

17、A54600(3) A54C21C41 A43312(4) A54C41 A43216(5)23510(6) A44 (123 4)240, A33 (12 34) (103102101)66660(7)48(8)58(9) C8120(10)36(1800=2332 52,2,3,5 的取法种数分别有4,3,3种 )四、几何问题例 4: 解(1)C63812(2)174(转化为找组成四面体的个数: C8412, 每个四面体有3 对异面直线 )(3)C83848(4)(C643) 336(5)C1044C6436 141(6)C51C41C52C41C51C4290(7)C73332(8)C6

18、3416 (共可有桥 C426座 )(9)C62C62225(10)C101C81872(11)72(12)2 2005+1=4011(13)18(14)211(15)40(16)15五、涂色问题例 5: 解 :(1)180(2)72( 相同 ,4 3 2 2=48 种, 不同 :4 3 21 1=24种 )(3)120(可分相同 ,相同 ,都不同3 类 )(4)420(分 A、C 相同与 A、C 不同 )(5)(2, 2)(6)540六、列方程求解问题例 6: (1)解 :设胜 x 场 ,平 y 场 ,负 z 场 ,则 z=15 x y,Q 3xy33, y 33 3x 0,x11x10x9

19、x11,又 x y 15y0 或y3 或y6共 3种z4z2z0(2) 解: 设买软件x 个 ,磁带 y 个x3时, y可取 2,3,460x70 y500x4时, y可取 2,3则x3x5时, y2y2x6时, y2共7种买法.(3) 解 : C44C43C16C42 C62115种设取出红球x 个,白球 y 个 ,则 2xy 7又 2x4,0y6x2 或 x3 或 x4y3y2y1C42 C63C43C62C44 C61186种(4) 解: 由已知 Am2n An262n311 (m1)0m2m2m620又 mz1m8经检验只有m2 成立.n15七、选人问题例 7: 解 :(1)36(2)

20、126(3)378(4)666(5)756例 8: 解 :(1)185(以 4个只会印刷工人被选中人数分类标准分3类 ,C44C74C43C21C64C42C22C54185(2)60 种(3)10( 分以下 3 种类型 )111111221 个223 个226 个333333(4)152( 分 4 类,有 0无9,有9无0,无0无9,有0有 9)(5)180(6)240( 以甲、乙两个被选中人数为分类标准)(7)66( 开展式中项为xmnxl ,(, ,)则 mn l10,若 m0, 则 n,l有11种取ym nl z法 ,m= 1 ,n,l 有 10种取法 , m =10,n ,l 有 1种取法 . 1+2+3+11=66.)