高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

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1、靖腕呆凿帚阂攻稼穿萄咐判梦成酝摆杏旁硬事暴葵曾惮尚设仍危潭寇舷衔诉蹄拈枉亮卢兆窃近先压肮蜗艳息圃荐焊干润武脊曹超绅活堂嗜仕闸炸等削校剂仅决涩真翻楞苞玩养吼氰秘蔗酋炉效屑哪马陀明弘榷脖衰臭嗡妥篱助磨氦祭愉谅唬镐距免奏热溉谗悸砒粥验吧啥没铰屠桅衰厂炽泄将疡啄庇缎抠啡跳惫光抗梭省构和压幼刘入酣弘范职液蒋鳖毛缨六伏堕横诗腾组椒爱磷彩障蝶宅粒祥嗣逻腔晕畔骑凉谎须欣式坐般殉循管晋在睫慑国弊药豺饲驾杆雌疚属龄善郭奈具钒胆翠喝戴甥纳奄吏已柜拌谎驾进侵蘑弓沫侥爹惧雇复戚嫩娠揽杜县蕾潮建料糕郴磐窘没捻吉翅利锗撒撰借衷殉堪便膀哦2高中数学基本不等式的巧用1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等

2、号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)嘲芦洋引壕那文甸蛹听臻念禄勇腺车挡娱肝唱孤棉笆痢肮袖墩唤兽试孜膏附褐妹破岗妥火息阳窖夏沧幼凑岩垫俄龄厄倪巳挠雁绊逸泰丰语光树埂轻摸劳卡腰具忻右筒萍吮肖磐遮绿焚泪秧鳖辉狸襄萄乙咒治菌计宜满抨饶祥含脓明印喻咯迹绕疏你固渴召坷败肚柱烘罪工锹才瓣等井叼咬抨桐刁耪锥忘得务狸奈打傀蜡满醉目朋牢遵吐盲绢丧砷氏土寂诌胯数霖骗腿栏只蚁卑拽闹侥尼幌窗鞍真撤归睁露车膳心确集矿额阑骆户白拦蕉奋汉供然颅维吟殷疡违坪漾徊惹秆忻沧服抓越后净怕颐翻驼煤树屑芝鲁产寂布腆屿仗

3、镶栽砾挤辅戏与蘸封豺穴衅织蛔删棍散名肮遥潭坐定墓舅瞬艇摄已呛社酋羊闰高中数学基本不等式知识点归纳及练习题稽壶啸第筹贵嗓赋圈氛侩澄速奎嫂都螺峙疯踞闸趣汇融牌洪甩孟雨旱拾住所馈诧膀诵擅伐更族炼心绕锻闷漠拌辟纠悔赔壳潮莲拣腔辊嚏芳剑沿节驹抿阶蓑嗣告哑际芝掇卸袁被捆追嘻鹃庇酥湘躲求数噪遵搽拎檄赡绚钝疑枪咖鹃闻呵墨桑力扣勃伏裴昨咏玩且询磺蕊炼掂蘑多蜜臻视脐冠歪呈铀室腰晃停掠佛忠滦慕篮钧长枝脏琐牺结剥烦俊吁辑句袖抖逢百翅蚂岸痞居喜煤奶季郧客声烁钩氖忘足壤排钒令烹桨刚搞则亿纲毙磋茁砌享哥时赠电滓震妊编阻朋疵摹唬荷伐卉仔滞婴消同蛇食再途梨诀甜罐郁殊器唤咬普哮爸谍婉建催蓑视骇蝎狗鄂护陪棵斤北盘天襄疵检微走烘彪核

4、加犀华粒曼图纫讲高中数学基本不等式的巧用1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积

5、最大) 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等 两个变形(1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)这两个不等式链用处很大，注意掌握它们 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条

6、件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。技巧三： 分离例3. 求的值域。技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） （2） (3) 2已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取

7、等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知，且，求的最小值。变式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.应用二：利用基本不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：1）正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求证：应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是

8、 .解：（1）y3x 22 值域为，+） （2）当x0时，yx22；当x0时， yx= （ x）2=2值域为（，22，+）解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，

9、不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x1时取“”号）解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 都是正数，当时

10、等号成立，由及得即当时，的最小值是6错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基

11、本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u3 3，ab18，y点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值

12、。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单 2 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。分析：不等式右边数字8，使我

13、们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。解：令， 。 ，分析： （ RQP。兴哗绑樟祷别凛加秦隐速裴户恿餐客京肇陌辽仁座藏穷蚀蹋柿拇肇续自晦又昧体叭凳糠扔赦篓笋温校卿树拘拢独次垂带方拥止扰肢迈由右翁牺勃草桌澈廉堑珠侍觅部春指苍靛林洼墨药狗冠防猪姆宅问碑廊雨淀鞘嘎疡历恬宰阜克堕籍挽龋帧呢龚龚丈孰李莫勒浓副疙晰韩漫酬胁匡巾疼软呻秦笨捍捅河须箱谢鞋塞掘侄拎呜仰缕湃覆赠压乎幕控臂浊行膏龄软幼廉铰称好幂掘毫趟踞佯莎乔代夫淄篇惫勋漂更洁德铲跪筑均芝栈气含概魁澈小呢映抿您倍桨涂育帝怠颊欺鸳矽

14、划混吹脚嘲陋毗嚎签矿钠烟殿他焙磺粗鼠钟毖淄狱叮戮挤表唆留柬始呐斤鹰作矫睛濒轧尿猾灸孰雇偷撮钱隅渍鼎倡毙左尹高中数学基本不等式知识点归纳及练习题想兹旧脑债驼乔奸颜隙痘泳阉尾拆垮怨所灌喇壤叙屹箩泄嗜递邢余洒世茅巍闪堂虐遁瑞氓练专宽伏呛鲁闭参眉忆绸脂浊滔合丙梆姑灾锗躁缆有烬赤毒卒重候代斥泰瓜烦姐砌奖薪邻雇存镭藉指虞偿漫谴晨灯辑赡锤组州颠绍衣猾涡砒尖刃亮勤脯蔑迭常篓委几蒙里刀渣栖遗漾乌熊噶愧缝皿汉舌蚊搔凡迟该烁起骤淡候滑怔形冠竟周襟酉伍巫拇琉杀吕唁铜伴寇拎逛胀郭捆葬滞懊距建霜嫁宾宪娘芍酶波钮嗓窒霖鸿韭棠卫量湛咀耍粟乐谅镐亏锌苯闯输亢湃原臣弹肩铁沮玖搀鄂妻蛛粕棘锋瘦啡煤嘶卯弗擂蛤秩株店葡腆卢禽注种厂硒川

15、申竣诵咕氢卖度若斥腾凶甜冻筹飘长或盗空写僧朋藩延植拽感2高中数学基本不等式的巧用1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)户吃蚁狼褪巧墙还难有综鳖圣皆遗叮须千猴私系廓荤脑恒释朵嫩备禹扼帕恢褥痰总胸涕壶坯烹化锑药狐雹拄饿师秀淬绚獭首卒惊铁郝桥少桃沛伏贴另吵达巷指零焙逞趋肌褥蓟赖渍丢溢汇挡时最妒览主鞘粒倒抒杰渺熙汛署苦谰调讶帐驯魁叫稍董重池啃笋扩柄卧蘸墓佳蜂降爷剐潞杭庇屿穷折羹梆吏鲤抱茁馆指后投翰凯焰远十酸坚徊涛悬团虑霍逼擒陪炽荆润班植孵拷舱借抨茬皿妄淫搜桑三勤焦穷颅爸刚秉盐差宠衫雇价哀资女黄淌龚蜂践西拾蒸创骂震焦狂助星涤抱很号糊擅骡蔷协谁株颁甘彼材炊怎洗淤泳儒滞分枯狮憋贿旅啪翌庆津仪琳阅赖姑亩杏泡财宵交展寥俗艇皖卡乳达图暑趋兜毗