非平衡态热力学

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1、非平衡态热力学非平衡态热力学 平衡态热力学平衡态热力学 一一、热力学第一定律、热力学第一定律dE = Q W(1) 式中：式中：E：体系的内能；：体系的内能；Q：热量；：热量；W：功。：功。 对于孤立体系，有：对于孤立体系，有：dE=0(E为恒量为恒量) 对于一般体系，因为体系与环境间存在能量的交换，故内对于一般体系，因为体系与环境间存在能量的交换，故内能能E的值是不断变动的，体系内能的变化可以分为两项：的值是不断变动的，体系内能的变化可以分为两项： diE：体系内部过程所引起的内能变化；：体系内部过程所引起的内能变化； deE：与环境的交换引起的内能变化。：与环境的交换引起的内能变化。 而而

2、diE相当于孤立体系的内能的变化，由热力学第一定律，相当于孤立体系的内能的变化，由热力学第一定律，孤立体系的内能是恒定的：孤立体系的内能是恒定的： diE 0(2) 热力学第一定律可以更一般地表述为：热力学第一定律可以更一般地表述为： diE=0 deE=dE= Q W (3) 二、热力学第二定律二、热力学第二定律 与对内能的处理相类似，将体系的熵变分为两部分：与对内能的处理相类似，将体系的熵变分为两部分： dS=diSdeS(4) diS:体系内部的熵变；体系内部的熵变； deS:因熵流引起的体系的熵变。因熵流引起的体系的熵变。 diS相当于孤立体系的熵变，由热力学第二定律：相当于孤立体系的

3、熵变，由热力学第二定律： diS 0(5) deS为体系与环境所交换的熵，其符号可正，可负，可为零。为体系与环境所交换的熵，其符号可正，可负，可为零。 过程的耦合：过程的耦合： 熵是一个广度性质，若将一个体系划分为几个部分，则体熵是一个广度性质，若将一个体系划分为几个部分，则体系的总熵应为各部分熵变的总和：系的总熵应为各部分熵变的总和： diS= (diS)j (6) 若把每个小部分视为一个小的体系，其内部的熵变均不会若把每个小部分视为一个小的体系，其内部的熵变均不会小于零：小于零： (diS)j 0 故对于任何体系，不论将体系如何划分，均不可能出现下故对于任何体系，不论将体系如何划分，均不可

4、能出现下列情况：列情况： (diS)1 0 (diS)2 0 di(S1+S2) 0 即体系的任一局部，其熵的内部变化即体系的任一局部，其熵的内部变化(diS)均遵守熵增定律。均遵守熵增定律。 但是，若同一体系中同时发生两种过程，如两个化学反应，但是，若同一体系中同时发生两种过程，如两个化学反应，各自引起的熵变为各自引起的熵变为diS(1), diS(2)，则下列情况是可能的：，则下列情况是可能的： diS(1) 0 diS(2) 0 diS(1)diS(2) 0 这种情况称为过程的耦合。这种情况称为过程的耦合。 注意：过程的耦合必定发生在同一体系中；注意：过程的耦合必定发生在同一体系中； 或

5、体系的某同一区域内。或体系的某同一区域内。 非平衡态热力学基础非平衡态热力学基础 非平衡态体系状态的描述：非平衡态体系状态的描述： 在经典热力学中，相图中的相点描述的是热力学平衡态，在经典热力学中，相图中的相点描述的是热力学平衡态，非平衡态在相图中无法表示。究其原因：非平衡态在相图中无法表示。究其原因： 平衡态只需要极少数变量就可完全确定其状态，如理想气平衡态只需要极少数变量就可完全确定其状态，如理想气体体: 用用(T,V,N)或或(T,p,V) 就可完全决定确定其平衡态的性质，就可完全决定确定其平衡态的性质，而不可能确定其非平衡态的性质。而不可能确定其非平衡态的性质。 平衡体系平衡体系: 强

6、度性质在体系内部是处处相等的；强度性质在体系内部是处处相等的； 非平衡体系非平衡体系: 至少有一种至少有一种强度性质是处处不相同的。强度性质是处处不相同的。 如：恒温下向真空膨胀的理想气体是一典型的非平衡体系，如：恒温下向真空膨胀的理想气体是一典型的非平衡体系，在膨胀过程中，虽然体系处处的温度相等，但体系中各处在膨胀过程中，虽然体系处处的温度相等，但体系中各处的压力是不相等的。的压力是不相等的。 不能用普适量描述非平衡体系的强度性质。不能用普适量描述非平衡体系的强度性质。 局域平衡假说局域平衡假说 非平衡体系在宏观上一般处于运动和变化之中，体系内部非平衡体系在宏观上一般处于运动和变化之中，体系

7、内部是不均匀的，其强度性质，如是不均匀的，其强度性质，如T，p等，在体系的不同区域等，在体系的不同区域往往具有不同的数值。为了能对非平衡体系的状态给予准往往具有不同的数值。为了能对非平衡体系的状态给予准确地描述，有必要引入以下假设：确地描述，有必要引入以下假设： 对于总体上为非均匀的热力学非平衡体系，若将其分割对于总体上为非均匀的热力学非平衡体系，若将其分割成无数个小的区域，则每个小的区域内的性质成无数个小的区域，则每个小的区域内的性质( (如如T,pT,p等等) )可可以认为是近乎均匀的。假设把某小区域与其周围的体系隔以认为是近乎均匀的。假设把某小区域与其周围的体系隔离开来，在刚隔离开的时刻

8、离开来，在刚隔离开的时刻t t，此小区域仍处于非平衡态，此小区域仍处于非平衡态，但经过极短时间但经过极短时间dtdt之后，这个小区域内的分子便达到平衡分之后，这个小区域内的分子便达到平衡分布，即可认为此区域达到热力学平衡，故可给出此小区域布，即可认为此区域达到热力学平衡，故可给出此小区域的所有热力学函数，并假定这套热力学量可以用来描述此的所有热力学函数，并假定这套热力学量可以用来描述此局域在时刻局域在时刻t t的热力学状态。的热力学状态。 以上所述即为局域平衡假设。以上所述即为局域平衡假设。 局域平衡假设与实际情况是有差距的：被隔离开来的局域局域平衡假设与实际情况是有差距的：被隔离开来的局域虽

9、然很小，但在时刻虽然很小，但在时刻 t 它尚未处于平衡态，只有在它尚未处于平衡态，只有在t+dt 时刻时刻之后，局域才达到内部平衡，此时才能用热力学函数去描之后，局域才达到内部平衡，此时才能用热力学函数去描述其状态。故假设的述其状态。故假设的t+dt 时刻的平衡态和实际的时刻的平衡态和实际的t时刻所具时刻所具有的非平衡态之间一定存在着差距。可以认为：每个局域有的非平衡态之间一定存在着差距。可以认为：每个局域均极其微小，在每一瞬间，局域的分子实际分布情况都非均极其微小，在每一瞬间，局域的分子实际分布情况都非常接近于平衡分布，因此，常接近于平衡分布，因此，t时刻与时刻与t+dt时刻的性质的差别时刻

10、的性质的差别非常微小，以致可以忽略不计。非常微小，以致可以忽略不计。 为了描述非平衡体系的状态，还需假设：由局域平衡假设为了描述非平衡体系的状态，还需假设：由局域平衡假设得到的热力学量，相互之间仍然满足平衡体系状态函数之得到的热力学量，相互之间仍然满足平衡体系状态函数之间的热力学关系，即平衡态的全部热力学方程式与关系式间的热力学关系，即平衡态的全部热力学方程式与关系式对于局域平衡体系同样适用。对于局域平衡体系同样适用。 以上以上 两个假设结合起来，便是局域平衡假说。两个假设结合起来，便是局域平衡假说。 在研究非平衡态的有关规律之前，须找到各种局域热力学在研究非平衡态的有关规律之前，须找到各种局

11、域热力学量之间的定量关系，这是非平衡态热力学的基础。量之间的定量关系，这是非平衡态热力学的基础。 即各种守恒原理和连续性方程。即各种守恒原理和连续性方程。 先介绍无外力场先介绍无外力场, 处于力平衡处于力平衡, 内部无对流存在的各类方程内部无对流存在的各类方程. 一、连续性方程：一、连续性方程： 非平衡体系的热力学函数是时间非平衡体系的热力学函数是时间t 和空间坐标和空间坐标r的函数，若的函数，若认为体系是连续介质，则所有的热力学量对于体系的一切认为体系是连续介质，则所有的热力学量对于体系的一切时、空点均存在并且连续。时、空点均存在并且连续。 体系的广度性质有两种：体系的广度性质有两种： 守恒

12、量守恒量: :自身即不耗散又不产生自身即不耗散又不产生( (如如n,En,E等等) )。 非守恒量：非守恒量：自身会发生变化的量，如体系的熵。自身会发生变化的量，如体系的熵。 守恒量的连续性方程：守恒量的连续性方程： 设设Q是一守恒量，也是一广度性质，设被研究体系的体是一守恒量，也是一广度性质，设被研究体系的体积为积为V，有封闭边界，有封闭边界 . Q在体系中各点的密度用在体系中各点的密度用 表示，表示， 是是t和和r的函数：的函数： = (t, r)(1) 体系的守恒量体系的守恒量Q是是 对整个体系的积分值：对整个体系的积分值： Q(t)= V (t,r) dV(2) 另：另： Q是一守恒量

13、，其变化的唯一途径是通过体系的边界是一守恒量，其变化的唯一途径是通过体系的边界 与环与环境发生交换，在单位时间内，境发生交换，在单位时间内，Q的变化等于流的变化等于流jQ(t,r)对边界对边界面面 的积分：的积分：( , )QdQjt r ddt (3)( , )Qjt r: 体系中某一点具有的流密度体系中某一点具有的流密度 其符号的选取是：其符号的选取是：由体系流向环境的值为正。由体系流向环境的值为正。 由由Gauss定律，封闭边界的面积分等于散度的体积分：定律，封闭边界的面积分等于散度的体积分：( , )QVdQjt r dVdt (4)散度散度div的定义是：的定义是：123AAAdiv

14、AAxyz 123()AAiA jA k 流密度是一个矢量场；散度是一个标量场。流密度是一个矢量场；散度是一个标量场。比较比较(3)式和式和(4)式，式，dQ/dt应该是相等的，故有：应该是相等的，故有：, )( , )QQt rjt rt （(5)(5)式即为守恒量所遵守的一般连续性方程。式即为守恒量所遵守的一般连续性方程。二、质量守恒方程：二、质量守恒方程：体系中各组分的质量的变化途径一般有两种：体系中各组分的质量的变化途径一般有两种：体系与环境间的质量交换；体系与环境间的质量交换；体系内部发生化学变化。体系内部发生化学变化。设：体系有设：体系有l 种组分，其摩尔量分别为：种组分，其摩尔量

15、分别为：n1,n2,nl 组分组分i的摩尔数变化可以表示为：的摩尔数变化可以表示为：iiieidnd nd ndtdtdtiid ndteid ndt: i组分在时刻组分在时刻t,处于处于r处的物质流处的物质流: 化学反应对化学反应对ni变化的贡献变化的贡献1. 因交换过程引起的体系质量变化因交换过程引起的体系质量变化:( , )ij t r : i组分在组分在t时刻具有的物质流时刻具有的物质流. (mol/时间时间.面积面积)如果质量变化采用一般质量的量纲，则有：如果质量变化采用一般质量的量纲，则有：( , )eidj t rdt in(7)()meiiidj Mjdt i(8) : 为具有

16、单位面积单位时间和质量量纲的物质流为具有单位面积单位时间和质量量纲的物质流;mijMi: 组分组分i的分子量。的分子量。 2. 因化学反应引起的体系质量变化：因化学反应引起的体系质量变化：设体系中同时进行着设体系中同时进行着m个独立的化学反应，其中第个独立的化学反应，其中第k个化个化学反应引起的物质流为：学反应引起的物质流为： A, A B, B C, C D, D若化学反应的速率为：若化学反应的速率为： k(mol/t,V)，则体系中因化学反应，则体系中因化学反应所引起的所引起的i 物质的变化为：物质的变化为：,iii kkkd ndt (9)若采用一般的质量量纲：若采用一般的质量量纲： ,

17、()iiiiii kkikdd n MMdtdt (10) 综合交换项和化学反应项，体系总的质量守恒方程为：综合交换项和化学反应项，体系总的质量守恒方程为：或者为或者为(取一般质量单位取一般质量单位):,iii kkkdnjdt (11),miii kkikdjMdt (12) 以上方程式的右边：以上方程式的右边：第一项是交换项；第一项是交换项；第二项是化学反应项。第二项是化学反应项。 三、熵平衡方程：三、熵平衡方程：由热力学的基本方程式：由热力学的基本方程式：TdS=dEpdVidni 考虑单位体积中的熵变考虑单位体积中的熵变:上式中：上式中：s:熵密度；熵密度；e:能密度；能密度；v:单位

18、体积。单位体积。在无外力场和已达机械平衡条件下达，在无外力场和已达机械平衡条件下达，dv=0. 11iiipdsdedvdnTtT(13)在无外力场和达机械力平衡下单位体积中的熵变为：在无外力场和达机械力平衡下单位体积中的熵变为：设体系与外界没有对流产生，即没有质量的交换，又因体系设体系与外界没有对流产生，即没有质量的交换，又因体系与外界已达机械力平衡，故体系与外界也没有功的交换，根与外界已达机械力平衡，故体系与外界也没有功的交换，根据质量守恒原理，在此条件下体系内能变化的唯一途径是热据质量守恒原理，在此条件下体系内能变化的唯一途径是热传导，故有：传导，故有：qdejdt qj：是热流：是热流

19、 数学上有下列公式成立：数学上有下列公式成立： ()uju jj u 将将de/dt和和dni/dt的表达式代入的表达式代入ds/dt中，并注意上式，则有：中，并注意上式，则有：11iiidsdedndtT dtTdt(14),11()qii kkiikdsjjdtTT ,1()qiii kiiiqikii kjjdsjjdtTTTT (16)(16)式为体系内部无粘滞性流动下的熵平衡方程。式为体系内部无粘滞性流动下的熵平衡方程。若体系内部有粘滞性运动，则各类守恒方程和平衡方程要若体系内部有粘滞性运动，则各类守恒方程和平衡方程要复杂得多。复杂得多。可得更一般的恒算方程如下：可得更一般的恒算方程

20、如下：质量守恒方程：质量守恒方程：熵恒算方程为：熵恒算方程为：( , )uu t r: 时刻时刻t在某点，流体体积元的质心速度；在某点，流体体积元的质心速度；Fi 外力场作用于单位质量的第外力场作用于单位质量的第i组分上的作用力；组分上的作用力； : 应力张量。应力张量。,miiii kikkdujMdt (17)11iiiiqiqiiiM FdssujjjjdtTTTTT ,1:i kiki kuTT (18) 从另一角度考虑熵恒算方程：从另一角度考虑熵恒算方程：熵不是守恒量，体系的熵对时间熵不是守恒量，体系的熵对时间t的微商可写成：的微商可写成：式中：式中：S为体系的熵；为体系的熵；s为单

21、位体积的熵密度；为单位体积的熵密度；右边第一项为熵交换项；第二项为熵产生项。右边第一项为熵交换项；第二项为熵产生项。 : 熵流；熵流； ：单位体积熵产生速率：单位体积熵产生速率 sjVVdSdssdVdVdtdttsVj ddV (19)iesVVd Sd SdSdVj ddtdtdt(20) 比较以上两式，有：比较以上两式，有：ssjt (21)将将(21)式与熵平衡方程式与熵平衡方程(18)式相比较，有：式相比较，有：qisiijjsujTT(22),11()():i kiiiiqikii kM FjjuTTTTT (23) 熵产生共含熵产生共含4项，其中：项，其中：第一项与热传导有关；第

22、一项与热传导有关；第二项与扩散过程有关；第二项与扩散过程有关；第三项与粘滞性运动有关；第三项与粘滞性运动有关；第四项与化学反应有关。第四项与化学反应有关。此此4项均可视为项均可视为2个因子的乘积，其中一个代表某个因子的乘积，其中一个代表某一种流一种流；另；另一个因子则代表产生此流的一个因子则代表产生此流的相应的力相应的力。熵产生可以表达为一般的形式：熵产生可以表达为一般的形式：kkkJ X(24)kJ: 第第k种不可逆过程的流种不可逆过程的流; kX: 第第k种不可逆过程的推动力种不可逆过程的推动力. 关于流和力的选择有多种，但选定了某一种表达式后，就不能关于流和力的选择有多种，但选定了某一种

23、表达式后，就不能再变动。而且，在选择流与力的表达式时必须满足下列要再变动。而且，在选择流与力的表达式时必须满足下列要求：求：1. Jk与与Xk的乘积必须具有熵产生的量纲；的乘积必须具有熵产生的量纲；2. 对于确定的体系和一组确定的不可逆过程，流与力的选择对于确定的体系和一组确定的不可逆过程，流与力的选择可以不同，但所求得的熵产生应为不变量，即：可以不同，但所求得的熵产生应为不变量，即：kkkkkkJ XJ X(25)常见不可逆过程的力与流的形式为：常见不可逆过程的力与流的形式为：kJkXij(物质流物质流)iTiiM FT 扩扩 散散qj (热流热流)1T 热热 传传 导导:T(动量流动量流)

24、u 粘滞性流动粘滞性流动k (化学反应流化学反应流), i kikkiAGTTT 化化 学学 反反 应应对于处于非平衡态的开放体系，热力学流与力皆不为零。对于处于非平衡态的开放体系，热力学流与力皆不为零。热力学流因为力的存在而产生热力学流因为力的存在而产生, 故可以认为流是力的函数故可以认为流是力的函数.假定假定这种函数存在且连续这种函数存在且连续, 以平衡态以平衡态(力与流均为零力与流均为零)作为参考点作作为参考点作Taylor展开展开, 对某一单一的不可逆过程对某一单一的不可逆过程,有有:2200002001()()()()2JJJJ XJXXXXXXX00J 00X 0XJLX令：令：L

25、称为称为唯象系数唯象系数2220012JJJXXXX(26)222012JJL XXX(27)如果体系的状态离平衡态不远，则产生流的力很小，如果体系的状态离平衡态不远，则产生流的力很小，即即X很小，上列展开式中的高次项更小以至可以忽很小，上列展开式中的高次项更小以至可以忽略不计，故对于近平衡态的非平衡体系，有：略不计，故对于近平衡态的非平衡体系，有：JLX（28）上式说明，近平衡系统的流与力之间呈线性关系。上式说明，近平衡系统的流与力之间呈线性关系。如：如：热流：热流：q=T 线性非平衡态热力学线性非平衡态热力学一、唯象关系一、唯象关系处于非平衡态的热力学体系，其中发生的不只一种热力学力处于非

26、平衡态的热力学体系，其中发生的不只一种热力学力与流的不可逆过程，往往同时存在多种不可逆过程。这些过与流的不可逆过程，往往同时存在多种不可逆过程。这些过程会相互影响。程会相互影响。一种热力学流不仅仅是产生该流的力的函数，一种热力学流不仅仅是产生该流的力的函数，还是其它热力还是其它热力学力的函数。学力的函数。各种热力学力之间存在相互耦合的关系。一种流各种热力学力之间存在相互耦合的关系。一种流Jk原则上是原则上是体系中各种力体系中各种力 Xi 的函数。故：的函数。故：Jk=Jk Xl l=0,1,2,对上式在平衡态附近作对上式在平衡态附近作Taylor展开：展开：2,0,0012kkkklllmll

27、 mklmJJJJXXX XXXX若所有的不可逆过程都很弱，均接近于平衡态，则上若所有的不可逆过程都很弱，均接近于平衡态，则上式中所有的有关力式中所有的有关力X的高次项都很小，均可以忽略不的高次项都很小，均可以忽略不计，于是有：计，于是有： 唯象系数唯象系数Lk,k关联了力关联了力Xk与其共轭流与其共轭流Jk之间的关系；之间的关系；Lk,l反映了不可逆过程间的交叉耦合效应。反映了不可逆过程间的交叉耦合效应。,kk lllJLX(1),0kk llXJLX令：令：(2) 以上的唯象关系只有在近平衡态时适用。以上的唯象关系只有在近平衡态时适用。以化学反应为例说明此问题，有反应：以化学反应为例说明此

28、问题，有反应：01010202Ck BkKBk Bk12kkBC 令反应达平衡时的浓度分别为令反应达平衡时的浓度分别为B0和和C0，平衡时正、反向反应，平衡时正、反向反应速率相等，故有：速率相等，故有：k1B0=k2C0 C0=B0(k1/k2) 令：令：A rG /12A RTk Bek ClnppQGARTK 12lnlnppKAk BRRTQk C化学反应的净速率为：化学反应的净速率为：v=k1Bk2C/2111(1)(1)A RTk Cvk Bk Bek B体系处于近平衡态时，体系处于近平衡态时， G约等于零，故约等于零，故A也近乎为零也近乎为零, 有：有： ART，即，即x=A/RT

29、0; L220; (L12+L21)2 0; 故要求：故要求：(L12+L21)2 0 L11L22 0 L11 0L22 0 故使二元二次齐次方程正定的条件为：故使二元二次齐次方程正定的条件为： L11 0L22 0 (L12+L21)2 4L11L22 2.空间对称限制空间对称限制 ( Curie原理原理): 居里首先提出物理学上的对称性原理：居里首先提出物理学上的对称性原理： 在各向同性的介质中，宏观原因总比它所产生在各向同性的介质中，宏观原因总比它所产生的效应具有较少的对称元素。的效应具有较少的对称元素。 Prigogine把把Curie对称原理延伸到热力学体系：对称原理延伸到热力学体

30、系： 体系中的热力学力是过程的宏观原因，热力学流是由宏观体系中的热力学力是过程的宏观原因，热力学流是由宏观原因所产生的效应。根据居里原理，热力学力不能比与之原因所产生的效应。根据居里原理，热力学力不能比与之耦合的热力学流具有更强的对称性。耦合的热力学流具有更强的对称性。 简单地可表述为：简单地可表述为： 即力不能比与之耦合的流具有更强的对称性。即力不能比与之耦合的流具有更强的对称性。 空间对称限制原理对非平衡体系中的各不可逆过程之间的空间对称限制原理对非平衡体系中的各不可逆过程之间的耦合效应给出了一定的限制。耦合效应给出了一定的限制。 普里高金认为：非平衡体系中不是所有的不可逆过程之间普里高金

31、认为：非平衡体系中不是所有的不可逆过程之间均能发生耦合，在各向同性的介质中，不同对称特性的流均能发生耦合，在各向同性的介质中，不同对称特性的流与力之间不存在耦合。与力之间不存在耦合。 如：化学反应与扩散或热传导之间不存在耦合。因为化学如：化学反应与扩散或热传导之间不存在耦合。因为化学反应的力反应的力A/T是标量，具有很强的对称性，而扩散和热传是标量，具有很强的对称性，而扩散和热传导是矢量流，矢量流的对称元素比标量的明显要少，所以导是矢量流，矢量流的对称元素比标量的明显要少，所以化学反应与扩散或热传导之间不能发生耦合，即它们的耦化学反应与扩散或热传导之间不能发生耦合，即它们的耦合系数为零。合系数

32、为零。 空间限制也称为空间限制也称为CuriePrigogine原理。原理。 3. 对称性限制对称性限制Onsager倒易关系：倒易关系： 昂色格倒易关系如下式所示：昂色格倒易关系如下式所示： Lkk=Lkk (4) 上式是线性非平衡态热力学最重要的理论基础。它表明线上式是线性非平衡态热力学最重要的理论基础。它表明线性不可逆过程的唯象系数具有对称性。性不可逆过程的唯象系数具有对称性。 此式的物理意义是：此式的物理意义是： 当第当第k个不可逆过程的流个不可逆过程的流Jk受到第受到第k个不可逆过程个不可逆过程的力的力Xk影响的时候，第影响的时候，第k个不可逆过程的流个不可逆过程的流Jk也必也必定受

33、到第定受到第k个不可逆过程的力个不可逆过程的力Xk的影响，并且，这的影响，并且，这种相互影响的种相互影响的耦合系数相等耦合系数相等。 在运用昂色格倒易关系时应注意在运用昂色格倒易关系时应注意力力和和流流的量纲的选择，应的量纲的选择，应使流与力的乘积使流与力的乘积具有熵具有熵S的量纲的量纲。现用化学反应为例说明昂色格倒易关系：现用化学反应为例说明昂色格倒易关系：设有一循环反应，三反应的速率如下：设有一循环反应，三反应的速率如下：v1=k1A-k-1BA1= A- B v2=k2B-k-2CA2= B- C v3=k3C-k-3AA3= C- A k-2 k2 k1 k-1 k3k-3 ACB设体

34、系是封闭的，与环境没有物质的交换，由化学反应所引设体系是封闭的，与环境没有物质的交换，由化学反应所引起的熵产生为：起的熵产生为： = vk(Ak/T)=1/TvkAk =1/Tv1A1+v2A2+v3A3 =1/Tv1A1+v2A2+v3 (-A1-A2)A3=(A1+A2) =1/T(v1-v3)A1+(v2-v3) A2将将A1/T, A2/T视为两个独立的热力学力视为两个独立的热力学力X1和和X2，则相应的流为：，则相应的流为：J1=v1-v3X1=A1/T J2=v2-v3X2=A2/T当体系达平衡时，有：当体系达平衡时，有： A,0= B,0= C,0 A1,0= A2,0= A3,

35、0=0v1,0= v2,0= v3,0 k1A0=k-1B0 k2B0=k-2C0 k3C0=k-3A0 体系实际上处于非平衡态，但根据线性非平衡态的要求，体系体系实际上处于非平衡态，但根据线性非平衡态的要求，体系所处状态偏离平衡态不远。所处状态偏离平衡态不远。设体系三组分的实际浓度分别为：设体系三组分的实际浓度分别为： 01xA01zC01yBA=A0+xB=B0+y且有且有C=C0+z代入反应速率表达式，可得：代入反应速率表达式，可得：v1= k1A-k-1B=k1(A0+x)-k-1(B0+y) = k1A0- k-1B0+ k1x- k-1y = k1xk-1y(k1A0=k-1B0)

36、此循环反应的速率分别为：此循环反应的速率分别为：v1= k1xk-1yv2= k2yk-2zv3= k3zk-3x 由化学亲和势的热力学定义式：由化学亲和势的热力学定义式： A1= A B = A B + A,0+ B,0 A,0 B,0 = A,0 B,0+ AB = AB平衡时：平衡时： A,0= B,0 式中：式中： A,0:体系达平衡时，体系达平衡时，A组分的化学势；组分的化学势； B,0:体系达平衡时，体系达平衡时，B组分的化学势；组分的化学势； C,0:体系达平衡时，体系达平衡时，C组分的化学势；组分的化学势；A= A A,0 B= B B,0 由理想气体化学势的表达式：由理想气体

37、化学势的表达式： i,0= i0+RTln(pi,0/p0) i = i0+RTln(pi/p0)= i0+RTln(pi/p0)(pi,0/pi,0) = i0+RTln(pi/ pi,0)(pi,0/ p0) = i0+RTln(pi,0/ p0)+RTln(pi/ pi,0) = i,0+RTln(pi/ pi,0)代入代入A的化学势表达式：的化学势表达式： A= A,0+RTln(A/A0) = A,0+RTln(A0+x)/A0 = A,0+RTln1+(x/A0)A= A A,0= RTln1+(x/A0)将上式代入化学势的表达式：将上式代入化学势的表达式：A1=AB =RTln(

38、1+x/A0)RTln(1+y/B0)因为：因为：x/A01y/B00, 故熵产生的二阶微商故熵产生的二阶微商大于零大于零. 因此因此, 熵产生具有熵产生具有极小值极小值. 以上结果说明以上结果说明,当体系处于热力学非平衡定态时当体系处于热力学非平衡定态时, 体系的熵产体系的熵产生具有极小值生具有极小值. 此即为此即为: 最小熵增原理最小熵增原理 用变分法可以更一般地证明最小熵增原理：用变分法可以更一般地证明最小熵增原理：,kkk llkkk lJ XL X X,()klk llkVk lVXXdPdVLXXdVdtttt()klklklVXXJJdVtt,kk lllJL X2kkVkXJd

39、Vt l,k均遍历所有的热力学力或流均遍历所有的热力学力或流定态时定态时, 体系中各处的热力学力和流均为定值体系中各处的热力学力和流均为定值, 不再随时间而不再随时间而变化变化, 故有故有:0kXt0dPdtk = 1,2,3,故熵增故熵增P取极值取极值, 即为最小熵增原理即为最小熵增原理1 32PX由最小熵增原理由最小熵增原理: 在热力学线性非平衡态区在热力学线性非平衡态区, 非平非平衡定态是稳定的衡定态是稳定的.见示意图见示意图:1是某定态是某定态, 体系处于体系处于1是稳定的是稳定的.当体系处于点当体系处于点2所示的非稳态时所示的非稳态时, 体系将自动地沿箭头所示的路径体系将自动地沿箭头

40、所示的路径回到定态回到定态1.体系处于非稳定态体系处于非稳定态3时时, 也会自动也会自动地回到定态地回到定态1. 当体系的边界条件不变时当体系的边界条件不变时, 经过充分长的时间之后经过充分长的时间之后, 体系一般会达到某一定态体系一般会达到某一定态, 体系的状态不再随时间体系的状态不再随时间而改变而改变. 一般情况下一般情况下, 体系的定态具有空间不均匀性体系的定态具有空间不均匀性, 即体系即体系各点的热力学函数值随空间坐标的不同而不同各点的热力学函数值随空间坐标的不同而不同. 如如: 在恒定温差下达定态的导热棒在恒定温差下达定态的导热棒. x0 xT1 T2 0 T2 T1 平衡态是定态的

41、特例平衡态是定态的特例. . 体系达平衡态时体系达平衡态时一般具有空间均匀性一般具有空间均匀性, , 如理想气如理想气体达平衡态后体达平衡态后, , 体系的温度体系的温度, , 压力等强度性质都压力等强度性质都处处相等处处相等. . 但当体系受到某种但当体系受到某种外场作用外场作用时时, , 体系达平衡态时体系达平衡态时也会具有某种也会具有某种空间不均匀性空间不均匀性. . 例如例如: : 处于重力场作用下的平衡体系处于重力场作用下的平衡体系, , 其密度其密度的分布将随高度而变化的分布将随高度而变化, , 此变化遵守玻尔兹曼分此变化遵守玻尔兹曼分布律布律. . 又如在外电场作用下的体系又如在

42、外电场作用下的体系, , 即令达到热即令达到热力学平衡态力学平衡态, , 体系内部的电荷分布也不是空间均体系内部的电荷分布也不是空间均匀的匀的. . 最小熵增原理对体系所要求的条件比唯象关系最小熵增原理对体系所要求的条件比唯象关系所要求的条件更严格所要求的条件更严格. 最小熵增原理需要体系满足最小熵增原理需要体系满足Onsager倒易关系倒易关系, 而且要求唯象系数是常数而且要求唯象系数是常数. 对于带有电容的电路或含有记忆特性介质的体对于带有电容的电路或含有记忆特性介质的体系系, 即使力和流之间满足线性关系即使力和流之间满足线性关系, 熵产生对时熵产生对时间的导数也不一定是负的间的导数也不一

43、定是负的, 即最小熵增原理并即最小熵增原理并不一定成立不一定成立. 故在线性非平衡态区间故在线性非平衡态区间, 最小熵增原理并不是最小熵增原理并不是普适的普适的. 耗耗 散散 结结 构构 远离平衡的区域称为非线性非平衡态。进入非线性区，远离平衡的区域称为非线性非平衡态。进入非线性区，的系统的状态有可能返回原来的定态，也有可能继续的系统的状态有可能返回原来的定态，也有可能继续偏离即失稳，而进入到另一较稳定的状态，这取决于偏离即失稳，而进入到另一较稳定的状态，这取决于唯象关系式中非线性项的具体形式，即决定于系统的唯象关系式中非线性项的具体形式，即决定于系统的内部动力学行为。内部动力学行为。 当系统

44、进入非线性区，形成新的稳定状态，在时间和当系统进入非线性区，形成新的稳定状态，在时间和空间结构空间结构( (简称时空结构简称时空结构) )上与原来的定态很不相同。上与原来的定态很不相同。所谓时空结构是指系统的物质或分子、原子等在时间所谓时空结构是指系统的物质或分子、原子等在时间和空间上分布。如果在空间上分布是均匀的，时间不和空间上分布。如果在空间上分布是均匀的，时间不变，这种分布称为无序结构。反之，空间上不均匀，变，这种分布称为无序结构。反之，空间上不均匀，时间上变化的分布，则称为有序结构。时间上变化的分布，则称为有序结构。 典型的非线性非平衡态的热力学系统就是耗散结构。典型的非线性非平衡态的

45、热力学系统就是耗散结构。贝纳德贝纳德(Benard)(Benard)现象现象 贝纳德现象是非平衡物理系统贝纳德现象是非平衡物理系统中发生自组织现象另一个典型中发生自组织现象另一个典型例子。例子。 有二块大的平行板，中间有一有二块大的平行板，中间有一薄层流体，两板的温度分别为薄层流体，两板的温度分别为T1和和T2，当两板的温差超过某，当两板的温差超过某个临界值时，流体的静止的状个临界值时，流体的静止的状态突然被打破，在整个液层内态突然被打破，在整个液层内出现非常有序的对流图案，图出现非常有序的对流图案，图中深色表示流体从上往下流动，中深色表示流体从上往下流动，浅色表示流体从下往上流。这浅色表示流

46、体从下往上流。这是一种空间有序结构。是一种空间有序结构。化学振荡化学振荡B-Z反应反应 前苏联化学家贝洛索夫前苏联化学家贝洛索夫(Belorsov)(Belorsov)在在19581958年发现用年发现用铈离子催化柠檬酸的溴酸氧化反应，控制反应物的铈离子催化柠檬酸的溴酸氧化反应，控制反应物的浓度比例，容器内混合物的颜色会出现周期性变化。浓度比例，容器内混合物的颜色会出现周期性变化。后来查布廷斯基（后来查布廷斯基（ZhabotinskyZhabotinsky）用丙二酸代替柠檬）用丙二酸代替柠檬酸，不仅观察到颜色周期性性变化，还看到反应系酸，不仅观察到颜色周期性性变化，还看到反应系统中形成的漂亮的图案。以上反应通常简称为统中形成的漂亮的图案。以上反应通常简称为B BZ Z反应。反应。 前者是反应系统中某组分的浓度随时间有规则周期前者是反应系统中某组分的浓度随时间有规则周期性变化，称为化学振荡。后者是反应系统中某组分性变化，称为化学振荡。后者是反应系统中某组分在空间上呈周期性分布，称为空间形态现象。如果在空间上呈周期性分布，称为空间形态现象。如果二者同时出现称为时空有序结构，又称为化学波。二者同时出现称为时空有序结构，又称为化学波。