第一章概率论的基本理论

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1、第一章 概率论的基本理论前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，1933年创立概率公理化体系。1. 随机试验例：抛一枚硬币，观察正反面出现情况； ：将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况； ：抛两颗色子，观察出现点数和； ：在一批灯管中任取一只，测试它的寿命； ：将一尺之棰折成三段，观察各段长度； 特点：满足上述特点的试验称之为随机试验，通过随机试验来研究随机现象。2. 样本空间 随机事件一、 样本空间随机试验的所有可能结果组成的集合，称为的样本空间。样本空间通常用或来表示。（见上节）样本空间的元素样本点。二、 随机事件样本空间的子集随机事件（事件），用表示；基本事件，必然事件，不可能事件。事件发生中有一样本

2、点出现。例1、 ：第一次出现 ：三个均出现 三、 事件间关系与事件的运算 1. 事件包含事件 发生导致发生 且。2. 3. 4. 5. 不相容，互斥6. 且互逆，或对立事件 算律同集合论例 设表示三个随机事件： 出现，都不出现 都出现，不出现 三个事件均出现 三个事件至少有一个出现 三个事件均不出现 不多于一个事件出现 或 不多于两个事件出现 or 三个事件至少有两个出现 至少有一个出现,不出现 中恰好有两个出现 3. 频率与概率一、 排列、组合复习1. 不可重复排列（不放回） 2. 可重复排列 (放回) 个不同元素取个（未必不同）组成的排列种数 3. 不可重复组合 4. 乘法原理、加法原理二

3、、 频率1、E, n次，A, 2、性质例1， P8例2， P9可见，逐渐增大-逐渐趋于一个常数-频率稳定性-统计规律性- 概率（事件发生可能性的） -概率定义三、 概率 Probability 1. 定义： 实数满足： （可列可加性）则称为概率，为事件的概率。1. 性质（1） （2） 两两互不相容，则（3） ， （4） （5） （6） 推广： 注意：（1） 性质（2）与（6）的区别； （2） “至少”出现其中一件的概率，详解同（5）。例 已知 求：（1） （2） （3） （4） 又 可得 （5） 得 例 已知，求证：。证明： 又 例 设任意两事件，则 0 解：例 ，则 c-b 解： 小结： 思

4、考：，问 理由？4. 等可能概型（古典概型）考查：抛一颗色子，观察出现的点数 特点：等可能概型设，由于，又若事件包含个基本事件，则例1、 ：将一枚硬币掷三次，观察正反面出现情况。 （1）恰有一次出现正面； （2）至少有一次出现正面； 解：所含基本事件数 所含基本事件数 ，所含基本事件数 注：“至少”的解决 例2、口袋中有6只球，4只白球，2只红球，从袋中任取球两次，每次随机取一只,采取（a）放回抽样；（b）不放回抽样；对两方式求： （1）取到两球均白A； （2）取到两球颜色相同B； (3）取到两球至少有一只白球概率C。 解：（a）放回抽样 中基本元素数：6*6=36 中基本元素数：4*4=16

5、， 设取到的球均红事件为，则且 所含元素2*2=4 ， （b）不放回抽样 例2、 将只球随机放入个盒子中去，试求每个盒子至少有一只球的概率。（设盒子容量不限）。 解： 含基本事件数 含基本事件数 例3、假设每人的生日在一年365天的任一天是等可能的，随机选取个人,求（1）生日不相同的概率；（2）生日至少有两人相同的概率。 解： 取不同值的结果见表 2023304050641000.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997 时， 例4、设有件产品，其中有件次品，今从中任取件，问其中恰有件次品的概率是多少？ 解：指不放回抽样 在件产品中抽取件，所有可能的取法共有；

6、在件产品中取件，所有可能的取法有种，于是，所求概率为超几何分布。 例5、在12000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 解：设“取到的数能被6整除”，“取到的数能被8整除”即求： 由于，即 （6，12，333*6）故 。又由于，故 又 故： 例6、15名新生随机的平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求：（1）每个班级各分配一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配在同一班级的概率。 解：15名新生平均分配到三个班级中去的分法数；（1） 每个班级各分配一名优秀生的分法有种，每个班级各分配一名优秀生的概率；（2） 3名优秀生分配在同一班级的

7、分法有种，3名优秀生分配在同一班级的概率。例7、某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知这12次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？解：假设接待时间是没有规定的，即为等可能概型。12次接待都在周二和周四的概率为很小。所以推断接待时间是有规定的。实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的。补充：几何概型 设平面图形，它的一部分平面图形，若向上任投一点（假设投中图上点的数与该图面积成正比，而与该图形在图上的相对位置无关）。则点投中图形的概率（可以推广到其他几何图形、直线段、立体）。例：将长为1的木棒任意折成三段，求此三段构成三角形的概率。xy1-x-

8、y解：S11则取值构成的样本空间的面积为，要求三段构成三角形必满足： 即： 所以说事件可表示为所对应的图中阴影部分面积为：所以，。例： 在圆周上任取三点，问三角形为锐角三角形的概率？解：如图所设：样本空间可表示为： 为锐角三角形该事件表示为： 的面积 的面积为例：把10本书随机放在书架上，求其中指定的5本放在一起的概率。解： 例：把本书随机给甲、乙两人，问甲、乙各至少得到一本的概率。解：例：（抽签的合理性）设有个人订了张票，其中张甲级票，现让这个人依次各抽一张，在未抽完之前，先抽者不准公布结果，试证明每个人抽得甲级票的概率相等，都为，与先后次序无关。证明：设表示第个人抽得甲级票 5. 条件概率

9、通俗例子：某班有32人，男20人，女12人，选一代表免费旅游，每人的可能性，若现规定只挑选男生，则男生每人有的可能性，女生没有可能。一、 条件概率事件发生的条件下，事件发生的概率，称为条件概率，记为。注：区分与例1、一枚硬币抛两次，观察正反面情况：“至少有一次” “两次同一面”， ， ， ， 而（中三个基本事件，在中只一个基本事件）可见， （思考）一般怎样定义呢？1、定义：设、事件且，称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。2、性质：（1） 对每个事件；（2） ；（3） 设是两两不相容的事件，则有；（4） 条件概率满足3概率的各性质（由知条件概率满足概率定义）。如：例：某动物由出生算起活到2

10、0岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的该动物，问它能活到25以上的概率是多少？解：设 “活到20岁以上” “活到25岁以上” ， ，二、乘法定理： 设，则推广：设、为事件且，则一般地，设为事件，则例：（Polya模型常描述传染病的传染过程）设袋中装有只红球，只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解：设表示“第次取到红球”，则分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为：三、 全概率公式和贝叶斯公式定义：设为试验的样本空间，为的一组事件。若：

11、 （1）； （2），则称为样本空间的一个划分。若是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件中必有一个且仅有一个发生。例： 定理（全概率公式）：设试验的样本空间为，为的事件，为的一个划分，且，则 称为全概率公式。证明：（由原因推结果）由假设且则定理（贝叶斯公式）：设试验的样本空间为，为的事件，为的一个划分，且，则，称为贝叶斯（Bayes）公式.证明：（由结果找原因） 例：某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供晶体管的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，（

12、1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。解：设“取到的是一只次品”，“取到的产品是第家工厂提供的”易知，是样本空间的一个划分，且，。（1） 由全概率公式：；（2） 由贝叶斯公式：，。以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大。例：设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份：（1）先抽到的一份是女生的概率；（2）已知取到的第一个地区的报名表的条件下，后抽

13、到一份是男生的概率；（3）已知后抽到的一份是男生表，问先抽到的一份是女生表的概率。解：设 则 （1）；（2）；（3） 求定义！例：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？解：设“产品合格”，“机器调整良好”已知 ， 先验概率；后验概率。6. 独立性例：掷两枚色子，观察出现点数： 甲出现6点； 乙出现6点 含个元素， ， ，定义：设、两事件，若，则称与为相互独立的事件。注：（1）、独立与，与，与也相互独立（4对中有一对

14、独立，则另外3对也独立）。 （2）若，则与独立和与不相容不能同时成立。（由独立和不相容的定义）。定理：设、两事件，且，则、相互独立定义：设、三事件，注：两两独立 相互独立。110101011000例：四张卡片任取一张，“取到的卡片第位上数字是1”， ，可见两两独立，但不相互独立。推广：相互独立是指：，有。注：实际应用中，独立性往往不根据定义判断，而据实际意义判断（这需注意）。例：设，试问：（1）若互不相容， （2）若相互独立，解：（1） （2）例：甲、乙、丙三人同时对飞机进射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，

15、若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：设飞机被人击中， 分别代表甲击中、乙击中、丙击中，飞机被击落 小结：例：如果一危险情况发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解：设分别表示开关闭合可靠性为记表示第个不能闭合，则若记系统失败为时有此时系

16、统可靠性为 令 则得 ，即至少三个开关关联。planning, and government financing, and whole village relocation, and first built Hou split of principles, insisted big community planning, and large district transformation, break administrative divisions boundaries, optimization town spatial structure, speed up new Community

17、construction, formed new community live building, and intensive with ground project, and enterprise tax insurance running, and Expand employment and improve peoples livelihood shed changed economic chain. The second, on poverty relief and development work in this battle the mission objectives for po

18、verty alleviation in the file are already quite clear, was the previous two years (2016-2017) concentrated hard, three years after (2018-2020), consolidation and improvement, by the end of 2017, the County . . A poor village and . . Library district all pick hat and five-ten, . . All the rural poor

19、out of poverty, stability to achieve two worry about three. To accomplish these tasks, win the battle for poverty alleviation, the key is to find out the way, selecting the right breakthrough, effectiveness in order to work on. (A) to accurately identify objects for poverty alleviation. XI General Secretary noted that the critical time of poverty lies in precision. How to do accurate? first task is to do basic work solid. Total demand is down to village, household, persons, County, town, and village books, card17