高等数学B：3.5有理函数的积分

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1、3 3. .2 2. .5 5 有有理理函函数数的的不不定定积积分分 一一、有有理理函函数数 mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR 122110122110)()()()(xR叫叫有有理理函函数数，它它是是两两个个实实系系数数多多项项式式之之商商所所表表 示示的的函函数数。其其中中m, n是是非非负负整整数数，)( )(xQxP与与互互质质。 例例如如：32 xx，33)1(1 xxx，12124 xxx都都是是有有理理函函数数。 1 1. .有有理理函函数数的的分分类类)(xR按按分分子子与与分分母母的的最最高高次次幂幂 nm 与与的的不不同同情情况况可可分分

2、为为： （1）当当mn 时时，)(xR称称为为真真分分式式； （2）当当mn 时时，)(xR称称为为假假分分式式。 若若)(xR是是假假分分式式，可可把把它它化化为为多多项项式式与与真真分分式式之之和和。 例例如如 6531659242223 xxxxxxxxx。 2 2把真分式分解为部分分式把真分式分解为部分分式设设)()(xQxP为为真真分分式式。 （1）分分母母)(xQ中中若若有有因因式式kax)( ，则则分分解解后后 有有下下列列 k 个个部部分分分分式式之之和和： 特特别别地地，当当1 k时时，则则分分解解后后有有axA 。 ,)()(221kkaxAaxAaxA 其其中中 , ,2

3、1kAAA都都是是常常数数。 kkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()( 22222211特特别别地地，当当1 k时时，则则分分解解后后有有qPxxNMx 2。 （2）分分母母)(xQ中中若若有有因因式式kqpxx)(2 ，其其中中 042 qp，则则分分解解后后有有下下列列 K 个个部部分分分分式式之之和和： 其中其中 , ,21kMMM； , ,21kNNN都是常数。都是常数。 例例如如真真分分式式22322)32()2)(1(13 xxxxxx的的分分母母中中 含有含有2x，)1( x，3)2( x，22)32( xx， 故故其其分分解解式式为为下下列列八八个个部部分分分分

4、式式之之和和： 332211221)2()2(21 xCxCxCxBxAxA2222211)32(32 xxExDxxExD例例 1求求dxxxx 6532 解：解：23)2)(3(3 )04( 65322 xBxAxxxqpxxx， ,)2)(3()3()2( 6532 xxxBxAxxx),3()2(3 xBxAx下下 面面 用用 两两 种种 方方 法法 确确 定定 系系 数数 BA 和和。 （1）赋值法赋值法 令令2 x，得得B 5，5 B， 令令3 x，得，得A 6，6 A。 （2 2）比较法比较法 ,32)()3()2(3BAxBAxBxAx 563321 BABABA2536 65

5、32 xxxxx dxxxx6532 Cxx 2ln53ln6 dxxx)2536( .)2()3(ln56Cxx 例例 2 2求求 dxxx2)1(1 解：解：22)1(1)1(1 xCxBxAxx， ,)1()1(12CxxBxxA 令令1 x，1 C， 比比较较2x项项的的系系数数：0 BA，1 B。 22)1(1111)1(1 xxxxx， .111ln)1(1111)1(122Cxxxdxxxxdxxx 令令0 x，1 A， 例例 3 3求求 dxxxxx)22)(2(22 解解：22)2()22)(2(222 xxCBxxAxxxx， )2)()22(22 xCBxxxAx， 令令

6、0 x，)(20CA ，2 C； 比比较较2x的的系系数数，1 BA，1 B。 22222)22)(2(222 xxxxxxxx， 令令2 x，A24 ，2 A； dxxxxxdxxxxx)22222()22)(2(222 dxxxdxxxxx 2212222212ln222 22221)1()1(22)22(212ln2xxdxxxxdxCxxxx )1arctan(22ln212ln22.)1arctan(22)2(ln22Cxxxx 3 3有理函数的积分步骤：有理函数的积分步骤： 若若有有理理函函数数)(xR是是假假分分式式，则则通通过过除除法法将将)(xR化化为为 多多项项式式与与真真

7、分分式式之之和和，否否则则可可省省去去这这一一步步。 将真分式分解为部分分式之和。将真分式分解为部分分式之和。 求多项式和各部分分式的积分，再相加即得所求之有求多项式和各部分分式的积分，再相加即得所求之有 理函数的积分。理函数的积分。 有理函数的积分是积分学中解决得最完善、最彻底的部分。有理函数的积分是积分学中解决得最完善、最彻底的部分。 真分式的积分可以变换成部分分式的积分，而部分分式的真分式的积分可以变换成部分分式的积分，而部分分式的 积分可以归结为以下四种类型的积分：积分可以归结为以下四种类型的积分： ( (1 1) )dxaxA ； ( (2 2) )1( )( ndxaxAn； (

8、(3 3) )04( 22 qpdxqpxxNMx； ( (4 4) )041( )(22 q, pndxqpxxNMxn。 前面三种积分都比较容易，已在上面例题中介绍了它们前面三种积分都比较容易，已在上面例题中介绍了它们 的的解解法法，最最后后一一种种积积分分方方法法较较繁繁，可可查查阅阅积积分分表表中中的的公公式式，这里不再讨论它的解法。这里不再讨论它的解法。 上面介绍的是有理函数积分的常规方法，在具体解题时，上面介绍的是有理函数积分的常规方法，在具体解题时， 应优先考虑其他简便方法。应优先考虑其他简便方法。 dxxx 202)1( Ctttdtttt 171819181920171911

9、91)121(.)1(171)1(91)1(191171819Cxxx dttttdtttdtdxtx20220221)1( ,1令令例例4. 求下列积分：求下列积分：.8ln318)8(31333Cxxxd dxxx 832 )1(527dxxx cossin 97dttt )(tantan sectan 727ttdtdtt Ct 8tan81.)1(81)1(8142882CxxCxx 1x21 x t cos)(cossin sin 527tdttttx 二二、三三角角函函数数有有理理式式的的积积分分 由常数和三角函数经过有限次四则运算所得到的函数称由常数和三角函数经过有限次四则运算所

10、得到的函数称 2 2半半角角代代换换法法 令令tx 2tan，则，则txarctan2 ，dttdx212 ， 212sinttx ， 2211costtx ， 为为三三角角函函数数有有理理式式，可可用用)cos ,(sinxxR表表示示。 dttttttRdxxxR222212)11 ,12()cos ,(sin。 1 1三角函数有理式三角函数有理式 dxxxR)cos ,(sin可可用用半半角角代代换换法法化化为为有有理理函函数数的的积积分分。 例例 5 5求求dxxxx 1cossincot 解解：令令tx 2tan，则则dttdx212 ，212sinttx ， dxxxx 1coss

11、incotdtttttttt22222121111221 t121 dtdtdttt 21.2tan 2tan ln21 ln21CxxCtt ,21cot ,11cos222ttxttx 例例 6 6求求dxx cos21 dxxcos21dttdtttt2222312121121 .32tanarctan323arctan32CxCt 解解：令令tx 2tan，则则dttdx212 ，2211costtx ， （2 2）dxxx sin1sin xdxdxxxdxxxx 222tancossincos)sin1(sinCxxxdxxdxxx tansec)1(sectansec2 ).)2

12、tanarctan(21)(tan)2(tan12Cxxdx 尽管半角代换在理论上很重要尽管半角代换在理论上很重要, ,但是计算量较大但是计算量较大, ,并不简便。并不简便。 例例7求下列不定积分求下列不定积分（3 3）dxxx cos2sin3 解解： )(coscos2)cos1(cos2sin23xdxxdxxx dtttdttttx 2121 cos 22令令Ctttdtttdttt 2ln3221)232(23422.cos2ln3cos2cos212Cxxx 对对初初等等函函数数来来说说，在在其其定定义义区区间间上上它它的的原原函函数数一一定定存存在在， 但但有有些些原原函函数数不

13、不一一定定是是初初等等函函数数，例例如如： dxex2， dxxxsin， xdxln， dxx 31， dxx )sin(2 ， )10(sin12kdxxk，dxx 411等。等。 我们称这些积分是“我们称这些积分是“积不出来的积不出来的” 。” 。 有理函数的不定积分是可以积出来的，即有理函数的有理函数的不定积分是可以积出来的，即有理函数的 原函数都是初等函数，其原函数是有理函数、对数函数、原函数都是初等函数，其原函数是有理函数、对数函数、 反正切函数。反正切函数。 作作 业业 习习 题题 七七 （P174P174）1 1（1 1）（）（2 2）（）（3 3）（）（5 5）；）； 2 2 ；3 3 ；4 4 ；5 5 （2 2）（）（4 4）；）；6 6（1 1）。）。