18连续性间断点

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1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点 第一章 引言 微积分以函数为主要研究对象微积分以函数为主要研究对象,在研究实际问题中在研究实际问题中,所遇到的函数是有许多性质的。通过对这些性质的研所遇到的函数是有许多性质的。通过对这些性质的研究究,使我们不难得出对实践很有指导意义的结果来使我们不难得出对实践很有指导意义的结果来,比如比如从希望变量有确定趋势出发从希望变量有确定趋势出发,我们研究了函数的极限。我们研究了函数的极限。并假定我们研究的函数是有极限的函数并假定我们研究的函数是有极限的函数,有极限的函数有极限的函数已经是一类特殊

2、的函数了已经是一类特殊的函数了.然而不论从理论上然而不论从理论上,还是应用还是应用上来考虑上来考虑,都有必要引进一类具有更好性质的函数都有必要引进一类具有更好性质的函数,即所即所谓连续函数。其实在整个课程中谓连续函数。其实在整个课程中,我们研究的函数我们研究的函数,基本基本上是连续函数。上是连续函数。 自然界中许多现象自然界中许多现象,如气温的变化如气温的变化,河水的流动河水的流动,植物植物的生长等的生长等,都是连续变化的都是连续变化的,这种现象在函数关系上的反这种现象在函数关系上的反映映,就是函数的连续性。就是函数的连续性。一、函数的连续性一、函数的连续性1.1.函数的增量函数的增量.,),

3、(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 变量的改变量变量的改变量又叫增量又叫增量2.连续的定义连续的定义定义定义2.)(xfy 在在0 x的的某邻域内有定义某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf设函数设函数且且注：注：若记若记0,xxx 则则 0,yf xf x 连续的定义可改写为：连续的定义可改写为：0li

4、m0,xy 定义定义1.)(xfy 在在0 x的的某邻域内有定义某邻域内有定义 , 则称函数则称函数.)(0连续在xxf设函数设函数如果如果称称0 x为函数为函数 的连续点。的连续点。( )f x可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;注：注： 00lim,xxf xf x0,0,（1）连续的定义为）连续的定义为0lim0,xy （2）由于）由于 当函数当函数00lim,xxxx)(x

5、f在点在点0 x连续连续,即即表明连续函数的符号与极限符号可以交换；表明连续函数的符号与极限符号可以交换；有有 00lim(lim ),xxxxf xfx 表明连续函数的特表明连续函数的特点是当自变量的变化很微小时点是当自变量的变化很微小时,函数的变化也很微函数的变化也很微小。小。（3）连续的）连续的 定义：定义：当当0 xx时，时，0( )().f xf x恒有恒有 00limxfxfxx ;0左左连连续续在在称称xxf即即的的函函数数值值如如果果左左极极限限值值等等于于该该点点左左连连续续,:3、单侧连续、单侧连续处处在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数定理定理00)()(:xxfxx

6、f 00limxfxfxx ;0右右连连续续在在称称xxf即即的的函函数数值值如如果果右右极极限限值值等等于于该该点点右右连连续续,:.既左连续也右连续既左连续也右连续continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若若)(xf在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 .例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.只要只要,0)(0 x

7、Q都有都有)()(lim00 xRxRxx 在开区间内点点连续的函数在开区间内点点连续的函数, ,且在区间的左端点右连且在区间的左端点右连续续, ,在右端点左连续在右端点左连续, ,称为在称为在闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数; ;注：注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .例例1. 证明函数证明函数xysin在在),(内连续内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即即0lim0yx这说明这说明xysin在在),(内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数x

8、ycos在在),(内连续内连续 .0例例2. 设设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa)(xf为为连续函数连续函数.例例3.2,| 1,( )1,| 1,axbxxf xxx 解解:211lim( )limxxf xaxbxab111lim( )lim1xxf xx1:x (1)1abf 211lim( )limxxf xaxbxab111lim( )lim1xxf xx 1:x ( 1)1abf 0,1ab当当a,b取何值时取何值时,函数函数连续？连续？在在在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数

9、)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x下列情形下列情形这样的点这样的点0 x之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一

10、个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .例例4.01,2,( )11,1,1,xxf xxxxoxy112xy 1xy2 解解:, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 1.为为函函数数的的可可去去间间断断点点x注意注意: : 可去间断点只要可去间断点只要改变或者补充改变或者补充间断处函数的间断处函数的定义定义, ,则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .讨论函数讨论函数在在

11、x=1 1处的连续性。处的连续性。如例如例4中中, ,令令(1)2,f2,01,( )1,1,xxf xxxoxy112在在x=1 1处连续。处连续。例例5. 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 2xf0 x第一

12、类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式思考与练习思考与练习P65 题题5 提示提示:xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有理点x,1无理点x,1)()3(xf有理点x,x无理点x,x 作业作业 P64 3 ; 4 xyo11xyo思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又

13、又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.但反之不成立但反之不成立. .例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续一、一、 填空题：填空题：1 1、 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第

14、是第_类间类间断点；在断点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . .2 2、 指出指出)1(22 xxxxy在在0 x是第是第_类间类间断点；在断点；在1 x是第是第_类间断点；在类间断点；在1 x是第是第_类间断点类间断点 . .二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，并画出函数 的图形的图形 . .练练 习习 题题三、三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续函数的定义使它连续 . .1

15、1、 1,31, 1)(xxxxxf在在Rx 上上 . .2 2、 xxxftan)( , ,在在Rx 上上 . .四、四、 讨论函数讨论函数 nnnxxxf2211lim)( 的连续性，若有间断的连续性，若有间断点，判断其类型点，判断其类型 . .五、试确定五、试确定ba,的值的值, ,使使)1)()( xaxbexfx， （1 1）有无穷间断点）有无穷间断点0 x； （2 2）有可去间断点）有可去间断点1 x . .一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2、,2为可去间断点为可去间断点 kx )0( kkx为第二类间断点为第二类间断点. . 0, 12,tan)(1xkkxxxxf ), 2, 1, 0( k, ,练习题答案练习题答案), 2, 1, 0(2, 02,tan)(2 kkxkkxxxxf. .四、四、 1,0, 01,)(xxxxxxf1 x和和1 x为第一类间断点为第一类间断点. .五、五、(1)(1); 1, 0 ba (2) (2)eba , 1. .