微积分试题集

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1、微积分试题集一季、计算下列极限：（每题5分，共10分）4若Xr 0时，.1 kx求由方程xy，ey =ex所确定的曲线y二y（x）在x=0处的切线方程 -1与xsinx是等价无穷小，求常数k的值.5.设 f (x)sin bx2+ xsin xx二 3,x ： 0,x = 0,在x = 0处连续，求a,b的值.xa - -1sin x二、导数与微分：（每题5分，共25分）sin x1设 y 二 X ,求 dy X：4.2!x设 f(x)二.1sin ,xln(1x2)x ： 0,求x 0(x).5.求曲线f(X)35 2=3x3 x的拐点.3三、计算下列各题：(每小题8分，共16分)1.设某商

2、品的价格 P与需求量Q的关系为Q =80_P2,(1) 求P =4时的需求弹性，并说明其经济意义.(2) 求当价格P为何值时，总收益R最大？并求出此时的需求价格弹性Ed.F (x)上2.设 F(x)为 f (x)的原函数，且 f(x)(,已知 F(1)=e2, F(x) 0,求 f (x).Jx(1+x)四、证明题：(每小题5分，共10分)1. 当 x 0 时,证明：(1 x)ln(1 x) arctan x.f (x)2.设f (x)连续且lim8，试证明x = a是f (x)的极小值点xt x a二季、填空题(每小题 4分，本题共20 分)1.函数f(x)1ln(x 2)的定义域是2.若函

3、数f ( X)= xsin 31,xk,x 0，在x = 0处连续，则k =x = 03.曲线y二.x在点(1, 1)处的切线方程是 生(sinx) dx 二.5.微分方程(y 4xy 二y5 sinx的阶数为.二、单项选择题(每小题 4分，本题共20分)1设 f(X 1) = X2 -1，则 f(X)二()A. x(x 1)B . x2c. x(x - 2) d . (x 2)(x -1)2. 若函数f (X)在点xo处可导，则() 是错误的.A .函数f (x)在点Xo处有定义B . lim f (x) = A，但A = f (x0)XoC .函数f (x)在点X0处连续 D .函数f (

4、x)在点X0处可微23. 函数y = (x * 1)在区间(一2,2)是( )A.单调增加B .单调减少C.先增后减D .先减后增4. xf (x)dx =()A. xf(X)- f (x) C B. xf (x) c1C. X2 f (X) C D.(X 1)f (X) C25.下列微分方程中为可分离变量方程的是()A.业=x y ;dxc. = xy sinx； dxD.B.dydx二 xy y;齐 x(y x)三、计算题（本题共 44分，每小题11 分）1.计算极限limx一42x -6x 8x2 -5x 42.设 y = 2x sin 3x，求 dy.3.计算不定积分 xcosxdxe

5、l 亠5ln x生计算定积分.一dx四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为 32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?微积分初步期末试题选(一)1 .填空题(1)函数1f(x)= in口)的定义域是I|2(2) 函数f(X)4 -X的定义域是ln (x+2)2(3) 函数 f (x 2) = x 4x 7，贝u f (x) =(4)若函数f(xTxsiTX 0在x = 0处连续，则k =2(5)函数 f(X 一1) = x -2x，则 f (x) =(6)函数X2 -2x -3x 1的间断点是(7)lim xsin =x_,：:x(8 )若 lim 泄=2，则 k 二x)0 s

6、in kx2. 单项选择题、I Ae +e(1) 设函数y，则该函数是().2A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D 既奇又偶函数(2) 下列函数中为奇函数是().a. xsinx-X eln(x 1 x2)dx x2x).D . x-5 且 x = -4(3)函数yIn(X 5)的定义域为(x +4a. x-5 B . x = -4 C . x -5 且 x = 02(4)设 f(X 1) = X -1，则 f(X)二()2A. X(X 1) B . X2C. x(x -2) d . (x 2)(x -1)(5)当 k =(时，函数f(x)xe 2,k,0在x = 0处连续.x = 0A.

7、 0B. 1 C . 2D . 3(6)当 k =(时，函数f (x)1,在x =0处连续.k,A. 0B . 1 C . 2D . -1x _3(7)函数f (x)二飞的间断点是()x 一 3x + 2c. x=1,x=2,x=3D.无间断点3. 计算题(1)x2 -3x 2lim 2x x2 -4(2)x2 _9x2 -2x -3(3)x2 _6x +8 lim 厂 x 4 x -5x 4微积分初步期末试题选(二)1. 填空题(1)曲线f (x) r.Jx - 1在(1,2)点的切斜率是 (2)曲线f(x) =ex在(0,1)点的切线方程是 .(3)已知f (x) =x3 3x，则 f (

8、3)=(4)已知f (x) =ln x ,则 f (x) =(5)若 f(x) =xe，则 f (0)二2. 单项选择题(1)若 f (x)二 cosx，则f (0) =( ).A. 2B. 1C. -1D. -2(2)设 y = lg2 x，则 dy =().A.丄dx B .丄dx2xxln10D . 1dxx(3)设y = f (x)是可微函数,df (cos2x)二().2f (cos2x)dx b.f (cos2x)sin 2xd2x2f (cos2x)sin 2xdxd . - f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(x)二 sinx - a3，其中 a 是常数，则 f

9、(x)二().2a . cosx 3a b . sinx 6a c . -sinxd . cosx3. 计算题12f3(O 设 y = x ex，求 y .(2)设 y = sin 4x cos x，求 y(3)设 y = e % 1 2，求 y .(4)设 y = x. x ln cosx，求 yx微积分初步期末试题选(三)1. 填空题2(1) 函数y =3(x -1)的单调增加区间是 .2(2) 函数f (x) = ax 1在区间(0, 一)内单调增加，则a应满足.2. 单项选择题2(1) 函数 y =(x 1)2 在区间(-2,2)是()A.单调增加B .单调减少C.先增后减D .先减后

10、增(2) 满足方程f (x) =0的点一定是函数 y = f(x)的( ).A.极值点B.最值点 C .驻点 D.间断点(3) 下列结论中()不正确.A . f (x)在X = X0处连续，则一定在 x0处可微.B . f (x)在X = X0处不连续，则一定在 x0处不可导.C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点一定发生在不可导点上.(4) 下列函数在指定区间(_：,：)上单调增加的是().a . sinxb . exc . x2 d . 3-x3. 应用题(1)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?3(2)用钢板焊接一个容积为 4m

11、 的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？微积分初步期末试题选（四）1. 填空题(1) 若f(x)的一个原函数为inx2，则f(X)二 .(2) 若 f(x)dx 二 sin2x c，则 f (x).(3) 若 fcosxdx =2(4) de =(5) (sin x) dx 二.(6) 若 f(x)dx二F(x) c，则 f(2x-3)dx二.(7) 若 f(x)dx 二F(x) c，则 xf(1x2)dx=1 2(8).(si nxcos2x-x +x)dx=.(9) In(x2 1)dx 二.dx 10 2x(10)

12、._e dx=.2. 单项选择题(1)下列等式成立的是().a. d f(x)dx = f (x)b.f (x)dx = f (x)C. f (x)dx 二 f (x)D. df (x) = f (x)dx(2)以下等式成立的是()A . ln xdx = d(-)xB.sin xdx = d(cosx)c. dx =d.xxDex .d3x3 dx 一ln3(3)xf (x)dx 二()A. xf (x) - f (x) cB.xf (x) cC. x2 f (x) c2D.(x 1)f (x) c（4）下列定积分中积分值为0的是（).-Xi ex_xe_2dx-3c . (x cosx)d

13、x-H(x2 sinx)dxL -n(5)设f (x)是连续的奇函数，则定积分f(x)dx 二()0A. 0B(f (x)dx0.0 f (x)dx D. 2 a f (x)dx(6)下列无穷积分收敛的是()-bea.sinxdxB.dx亠.1c _ ck1 x3计算题D._2x .dx(1)(2x -1)10dx.1sin(2)QdxL x(3)=2 exd . x=2e* cln 220 ex(4 ex)2dx(5)eSdx1 x(6) jxsinxdx微积分初步期末试题选(五)1.填空题1则该曲线的方程已知曲线 y = f (x)在任意点 x处切线的斜率为 ，且曲线过 (4,5)x是(2

14、) 由定积分的几何意义知，.a2 _x2dx=.(3) 微分方程 V = y y(0) =1的特解为.(4)微分方程y 3y =0的通解为(5)微分方程(y )3 4xy二7.y sin x的阶数为2.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中,A. y = x2 + 3B通过点(1,42.y = x + 4)的曲线为().C. y =x22.y =x21下列微分方程中,)是线性微分方程.2.yx Iny.yyxy2 二 ex.y xy =e微分方程y=：0的通解为().y=Cx b . y=x C下列微分方程中为可分离变量方程的是(A.矽dxc.矽dx二 xy sinx ；D.B.)dy

15、 xy y ；dx_(y x)dx三季、选择题(选岀每小题的正确选项，每小题2分，共计10分)11 - lim 2x =。x_0 -(A)-：(B )+二(C) 0(D)不存在X + X2当xt0时，f(x) =的极限为。X3.(A)(C)(A ) 0下列极限存在，则成立的是 f (a +山)一 f (a)limf (a).x 0 一 . xf(x t) -f(X。-t)limt0(B )1(C ) 2(D)(B)不存在=2f (Xo)冋 f(tx)；f(0)=tf(0)(D) lim f(X)-f(a)T a x二 f (a)4.设f (x)有二阶连续导数，且f (0) = o,limof

16、(x)=1,则f 0是f(x)的(A ) 极小值 (B )极大值(C )拐点(D)不是极值点也不是拐点5若f (x) = g (x),则下列各式成立(A) f(x)- (x)=0(B) f(x)- (x)=C(C) df(x)= d (x)(D) f (x)dx - (x)dxdxdx二、填空题(每小题3分，共18分)1.设f (x)在x=0处可导，f(0)=0,且lim丄凹 二一1，那么曲线y = f(x)在原点处的切 t sinx线方程是。2 函数f ( X)= X , 3 - X在区间0，3上满足罗尔定理，则定理中的=。13 设f (x)的一个原函数是,那么f (x)dx =。ln x4

17、设f(x)=xe,那么2阶导函数f (x)在x=点取得极 值。5设某商品的需求量Q是价格p的函数Q =5 -2、P，那么在p = 4的水平上，若价格下降1%，需求量将。_dy_ =dxX 116若 y = f (u),u,且 f (u)：x +1u三、计算题(每小题 6分，共42分)：11、求lim (ln x)1_lnxxe2 Iim【(1x)exxX讥：3、设X-. -时，无穷小量2ax -2x c七求常数a、b、c.4、( dx(x 2) . x 15、In (ex 2)dx6、xcosx , dx sin x7、设函数f(x)具有二阶导数，且f 2)f()=，又 g(x) _f (x)

18、.xx = 0 ，求 g (x)。x = 0四、应用题(8分)1,假设某种商品的需求量 Q是单价P (单位元)的函数：Q=1200-8P;商品的总成本 C是需求量Q的函数:C=2500+5Q(1) 求边际收益函数和边际成本函数；(2) 求使销售利润最大的商品单价。五、(12分)作函数y “匕的图形(x1)六、证明题(每题5分，共计10分)1、设函数f (x)在a,b上连续，且f (x)在(a,b)内是常数，证明f (x)在a,b上的表达式为,f(xAx B,其中A B为常数。2、设函数f (x)在0,=)上可导，且f (x) k 0, f (0) : 0.证明f (x)在(0：)内仅有一个零点

19、。四季一、填空题（每小题 4分，本题共20分）1i函数f（x） .的定义域是2. lim xsin-=XX3.已知 f(x) =2x，则 f ”(x) =4.若 f (x)dx = F (x) c，则 f(2x-3)dx =5.微分方程x （y ）4sin X = exy的阶数是二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）则该函数是（）.a 奇函数 b 偶函数C.非奇非偶函数D 既奇又偶函数x -32函数 f(x) v_3x .2的间断点是（A X = 1, X = 2C x=1, x=2, x=3 d 无间断点3.下列结论中（）正确. f （x）在x二x0处连续，则一定在 x0处可微.函数的极

20、值点一定发生在其驻点上 f （x）在X = x0处不连续，则一定在x0处不可导.D.函数的极值点一定发生在不可导点上4.如果等式f (x)exdx - -ex c，则f(x)B.c. _XX5.下列微分方程中，（）是线性微分方程D.a yx2 cos y = y y y yx = sin xC y xy = ln y三、计算题（本题共 44分，每小题11 分)x -3x 22.设 y = exx，求 dy.3.计算不定积分sin xxdxi4计算定积分/xeb四、应用题（本题16分）3用钢板焊接一个容积为 4m 的底为正方形的无盖水箱， 已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选

21、择，可使总费最低？最低总费是多少？五季、填空题(每小题 4分，本题共20分)11. 函数 f(x)的定义域是 14 X2sin4x2. 右 lim2，则 k =.X- kx3. 已知 f(x) =ln x，贝U f (x) =.4.若 sinxdx 二5.微分方程x0sec x -12x2 2tan x xx=limlim lim 0。x j0 2x x)o 2x x q 24.若Xr 0时，；1 kx2 -1与xsin x是等价无穷小，求常数k的值.解：由于x 0时有一和厂莒x2与xsinxUx2，故心。5.设 f ( x)-x3,x = 0,在x=0处连续，求a,b的值.解：由左连续与右连

22、续分别得3 = lim f (x)二 limX-0 Isin bxxsin x-13 = lim f (x)二 lim - xjxj sin x二 limx7 xax -1 =lim ax ln a = ln a，x )0 所以得a = e3及b = 3。二、导数与微分：（每题5分，共25分）sin x1.设 y 二 X ,求 dyxq2解：两边去对数得ln y =sin xln x，再求导得1二 cosx ln x sin x，整理后得f sin x y = x1cosxln x sin xxz (i n 卫 z2 2当 x =二时有 y=二 |cos 二 I n = +si n 二 丨=1

23、，所以 dyx = dx。2(2丿 J22兀2丿xP2求由方程xy ey = ex所确定的曲线y = y(x)在x=0处的切线方程.解：易知x = 0时有y = 0。求导得y +xy + ey y =ex，将x = y = 0代入则有y：=1，所以切线方程为 y = x。3利用微分近似计算，求3 8.024的近似值.解：令 y = f (x) = 3 x，则f 心 33。x ： 0,求 f (x).x _0取沧=8， =0.024,则有：y = 3 8.024 - 3 8 : dy 二 y dx1沐 0.024 = 0.002，3V8ln (1+x) =limx Q x所以 3 8.024 :

24、 2.002。2 . 1x sin ,x4设 f(X)：Iln(1 x2)解: f_ 0 二 lim f(x)他x=lim xsin0，x ： -xf 0 .空皿i0x2x=lim 0，x旷X所以f (x)2xsi n1 - cos-x05.求曲线解：求导得2x1 x2f 11j2xsi n -cos xv0 =0，即 f (x) =x2x1 x2:05f (x) =3x3的拐点.f(x)3 曦显然，当x = 0时f (x)不存在；当x - -1时f (x) = 0，所以x=0与x -1是潜在拐点。下面考察函数凹凸性的变化，不难看岀X TT x 0f ”(x)f “（X）沁f “(X)0f ”

25、(x)0所以，（0,0）与1,_彳均为曲线的拐点三、计算不定积分：（每题6分，共24分）1.1 sin 2xsin x cosx,sin x +cosx)2 ,cdxdx 二(sin x cosx)dx 二 sin x -cosx C。 sinx+cosx2.x arcta nx1 x2dx=竺1 +x2arctan xdx =丄 In(1 + x2) +1 arctan2 x + C。2 21 x23.2xdx :令 x = sint,J-x2JIx2JI，则2xd = s in 2xdx,1 x cosZXdx =sin2t1 arcsinx x、1 x2 C。22 4224.2 2ln(

26、1 x )dx =xln(1 x )-2x2dx1 x22=xln(1 x )-=xln(1 x ) -2x 2arctan x C四、计算下列各题：（每小题8分，共16分）1.设某商品的价格 P与需求量Q的关系为Q=80 P2,（1）求P =4时的需求弹性，并说明其经济意义.（2） 求当价格P为何值时，总收益R最大？并求出此时的需求价格弹性Ed.解：（1）E-Q -2Pp，故 EdQ 80-P232P0.5，这说明当价格 P = 4时，若价格上80-16涨（下跌）1%，则需求量近似减少（增加）0.5%。叮躬，所以当价格2.（2）我们知道Ed = 1时，总收益R最大。由2P2 =80 - P2

27、解得P =用时总收益最大F (x)-设 F(x)为 f (x)的原函数,且 f (x),已知 F(1) = e2, F(x) 0,求 f (x).Jx(1+x)解：因为F（x） 0,所以给定条件等价于 丿3. ： 1，两边关于x求积分，则F （x）Jx（1 + x）In F(x) =2arctan JX +C，从而 F(x) =Ce2arctan( C 0)。将 FUjueF2代入可得2arcta n xC =1，所以F (x)二e，从而f(x)= F(x)-1e2arctan xjx(1 + x)五、证明题：(每小题5分，共10分)2.当 x 0 时，证明：(1 x)ln(1 x) . ar

28、ctan x.2x证明：令 f(x)=(1 x)l n(1 x)-arcta nx，则 f(x)=l n(1 x)2，当 x_0 时显然有1 + xf (x) _0，并且只有在x = 0时才有f (x) =0，所以f (x)在x _0时为增函数。故当 x 0时有f (x) f (0) = 0，也就是说当 x 0时,(1 x)ln(1x) arctanxf ( x)2.设f (x)连续且lim8，试证明X = a是f(x)的极小值点。x af Yx)证明：由lim8知lim f (x) = 0。又f (x)连续，所以f (a) = 0。根据定义有X ：a x a X jaf (a) =lim f

29、 (x)- f (a)=佃 匸凶 =8 0，由第二充分条件即可知 x = a是f (x)的极小值 t x a x a点。二季、填空题(每小题 4分，本题共20 分)1 (-2, -1) 一(-1,212. 13. yx2-4 sinx c 5 32、单项选择题(每小题4分，本题共20分)1. C2.B3. D4. A5. B三、(本题共44分，每小题11分)1. 解：原式二 lim (x4)(x-2)=血 口 = 211T(x4)(x-1)Tx-132. 解: y2xl n2 3cos3x9分dy=(2xl n2 3cos3x)dx11分3. 解：xcosxdx = xsin x - sinx

30、dx = xsin x cosx c11e1 5ln x dx x17(36-1)=102四、应用题(本题16分)15e 1 2 e1 (1 5lnx)d(1 5lnx) (1 5 x)2111解：设底边的边长为 x，高为h，用材料为y，由已知x2h=32,hx2232y = x 4xh = x 4x 2 x128+x128令y = 2x 20 ,解得x = 4是惟一驻点,x所以当X =4,易知x = 4是函数的极小值点，此时有 32 -2,42h = 2时用料最省.微积分初步期末试题选(一)(1)答案:x 2且x-3.(2)答案：(-2,一1)(-1,2(3)答案：f(x)二2 x3(4)答

31、案：k =1(5)答案：f(x)二2x-1(6)答案：X = -1(7)答案：1(8)答案：k =21 .填空题2.单项选择题(1)答案：B(2)答案：C(3)答案：D(4)答案：C(5)答案：D(6)答案：B(7)答案:3计算题(1) 解:-3x 2x2 -4(x-2)(x-1)(x-2)(x2)= lim 乂-1x 2(2) 解:2小x -9 lim x a x2 _2x _3(x-3)(x3)(x-3)(x 1)=03(x _4)(x _ 2)lim 口x M x 1(3)解：lim 牛3= limxt x -5x+4 xt(x-4)(x-1)微积分初步期末试题选(二)(1)答案：12(

32、2)答案:y = x 1(3)答案：f (x)二 3x2x3 In 3, f (3) =27 (1 In3)(4)答案：1 f (x)1f (X)=xx(5)答案：f (x) = -2exe, f (0H -22.单项选择题(1)答案：C(2)答案：B(3)答案：D(4)答案：C1.填空题3 计算题1 1 一 1 2 1(1) 解:y、2xex x2ex(2)=ex(2x-1)x(2) 解：y =4cos4x 3cos x(sin x)2= 4cos4x-3sinxcos x(3)解：y” = e x1 一 电2j(x+1 x3 -13 -(4)解：y =3x2 ( s inx) =3x2ta

33、 nx2 cosx2微积分初步期末试题选(三)1. 填空题(1) 答案：(1：)(2) 答案：a - 02. 单项选择题(1)答案：D (2)答案：C(3)答案：B(4)答案:3 .应用题解：设底边的边长为 x，高为h，用材料为y，由已知x2h=108,h2 + , 2 +,1082 丄 432y = x 4xh = x 4x 2 xB1082xxx令 y = 2xx2二0，解得x = 6是唯一驻点,且y =22 4323x说明X二6是函数的极小值点，所以当108=3用料最省.解：设水箱的底边长为 x，高为h，表面积为S，且有h 2x22 2 16所以 S(x) = x 4xh = x ,x1

34、6S (x) = 2x - x令S(x) =0，得 *=2，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x =2,h =1时水箱的面积最小此时的费用为S(2)1040 =160 (元)微积分初步期末试题选(四)1.填空题(1)答案：2(2)答案：2cos2xx2(3)答案：sin x c(4)答案：-Xec(5)答案:sin x c(6)答案：1F(2x - 3) c2(7)答案：1 2F(1 -x2) c(8)答案：223(9)答案:0(10)答案：122.单项选择题(1)答案:C(2)答案：D(3)答案：A(4)答案：A(5) 答案：A( 6)答案：D3 计算题1 1(1) 解：(2x

35、_1)10dx(2x_1)10d(2x_1)(2X-1)11 c.1si n_1 11(2) 解：一dx 二一 sin d cos cxx xxvx_(3) =2 jexdVx = 2ex +cx解:ln 2 xx 2ex(4 ex)2dx 二In 2(4 ex)2d(4 ex)1X、3=(4 e )3In 2(5); .1e1 5ln xdx = 1 1 5ln x)d(1 5lnx)x5 1(6)解:10 xexdx 二 xex1exdx = e - ex1二10(7) 解:02xsinxdx =1.填空题(1)答案:答案:2.单项选择题(1)答案：Axcosx# +(1 5ln x)10

36、Logx-sinxR微积分初步期末试题选(五)答案:1 (36 _ 1) = ?10 2答案:答案:J3x二 ce(5)答案：4一、选择题(选出每小题的正确选项,1. C；二、填空题2 D ；(每小题3分,3.B C;18 分)D (3)三季每小题2分，共计4.A;答案：C10分)1.2. 25.B C.4. X=2,极小值上升2%卄Cdydx三、计算题(每小题 6分,42 分):答案:11、求 lim (ln x)1 x1解：令y =(ln x)1止x，则ln厂亠1 ln xIn (In x)x即厂匹百；1n(lnx) xh普=-13分lim y =e413、lim【(1x)ex-xx_:1

37、丄解：原式=lim x(1 )ex 1-X .； ：X1e“21 1 1ex -1 ex=lim 二迎vx1-(e )ln(ex 2) x Cx_.丄X3、设Xr时，无穷小量ax2 -2x c1讥x，求常数a、b、c.解：由岐1=1bx 1得a=0, b=-2 , c取任意实数。4解:dx =(x 2) .X 11 (x 1)卜 x 1dx2 d , x 13 分2 1 (x1)2= *arctg x 1 C5、解In (eX 2)dx 二- In(ex 2)de = -eln(ex 2)1厂dX分.x 亠X2 ex 2dX-eln(ex 2) 1 e x2 e6、解:XCOSX 11,亦dx

38、r xd1-2sin x11-eln(ex 2) x ln(ex 2) C22csc xdx x12_ctgx + C2 si n2x 2f (0) x = 07、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f (0)=0,又g(x) = f (x)求 g (x)解：当x“时,g （x）=xf（x）-f（x）当x=0时，g(O)=IJm2，这时 g (x)连续2分xf (x) - xf (0) =|jm f (x)-f (0)1 x )0x22x匕f（0）亠分Xf (x) -f(X)I所以g (x)=2x1 -f (0), 2=0.四、（8分）假设某种商品的需求量的函数：C=2500+5QQ是单价P （

39、单位元）的函数:Q=1200-8P;商品的总成本C是需求量Q（3）求边际收益函数 MR和边际成本函数MC（4）求使销售利润最大的商品单价。2解：(1)MR =PQ =1200P8P , MC =5:3分(2) 利润函数L(P) =PQ -C - -8P21240P -8500,1分155 令 L(P) =-16P 1240 = 0得 P=,2唯一驻点，又L“(p) - -16 k(a x) a ： x 2分则 f (x) - -kx ka f (a)二 Ax B (其中 A - -k, B = ka f (a)2 分当x=a 时，上式也成立。1 分2、设函数f (x)在0,=)上可导，且f (

40、x) k 0, f (0) : 0.证明f (x)在(0,r)内仅有一个零点。证明：在(0, V)内任取一点X,则f(x)在0，x上满足拉格朗日中值定理条件，f (x) - f (0) = f ( 1)x kx,即f (x) kx f (0),3 分人f (0)口令x10,且f(x1) 0,由f (X)的单调性和零值定理知原命题成立。j 分k四季、填空题（每小题 4分，本题共20 分）11.（皿,5） 2.1 3. 2x（ln2）2 4F（2x 3）+c5. 3、单项选择题（每小题 4分，本题共20分）1. B2. A3. C4. D5. D三、计算题（本题共 44分，每小题11分）1.解：原

41、式11lim (x)(x2)x 】2(x _2)(x2)2.解：y - _2ex 3x292dy =( -2ex 3x2)dx1123.解：jsin二 xdx= 2 Jsin= 2cosV +CJx5.解:12xexdx =2xex-01 x-2 exdx=2e-2e 2=2011分11分四、应用题（本题16分）4解：设水箱的底边长为 x，高为h，表面积为S，且有h 2x2 2 16所以 S（x） = x2 4xh 二 x2,xS （x） = 2x - 芈x令S（x） =0，得 X =2，10因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x = 2,h = 1时水箱的面积最小16分此时的费用

42、为 S（2）1040 =160 （元）五季一、填空题（每小题 4分，本题共20分）11- （一2,2） 2. 2 3-2 4 -cosx C5. 3x二、单项选择题（每小题 4分，本题共20分）1. B2. A3. C4. D5. B三、（本题共44分，每小题11分）1.解:原式 Jim (x-1)(x-2) Jx 忆(x 2)(x2)4112.解:2y =5cos5x 3cos x(_sin x)2二 5cos5x_3sinxcos x113.解:2115.解:(Psin xdx=xcosx0 2 2JT+ - cosxdx =+ sinx2 0 211(1 x) dx= 2 (1 x)2d(1 x) = 2(1. x)3 C四、应用题（本题16分） 解：设土地一边长为x，另一边长为216，共用材料为yx工日c216 c432于是 y =3 x 23x令得唯一驻点x=12（ x=-12舍去）xx10分12，另一边长为18时，所用材料最因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为省.16分3利用微分近似计算，求3 8.024的近似值.xy sin x - y e