异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高

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1、空间角专题复习知识梳理一、异面直线所成的角及求法(1) 定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异 面宜线所成的角.nn(2) 取值范围：若0是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是0W(O, y,当5=3时， 称异面直线a和b垂直，记为a丄b(3) 求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该 三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1)定义：设/和a分别表示直线与平面.若/Ila或/u a,则称直线/和平面a所成的角 为0；若/丄a,则称/与a所成的角为；若/与a相交，则/与/在a内的射影所成的锐角为 直线/与平

2、面a所成的角.取值范围：设疗是直线/与平面a所成的角，则0的取值范围是.(3)求法：定义法：探寻直线/在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线/与平面a 所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角.三、二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成 的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小取值范围：规定二面角的取值范围为0,.(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角 的平面角lh练习提升1.如图， F分别是三棱锥P-ABC的棱切 BC的中点，PC=1

3、09 AB=69 EF=79则异面直线AB与PC 所成的角为()A. 30 B. 45C. 60 D 90答案：C2.已知长方体ABCD-AC.D.中，AB=BC=4, CC】=2,则直线BC】和平面所成的角的正弦值为()A迈B亚几2 2a 5 u io答案：C3.如图，在边长为1的菱形ABCD中，ZABC=6Q,将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=19则二面角B-AC-D的余弦值为()1AiBi答案：A4.在正方体ABCD-AC.D.中，与对角面DDiBiS所成角的大小是()B. 30D. 60A. 15C. 45答案：B5.如图，ABCD-AiBiCt6 是长方体，AAi=a9 ZSAB

4、i= ZSiAiCi=30 ,则 M 与 AiG所成的角为AAi与SiC所成的角为答案6在正方体 ABCD-AtBiCxD!中，(1) 直线ArB与平面ABCD所成的角是；(2) 直线AtB与平面ABC.D,所成的角 :直线AiB与平面ABxCD所成的角是 答案 45（2）30 （3）907. 设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直线所成角的大小 范围为集合R,则P、Q、R的关系为（）A R=P匚 QB RUPUQC. PC RC QD. /?G P=Q答案：B8. 设ABC和ZiDBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a9 ZCBA = ZCBD=

5、 120则AQ与平面BCD 所成角的大小为（）A 30 B 45C. 60 D. 75解析：作&O丄C8交C8的延长线于O,连接OD,则OD即为AD在平面BCD内的射影，ZADQ即为&D与 平面BCD所成的角.9：AO=OD=af:.ZDO=45答案：B9.如图,是圆的直径，垂宜于圆所在的平面,C是圆上一点（不同于人、）且=&C,则二面角P-BC-A 的大小为（）A 60B 30C. 45D. 15答案cio.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，丄平面ABCD,且PA=AD,则平面PAB与平面PCD所 成的二面角的度数为（）A 90 B. 60C. 45 D. 30解析：TAB CD,

6、面B与平面PCD的交线/必为过P点与AB平行的直线.丄平面abcd9丄AB, PA丄CD,又 CD丄AD9DC丄平面PAD,ADCPD,丄/, PD丄/,即ZAPD为所求二面角的平面角，厶PD=45答案:C11. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：AC丄BD：ADC是正三角形；朋与CD成60。角；与平面BCD成60。角.则其中正确结论的个 数是（）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个解析：取 BD 的中点 O,则 BDOCf BD丄OA,得 BD丄平面 AOCt :.BD丄AC,正确；cosDC=cos45 cos450 =扌，ZADC=60t AD=DC, AA

7、DC是正三角形，正确；与CD成60。角，正确；与平面BCD成角Z ABO=45,错误.答案：C12. 如图所示的正方体MCD-XhBiCg中，过顶点8、D、G作截面，贝匸面角B-DC.-C的平面角的余弦值是解析：取CQ的中点O,连接BO、CO,则BO丄C】D, CO丄CQ,A ZBOC是二面角B-DC.-C的平面角.设正方体的棱长为1,则co=，BDCi为正三角形，OB=，且8C=1,OB2+OC2BC2 J3AcosZBOC= 3 答案:申13. 如图，在直三棱柱4BC-A1B1C1中，AB=BC=AA19 ZABC=90点E、F分别是棱AB、的中点则 直线EF和BG所成的角是（）B. 60

8、C. 90 D. 120解析：取虽G的中点G,久虽的中点连结FG、BG、HG、EH9则FG/BCl9且ZEFG或其补角就是所求 的角，利用余弦定理可求得cosZFG=-,故所求角为60。.答案:B14.如图，将RtAABC沿斜边上的高折成120。的二面角C-AD-C9若直角边AB=4晶 AC=4品 则 二面角A-BC-D的正切值为（）A“B.半c.%. 1解析：Zcor =120%过D作DE丄起于5连结 处，则ZAED即为所求.又知AD丄平面BU6 AD=4&,1 1在BUD中，由余弦定理求得BC=4晶 再由面积公式Scd=BC DE=BD CD s D=4, AtanZ4DAD r答案：A点

9、评：考査二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算.如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键. 4115.在矩形ABCD中，AB=39 AD=4, PA丄平面ABC6 PA=*.那么二面角A-BD-P的度数是（）A. 30 B. 45C. 60 D. 75解析：如右图所示，过A作AE丄B6垂足为E,连结，则PE丄BD（三垂线定理），故ZPEA为二面角P-BD-A的平面角亠 A 亠ABAD 12在 RtABAD 中，AE=-=PA /3在中，tanZPA=-, :.ZPEA=3QC.答案：A16.正四棱锥P-ABCD的两个侧面与PCD互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为（）A. 60 B

10、. 90C. 120 D 150解析：如图，作BE丄PC,连结DEVAPDCAPSC, :.DE丄 PCZDEB就是二面角D-PC-B的平面角,0为DB的中点，又面PAB丄面PC6:.po=ab9在 RtZSPOC 中，OC=AB,所以 PC=AB.1返 lAB 2 AB 托:*冷BAB tanZOEB=厂=p3 晋abTi2nZOEB=, ZDEB= 3答案：C17如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为&的等腰三角形，贝匸面角V-AB-C的度数是 答案6018.如图，直角梯形ABCD中，AB/CD, ZDAB=9点M、/V分别在AB, CD上，

11、且MN丄码MC丄CB, BC=29 /WS=4,现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂宜(如图).(1) 求证：平面DNC；(2) 当QN=专时，求二面角D-BC-N的大小解：（1）证明：MB/NC, MBQ平面 DNC. NCu 平面 DA/C, :.MB平面 DNC. 同理 平面 D/VC,又 MACMB=M,且 M/k MBu 平面 MAB.A平面MAB /平面NCOABC平面MAB=平面 DNC.(2)过N作NH丄BC交BC延长线于H, 丁平面 A/WND丄平面 MA/CB, DNMN9 DN丄平面MBCN9从而DH丄BC, ZDHN为二面角D-BC-N的平面角.由

12、 MB=4, BC=2, ZMCB = 9(r知ZMBC=60。,纲=4-2口6。肿=珈60。=单DN由条件知：tan/VHD=-,:.Z/VHD=30.19如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD9 PA=AD=1, AB=29 E. F分别 是AB、PD的中点.(1) 求证：M平面PEC；(2) 求PC与平面ABCD所成的角的正切值；(3) 求二面角P-EC-D的正切值.解：证明：如图，取PC的中点O,连接 OR OE9 则 FO/DC,且 FO=DCf:.FO/AE,又E是A8的中点，且 AB=DCf:.FO=AE.四边形AEOF是平行四边形，:.AF/O

13、E.又Ou平面PEC,AFQ平面 PEC,AF平面 PEC.(2)如图，连接&C,丄平面ABCD, ZPCA是直线PC与平面ABCD所成的角在 RtAFAC 中，1 V5即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为(3)如图，作AM丄CE, 交CE的延长线于M.连接PM,由三垂线定理得PM丄CE, ZPMA是二面角P-EC-D的平面角由可得PA :AanZPMA=二面角P-EC-D的正切值为迄20.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,Z BCD=6Q E是CD的中点，丄底面ABCDf PA=yJi(1) 证明：平面PBE丄平面(2) 求二面角A-BE-P的大小证明 如图所

14、示，连接B0由ABCD是菱形且/ BCD=60。知， BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以丄CD.又 ABII CD,所以丄AB.又因为阳丄平面ABCD,BEu 平面 ABCD,所以阳丄B而 PACAB=A9因此丄平面PAB.又BEu平面PBE9所以平面PBE丄平面PAB.(2)解 由知，BE丄平面PAB, PBu平面所以PB丄BE又丄8耳所以/ PBA是二面角A-BE-P的平面角.RtA PAB 中，tanZ PBA=y(3f 则Z PBA = 6Q.故二面角A-BE-P的大小是60.21.已知平面a外两点A、3到平面a的距离分别为1和2, A. B两点在a内的射影之间距离为品 求直

15、线A8和平面a所成的角.解 如图，当久B位于平面a同侧时，由点XU 3分别向平面a作垂线，垂足分别为Bi,则 i=l, BBi=2, B=羽过点作AH丄B虽于H,则阳和a所成角即为AHAB.(2)如图(2),当久B位于平面a异侧时，经久B分别作dk丄a于A. 丄a于A8g=C,则AiBt为AB在平面a上的射影，Z BCBi或Z ACAt为AB与平面a所成角.: BCBl AC Al,:.誥=筈=2, ： BiC=2CAiDO1盃匸tanZ 85=赢=巫=出BBi 2Z BCB=60。AB与a所成角为60.综合、(2)可知：AB与平面a所成角为30。或60。.22如图，在三棱锥P-ABC中，丄底

16、面ABC, Z BCA = 909点6 E分别在棱PB. PC匕 且DEII BC.求证：BC丄平面“C.(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由证明丄底面ABC,:.阳丄 BC又Z BCA=90:.AC丄 BC又. ACCPA=A,:.BC丄平面PAC.(2)解 DEW BC9又由知，BC丄平面PAC, :. DE丄平面PAC.又AEc平面PAC9 PEc平面PAC,:.DEAE, depe.Z AEP为二面角A-DE-P的平面角: PA丄底面ABC.:.PAAC9 :. Z PAC= 90.在棱PC上存在一点Ef使得丄PC这时Z AEP=30f故存在点E9使得二面角A

17、-DE-P为直二面角.车辆寄售协议甲方：_乙方:根据国家二手车流通管理办法及相关法律、法规规左，在平等自愿基础上，经双方充分协商，现甲方将 以下车辆寄存在乙方公司，并委托乙方代为销售，为保障双方合法权益，特订协议如下：一、车辆情况（若为多辆，可填写寄信车辆明细表）：车主姓名：车辆号牌: 车辆型号：车 架 号:车身颜色:行驶里程:二、经甲乙双方协商，确泄车辆的销售价格为人民币（大写）若销售过程中实际价格 低于此价，乙方必须事先与甲方电话协商确定。三、寄售时间为天，即年_月_日至年_月_日。四、乙方须査阅甲方出示的车辆手续并预留复印件备查:登记证书、行驶证书、附加税证、钥匙、商业险保单、交强险保单

18、五、甲方寄售予乙方之车辆，甲方必须具有完全合法之处分权，否则因此产生的纠纷及不良后果由甲方负责；甲方提供一切有关该车之证件，对证件的有效性、合法性、准确性负全部责任，并保 证该车辆可以过户转籍。六、甲方将该车辆寄售于乙方之时起，在此之前该车的一切交通违法或未按时缴纳国家相关规费引起的罚 金、滞纳金及由此引发的相关一切责任、费用均由甲方负责。寄售成功后，买方提取该车辆之时起所引起的一 切交通事故或违法行为及由此造成的相关损失与甲方无关。七、寄售成功后，该车辆的过户费由=方负责，乙方协助买方办理车辆过户手续。八、寄售成功后，甲方需支付元作为乙方的服务费。九、甲方将车寄售于乙方期间，乙方有义务保管好车辆，在此期间若因乙方责任引起的车辆损坏由乙方负 责。十、其他需要说明的事项：十一、本协议一式贰份，甲乙双方各执壹份，自双方签字盖章之日起生效。甲方：乙方：联系电话：联系电话：年 月曰年 月 日