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1、2021年高考数学二轮复习大题专项练解析几何五已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为.【答案解析】解：(1)设椭圆C的方程为=1(ab0)，由题意得解得c=，所以b2=a2c2=1，所以椭圆C的方程为y2=1.(2)证明：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，y0)，2x02，所以kAM=，因为AMDE，所以kDE=，所以直线DE的方程为y=(xx0)因为kBN=，所以直线BN的方程
2、为y=(x2)由解得E，所以SBDE=|BD|yE|，SBDN=|BD|yN|，所以=，结论成立在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q.求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值【答案解析】解:（1）由题意可知，椭圆的焦点在轴上，椭圆的离心率，则，则椭圆的标准方程；（2）证明：设，当斜率不存在时，与椭圆只有一个交点，不合题意，由题意的方程，则联立方程，整理得，由韦达定理可知，则，则由，直线AP,AQ的斜率之和为定值如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为F1、F2,直线y=kx+m(k0)交椭圆于
3、C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M,N两点（M,N不重合）,且|CM|=|DN|.（1）求椭圆E的离心率；（2）若m0，设直线AD、BC的斜率分别为，求的取值范围.【答案解析】解：已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：(1)求C1，C2的标准方程；(2)已知定点C，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求ABC面积的最大值【答案解析】解：(1)设C1：=1(ab0)，由题意知，点(-2,0)一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得解得C1的标准方程为
4、y2=1.设C2：x2=2py(p0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线C2的方程，得p=1，C2的标准方程为x2=2y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P，由y=x2知y=x，故直线AB的方程为y-t2=t(x-t)，即y=tx-t2，代入椭圆方程y2=1，整理得(14t2)x2-4t3xt4-4=0，则=16t6-4(14t2)(t4-4)=4(-t416t24)0，x1x2=，x1x2=，|AB|= =，设点C到直线AB的距离为d，则d=，SABC=|AB|d=，当且仅当t=2时，取等号，此时满足0.综上，ABC面积的最大值为.已知椭圆C：9x2y2=m2(m0)
5、，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.【答案解析】解：(1)证明：设直线l：y=kxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将y=kxb代入9x2y2=m2得(k29)x22kbxb2m2=0，故xM=，yM=kxMb=.于是直线OM的斜率kOM=，即kOMk=9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点，所
6、以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为y=x.设点P的横坐标为xp.由得x=，即xp=.将点的坐标代入l的方程得b=，因此xM=.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xp=2xM.于是=2，解得k1=4，k2=4.因为ki0，ki3，i=1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【答
7、案解析】解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为=1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2=b2c2，所以b2=12.故椭圆C的方程为=1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=xt.由得3x23txt212=0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以=(3t)243(t212)=1443t20，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得=4，从而t=2.由于24，4 ，所以符合题意的直线l不存在如图，椭圆C：=1(ab0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PFx轴，若ABOP，且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知Q是C上不同于
8、长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由【答案解析】解：(1)由题意得A(a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t0)，=1，得t=，即P，由ABOP得=，即b=c，a2=b2c2=2b2，又|AB|=2，a2b2=12，由得a2=8，b2=4，椭圆C的方程为=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为，设Q(x0，y0)(y00)，则=1，kQAkQD=，A(2，0)，=(x0m)，由得(m2)x02m8=0，即解得m=2，存在点D(2，0)，使得kQAkQD=.已知抛物线C：x2=2p
9、y经过点（2，-1）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【答案解析】解：(1)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.(2)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.已知椭圆C：=1(ab0)的右
10、焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标【答案解析】解：(1)由题意得，c=，=2，a2=b2c2，a=2，b=1，椭圆C的标准方程为y2=1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y可得(4k21)x28kmx4m24=0.=16(4k21m2)0，x1x2=，x1x2=.点B在以线段MN为直径的圆上，=0.=(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)=(k
11、21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)2=0，(k21)k(m1)(m1)2=0，整理，得5m22m3=0，解得m=或m=1(舍去)直线l的方程为y=kx.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意故直线l过定点，且该定点的坐标为.已知椭圆的离心率为，且C过点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值【答案解析】解:（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由消去整理得，直线与椭圆交于两点，设点P，Q的坐标分别为，则，直线，的斜率成等比数列，整理得，又，结合图形可知，故直线的斜率为定值
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