高考数学大一轮复习 第十篇 计数原理 概率 随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理

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1、第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布( (必修必修3 3、选修、选修2-3)2-3)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图高考考点、示例分布图命题特点命题特点1.1.本篇在高考中一般考查本篇在高考中一般考查1 1个小题和个小题和1 1个解答题个解答题, ,占占12121717分分. .2.2.从考查内容来看从考查内容来看,(1),(1)利用计数原理利用计数原理解决实际问题解决实际问题, ,有时与古典概型综合有时与古典概型综合考查考查. .(2)(2)几何概型较少考查几何概型较少考查. .(3)(3)对二项式定理的考查主要是利

2、用对二项式定理的考查主要是利用通项公式求特定项通项公式求特定项. .(4)(4)对正态分布的考查对正态分布的考查, ,可能单独考查可能单独考查也可能在解答题中出现也可能在解答题中出现. .(5)(5)以实际问题为背景以实际问题为背景, ,考查分布列、考查分布列、期望等是高考的热点题型期望等是高考的热点题型. .第第1 1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲最新考纲1.1.理解分类加法计数原理和分步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理乘法计数原理. .2.2.能正确区分能正确区分“类类”和和“步步”, ,并并能利用两个原理解决一些简单的能利用两个原理

3、解决一些简单的实际问题实际问题. .考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 【教材导读【教材导读】1.1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理中要特别注意什么分类加法计数原理和分步乘法计数原理中要特别注意什么? ?提示提示: :分类时注意分类时注意“不重不漏不重不漏”, ,分步时注意分步时注意“步骤完整步骤完整”. .2.2.在应用中在应用中, ,如何确定使用哪个原理如何确定使用哪个原理? ?提示提示: :方法分类方法分类, ,每类中的方法都能直接完成一件事情每类中的方法都能直接完成一件事情, ,则使

4、用分类加法计则使用分类加法计数原理数原理; ;完成一件事情需分若干步骤完成一件事情需分若干步骤, ,只有顺次完成各个步骤事情才能完成只有顺次完成各个步骤事情才能完成, ,则使用分步乘法计数原理则使用分步乘法计数原理. .知识梳理知识梳理1.1.分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案完成一件事有两类不同方案, ,在第在第1 1类方案中有类方案中有m m种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方类方案中有案中有n n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=N= 种不同的方法种不同的方法. .这个这个原理称为分类加法计数原理原理称为分类加法计数原

5、理. .推广推广: :完成一件事有完成一件事有n n类不同方案类不同方案, ,在第在第1 1类方案中有类方案中有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方案中有类方案中有m m2 2种不同的方法种不同的方法,在第在第n n类方案中有类方案中有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么那么完成这件事共有完成这件事共有N=N= 种不同的方法种不同的方法. .m+nm+nm m1 1+m+m2 2+m+mn n2.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤完成一件事需要两个步骤, ,做第做第1 1步有步有m m种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有

6、n n种不同种不同的方法的方法, ,那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=N= 种不同的方法种不同的方法. .推广推广: :完成一件事需要分成完成一件事需要分成n n个步骤个步骤, ,做第做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步步有有m m2 2种不同的方法种不同的方法做第做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=N= 种不同的方法种不同的方法. .m mn nm m1 1m m2 2m mn n对点自测对点自测1.1.乘积乘积(a(a1 1+a+a2 2)(b)(b1 1+b+b2 2+b+b3

7、3)(c)(c1 1+c+c2 2+c+c3 3+c+c4 4)(d)(d1 1+d+d2 2+d+d3 3+d+d4 4) )的展开式中共有的展开式中共有个不同的项个不同的项.解析解析: : 2 23 34 44=96.4=96.答案答案: :96962.2.如图如图, ,一条电路由一条电路由A A到到B B接通时接通时, ,有有种不同的线路种不同的线路.解析解析: :3+1+23+1+22=8.2=8.3.3.将将3 3张不同的奥运会门票分给张不同的奥运会门票分给1010名同学中的名同学中的3 3人人, ,每人每人1 1张张, ,则不同分法的则不同分法的种数是种数是.解析解析: :分步来完

8、成此事分步来完成此事. .第第1 1张有张有1010种分法种分法; ;第第2 2张有张有9 9种分法种分法; ;第第3 3张有张有8 8种分法种分法, ,共有共有10109 98=7208=720种分法种分法. .答案答案: :8 8答案答案: :7207204.4.现有现有4 4名同学去听同时进行的名同学去听同时进行的3 3个课外知识讲座个课外知识讲座, ,每名同学可自由选择其每名同学可自由选择其中的一个讲座中的一个讲座, ,不同选法的种数是不同选法的种数是 .解析解析: :每个同学都有每个同学都有3 3种选择种选择, ,所以不同选法共有所以不同选法共有3 34 4=81(=81(种种).)

9、.答案答案: :81815.5.用用1,5,9,131,5,9,13中的任意一个数作分子中的任意一个数作分子,4,8,12,16,4,8,12,16中的任意一个数作分母中的任意一个数作分母, ,可可构成构成个不同的分数个不同的分数, ,可构成可构成个不同的真分数个不同的真分数.解析解析: :由于由于1,5,9,131,5,9,13是奇数是奇数,4,8,12,16,4,8,12,16是偶数是偶数, ,所以以所以以1,5,9,131,5,9,13中的任中的任意一个为分子意一个为分子, ,都可以与都可以与4,8,12,164,8,12,16中的一个构成分数中的一个构成分数, ,因此可以分两步因此可以

10、分两步构成分数构成分数: :第一步第一步, ,选分子选分子, ,有有4 4种选法种选法, ,第二步第二步, ,选分母选分母, ,也有也有4 4种选法种选法, ,共共有分数有分数4 44=16(4=16(个个););分四类分四类: :分子为分子为1 1时时, ,分母可以从分母可以从4,8,12,164,8,12,16中选一中选一个个, ,有有4 4个个; ;分子为分子为5 5时时, ,分母从分母从8,12,168,12,16中选一个中选一个, ,有有3 3个个; ;分子为分子为9 9时时, ,分母分母从从12,1612,16中选一个中选一个, ,有有2 2个个; ;分子为分子为1313时时, ,

11、分母只能选分母只能选16,16,有有1 1个个. .所以共有所以共有真分数真分数4+3+2+1=10(4+3+2+1=10(个个).).答案答案: :16161010考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 分类加法计数原理分类加法计数原理考点一考点一【例【例1 1】 a,b,c,d,ea,b,c,d,e共共5 5个人个人, ,从中选从中选1 1名组长名组长1 1名副组长名副组长, ,但但a a不能当副组长不能当副组长, ,不同选法的种数是不同选法的种数是( () )(A)20(A)20 (B)16 (B)16 (C)10 (C)10 (D)6(D)6解析解析: :当当a a

12、当组长时当组长时, ,共有共有1 14=44=4种选法种选法; ;当当a a不当组长时不当组长时, ,又因为又因为a a也不能也不能当副组长当副组长, ,共有共有4 43=123=12种选法种选法. .因此共有因此共有4+12=164+12=16种选法种选法. .故选故选B.B.反思归纳反思归纳 本题是分类加法计数原理的直接应用本题是分类加法计数原理的直接应用, ,解题时首先把问题分类解题时首先把问题分类, ,然后确定每类中的方法数然后确定每类中的方法数, ,最后按照分类加法计数原理得出结果最后按照分类加法计数原理得出结果. .【即时训练【即时训练】 (1)(1)某班班干部有某班班干部有5 5

13、名男生、名男生、4 4名女生名女生, ,从从9 9人中选人中选1 1人参人参加某项活动加某项活动, ,则不同选法的种数为则不同选法的种数为( () )(A)9(A)9(B)5(B)5(C)4(C)4(D)72(D)72(2)(2)如图所示如图所示, ,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中, ,与正八边与正八边形有公共边的三角形有形有公共边的三角形有个个.解析解析: : (1) (1)分两类分两类: :一类从男生中选一类从男生中选1 1人人, ,有有5 5种方法种方法; ;另一类是从女生中选另一类是从女生中选1 1人人, ,有有4 4种方法种方法. .因此

14、因此, ,共有共有5+4=95+4=9种不同的选法种不同的选法. .故选故选A.A.(2)(2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类把与正八边形有公共边的三角形分为两类: :第一类第一类, ,有一条公共边的有一条公共边的三角形共有三角形共有8 84=32(4=32(个个).).第二类第二类, ,有两条公共边的三角形共有有两条公共边的三角形共有8 8个个. .由分由分类加法计数原理知类加法计数原理知, ,共有共有32+8=40(32+8=40(个个).).答案答案: : (1)A (1)A(2)40(2)40分步乘法计数原理分步乘法计数原理考点二考点二【例【例2 2】 (1) (1) 导学号导学

15、号 1870255418702554 某市汽车牌号码可以上网自编某市汽车牌号码可以上网自编, ,但规定但规定从左到右第二个号码只能从字母从左到右第二个号码只能从字母B,C,DB,C,D中选择中选择, ,其他四个号码可以从其他四个号码可以从0 09 9这十个数字中选择这十个数字中选择( (数字可以重复数字可以重复),),一车主第一个号码一车主第一个号码( (从左到右从左到右) )只想在只想在数字数字3,5,6,8,93,5,6,8,9中选择中选择, ,其他号码只想在其他号码只想在1,3,6,91,3,6,9中选择中选择, ,则他的车牌号码则他的车牌号码可选的所有可能情况有可选的所有可能情况有(

16、() )(A)180(A)180种种(B)360(B)360种种 (C)720(C)720种种(D)960(D)960种种(2)(2)甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人站到共有人站到共有7 7级的台阶上级的台阶上, ,若每级台阶最多站若每级台阶最多站2 2人人, ,同一级同一级台阶上的人不区分站的位置台阶上的人不区分站的位置, ,则不同的站法的种数为则不同的站法的种数为.解析解析: : (1) (1)按照车主的要求按照车主的要求, ,从左到右第一个号码有从左到右第一个号码有5 5种选法种选法, ,第二个号码第二个号码有有3 3种选法种选法, ,其余三个号码各有其余三个号码各有4 4种选法种选法. .

17、因此车牌号码可选的所有可能情因此车牌号码可选的所有可能情况有况有5 53 34 44 44=960(4=960(种种).).故选故选D.D.(2)(2)甲有甲有7 7种站法、乙也有种站法、乙也有7 7种站法、丙也有种站法、丙也有7 7种站法种站法, ,故不考虑限制共有故不考虑限制共有站法站法7 77 77=343(7=343(种种),),其中三个人站在同一台阶上的有其中三个人站在同一台阶上的有7 7种站法种站法, ,故符合故符合本题要求的不同站法有本题要求的不同站法有343-7=336(343-7=336(种种).).答案答案: : (1)D (1)D(2)336(2)336反思归纳反思归纳

18、如果如果“一件事情一件事情”需要分成若干步骤才能完成需要分成若干步骤才能完成, ,则就需要使则就需要使用分步乘法计数原理计数完成这件事情的方法总数用分步乘法计数原理计数完成这件事情的方法总数, ,如果其中存在某些如果其中存在某些特殊情况特殊情况, ,则从总数中减去特殊情况的数目即可则从总数中减去特殊情况的数目即可, ,这种间接求解的方法是这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的计数问题中经常使用的. .【即时训练【即时训练】 (1)(1)从从0,1,2,3,40,1,2,3,4这这5 5个数字中任取个数字中任取3 3个组成三位数个组成三位数, ,其中奇数其中奇数的个数是的个数是( () )(A

19、)16(A)16(B)18(B)18(C)20(C)20(D)24(D)24(2)(2)某单位有甲、乙、丙、丁四个部门某单位有甲、乙、丙、丁四个部门, ,分别有工作人员分别有工作人员8 8名名,10,10名名,12,12名名,15,15名名, ,现从该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动现从该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动, ,则不同的则不同的选派方法的种数为选派方法的种数为.解析解析: : (1)(1)从从1,31,3中取一个排个位中取一个排个位, ,故排个位有故排个位有2 2种方法种方法; ;排百位不能是排百位不能是0,0,可以从另外可以从另外3 3个数中取一个个

20、数中取一个, ,有有3 3种方法种方法; ;排十位有排十位有3 3种方法种方法. .故所求奇数故所求奇数的个数为的个数为3 33 32=18.2=18.故选故选B.B.(2)(2)选派工作可以分四个步骤完成选派工作可以分四个步骤完成. .分别从甲、乙、丙、丁四个部门中分别从甲、乙、丙、丁四个部门中各选派一人各选派一人. .根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,共有不同的选派方法有共有不同的选派方法有8 81010121215=14 400(15=14 400(种种).).答案答案: : (1)B (1)B(2)14 400(2)14 400两个原理的综合两个原理的综合考点三考点三【例【

21、例3 3】 (1) (1) 导学号导学号 1870255518702555 如图如图, ,矩形的对角线把矩形分成矩形的对角线把矩形分成A,B,C,DA,B,C,D四四部分部分, ,现用现用5 5种不同颜色给四部分涂色种不同颜色给四部分涂色, ,每部分涂每部分涂1 1种颜色种颜色, ,要求共边的两部要求共边的两部分颜色互异分颜色互异, ,则共有则共有种不同的涂色方法种不同的涂色方法.解析解析: : (1) (1)区域区域A A有有5 5种涂色方法种涂色方法; ;区域区域B B有有4 4种涂色方法种涂色方法; ;区域区域C C的涂色的涂色方法可分方法可分2 2类类: :若若C C与与A A涂同色涂

22、同色, ,区域区域D D有有4 4种涂色方法种涂色方法; ;若若C C与与A A涂不同色涂不同色, ,此时区域此时区域C C有有3 3种涂色方法种涂色方法, ,区域区域D D也有也有3 3种涂色方法种涂色方法. .所以共有所以共有5 54 44+54+54 43 33=2603=260种涂色方法种涂色方法. .答案答案: : (1)260 (1)260 (2)(2)甲、乙、丙甲、乙、丙3 3个班各有三好学生个班各有三好学生3 3名名,5,5名名,2,2名名, ,现准备推选两名来自现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会, ,则不同的推选

23、方法种数为则不同的推选方法种数为.解析解析: : (2) (2)分为三类分为三类: :第一类第一类: :甲、乙各一名甲、乙各一名, ,根据分步乘法计数原理有根据分步乘法计数原理有3 35=15(5=15(种种););第二类第二类: :甲、丙各一名甲、丙各一名, ,有有3 32=6(2=6(种种););第三类第三类: :乙、丙各一名乙、丙各一名, ,有有5 52=10(2=10(种种).).根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,共有共有15+6+10=3115+6+10=31种不同选法种不同选法. .答案答案: : (2)31 (2)31备选例题备选例题【例题【例题】 (1)(1)设集合

24、设集合A=-1,0,1,A=-1,0,1,集合集合B=0,1,2,3,B=0,1,2,3,定义定义A A* *B=(x,y)|xAB,yABB=(x,y)|xAB,yAB,则则A A* *B B中元素的个数是中元素的个数是( () )(A)7(A)7(B)10(B)10(C)2(C)25 5(D)5(D)52 2解析解析: : (1) (1)由题意知本题是一个分步乘法计数原理由题意知本题是一个分步乘法计数原理, ,因为集合因为集合A=-1,0,1,A=-1,0,1,集合集合B=0,1,2,3,B=0,1,2,3,所以所以AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,AB=0,1,AB=-1,0,1

25、,2,3,所以所以x x有有2 2种取种取法法,y,y有有5 5种取法种取法, ,所以根据分步乘法计数原理得所以根据分步乘法计数原理得2 25=10.5=10.故选故选B.B.答案答案: : (1)B (1)B (2)(2)用数字用数字2,32,3组成四位数组成四位数, ,且数字且数字2,32,3至少都出现一次至少都出现一次, ,这样的四位数共有这样的四位数共有个个( (用数字作答用数字作答).).解析解析: : (2)(2)法一法一用用2,32,3组成四位数共有组成四位数共有2 22 22 22=16(2=16(个个),),其中不出现其中不出现2 2或不出现或不出现3 3的共的共2 2个个,

26、 ,因此满足条件的四位数共有因此满足条件的四位数共有16-2=14(16-2=14(个个).).法二法二满足条件的四位数可分为三类满足条件的四位数可分为三类: :第一类含有一个第一类含有一个2,2,三个三个3,3,共有共有4 4个个; ;第二类含有三个第二类含有三个2,2,一个一个3 3共有共有4 4个个; ;第三类含有二个第三类含有二个2,2,二个二个3 3共有共有6 6个个, ,因此因此满足条件的四位数共有满足条件的四位数共有4+4+6=14(4+4+6=14(个个).).答案答案: : (2)14 (2)14易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼各步中方法数确定不准致

27、误各步中方法数确定不准致误【典例【典例】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目有六名同学报名参加三个智力竞赛项目, ,在下列情况下各有多少在下列情况下各有多少种不同的报名方法种不同的报名方法? ?(1)(1)每人恰好参加一项每人恰好参加一项, ,每项人数不限每项人数不限; ;(2)(2)每项限报一人每项限报一人, ,但每人参加的项目不限但每人参加的项目不限. .解解: : (1)(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项每人都可以从这三个比赛项目中选报一项, ,各有各有3 3种不同选法种不同选法, ,由由分步乘法计数原理知共有不同的报名方法分步乘法计数原理知共有不同的报名方法3 36 6=729(=729(种种).).(2)(2)由于每人参加的项目不限由于每人参加的项目不限, ,因此每一个项目都可以从这六人中选出一因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛人参赛, ,由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法6 63 3=216(=216(种种).).易错提醒易错提醒: :使用分步乘法计数原理解题时要根据实际问题确定每步中使用分步乘法计数原理解题时要根据实际问题确定每步中的具体方法数的具体方法数, ,本题中要注意是按项目分步计数还是按人分步计数本题中要注意是按项目分步计数还是按人分步计数. .