高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课堂探究学案新人教B版选修21110

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1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课堂探究探究一 由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)【典型例题1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)对称轴为x轴，顶点与焦点的距离为6；(3)抛物线上点(5,2)到焦点F(x,0)的距离是6.思路分析：在求抛物线标准方程时，首先要确定标准方程的类型，即定型，也就是

2、判断焦点的位置，然后根据条件求出p值，即定量解：(1)设所求的抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20)，由过点(3,2)，知42p1(3)或92p22，得p1，p2，故所求的抛物线方程为y2x或x2y.(2)设抛物线方程为y22px(p0)或y22px(p0)依题意6，所以2p24.所以抛物线方程为y224x.(3)由已知6，整理得x210x90，即(x1)(x9)0，所以x1或x9.所以F(1,0)，p2，y24x；或F(9,0)，p18，y236x.显然，若抛物线为y236x，则它的准线方程为x9.由抛物线的定义，点A(5,2)到F(9,0)的距离是6，而点A(5,2)到

3、x9的距离为14，矛盾所以所求抛物线的标准方程为y24x.探究二 抛物线的实际应用涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决，在建立坐标系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴，这样使标准方程不仅具有对称性，而且形式更为简单，便于应用，但要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同【典型例题2】 河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一条小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？思路分析：当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时，船不能通航由于抛物线与小船均是轴对称图形，可设出

4、公共对称轴建立抛物线方程，将已知数据转化为点的坐标求解解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)由题意，将B(4，5)代入方程得p1.6.所以x23.2y.当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)由223.2yA，得yA.又知船面露出水面部分为 m，所以h|yA|2(m)答：水面上涨到距抛物线拱顶2 m时，小船不能通航探究三 直线与抛物线相交问题直线ykxb与抛物线y22px(p0)的位置关系判断，通常是将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程形式，根据其解的个数进行判断，直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，

5、y2)两点，直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|AB|x1x2|.(2)当直线经过抛物线y22px(p0)的焦点时，弦长|AB|x1x2p.【典型例题3】 设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为2，求|AB|的大小(2)求证：是一个定值思路分析：设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程形式，利用根与系数的关系求解(1)解：依题意得F(1,0)，所以直线l的方程为y2(x1)设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x23x10，所以x1x23，x1x21.方法一：所以|AB|x1x2|5.方法

6、二：所以|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)证明：设直线l的方程为xky1，直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得y24ky40，所以y1y24k，y1y24.因为(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，所以是一个定值【典型例题4】 已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程思路分析：本题主要考查中点弦问题可采用“点差法”或判别式法解法一：设直线上任意一点的坐标为(x，y)，弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2

7、，y2)因为P1，P2在抛物线上，所以y216x1，y226x2.两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)由题意知y1y22，代入得k3.所以直线的方程为y13(x4)，即3xy110.解法二：由题意知弦所在的直线的斜率存在且不为零，设所求方程为y1k(x4)由方程组得ky26y24k60.设弦的两端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则y1y2.因为P1P2的中点为(4,1)，所以2.所以k3.所以所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.点评：本题解法一是求与中点有关问题常用的“点差法”设点、作差、找斜率是主要的解题技巧解法二没有求出P1，P2的坐标，而是运

8、用韦达定理及P1P2的中点坐标求出k值，这也是解题中常用的方法一般求出直线方程后，把直线方程与抛物线方程联立，组成方程组看方程组是否有两个解，有两解时求出的直线方程为所求的直线方程探究四 易错辨析易错点不理解抛物线的标准方程的形式【典型例题5】 设抛物线ymx2(m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程错解：由ymx2(m0)可知其准线方程为y.由题意知2，解得m8，故所求抛物线的标准方程为y8x2.错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为y；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到了一个解正解：ymx2(m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m，故所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.4