布尔代数入门

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1、布尔代数入门布尔代数是计算机的基础。没有它，就不会有计算机。布尔代数发展到今天，已经非常抽象，但是它的核心思想很简单。本文帮助你理解布尔代数，以及为什么它促成了计算机的诞生。我依据的是编码的奥妙的第十章。这是一本好书，强烈推荐。一、数理逻辑的起源19 世纪早期，英国数学家乔治布尔（George Boole， 1815 1864）突发奇想：人的思想能不能用数学表达？此前，数学只用于计算，没有人意识到，数学还能表达人的逻辑思维。两千年来， 哲学书都是用文字写的。比如，最著名的三段论：所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以，苏格拉底是要死的。乔治布尔认为，这种推理可以用数学表达，也就是说，哲学书完全可

2、以用数学写。这就是数理逻辑的起源。二、集合论乔治布尔发明的工具， 叫做 集合论 （ Set theory）。他认为，逻辑思维的基础是一个个集合（ Set），每一个命题表达的都是集合之间的关系。比如，所有人类组成一个集合 R，所有会死的东西组成一个集合 D。所有人都是要死的集合论的写法就是：RXD=R集合之间最基本的关系是并集和交集。乘号（X ）表示交集，加号（ + ）表示并集。上面这个式子的意思是，R 与 D 的交集就是 R。同样的，苏格拉底也是一个集合S，这个集合里面只有苏格拉底一个成员。苏格拉底是人/ 等同于SXR=S上面式子的意思是，苏格拉底与人类的交集，就是苏格拉底。将第一个式子代入第

3、二个式子，就得到了结论。SX(RXD)= (SXR)XD= S X D= S这个式子的意思是，苏格拉底与会死的东西的交集，就是苏格拉底，即苏格拉底也属于会死的东西。三、集合的运算法则前面的三段论比较容易，一眼就能看出结论。但是，有些三段轮比较复杂，不容易立即反应过来。请看下面这两句话。鸭嘴兽是卵生的哺乳动物。鸭嘴兽是澳洲的动物。你能一眼得到结论吗？鸭嘴兽X卵生= 鸭嘴兽鸭嘴兽x 澳洲= 鸭嘴兽将第一个式子代入第二个，就会得到：鸭嘴兽X卵生x 澳洲= 鸭嘴兽/ 相当于卵生x 澳洲= 鸭嘴兽+ 其他因此，结论就是 有的卵生动物是澳洲的动物 ，或者 有的澳洲的动物是卵生动物 。还有更不直观的三段论。

4、哲学家都是有逻辑头脑的，一个没有逻辑头脑的人总是很顽固。 请问结论是什么？这道题会用到新的概念： 全集和空集。 集合 A 和所有不属于它的元素（记作 -A ）构成全集（ I ），这时 A 和 -A 的交集就是一个空集（ 0）。A+(-A)=IAX(-A)=0因此，有下面的公式。B=BXI=BX(A+-A)=BXA+BX(-A)回到上面那道题。哲学家X逻辑= 哲学家无逻辑X顽固= 无逻辑根据第一个命题，可以得到下面的结论。哲学家X无逻辑= (哲学家 X 逻辑 ) X 无逻辑= 哲学家 X(逻辑 X 无逻辑 )= 哲学家 X0= 0即哲学家与没有逻辑的人的交集，是一个空集。根据第二个命题，可以得到

5、下面的结论。无逻辑X顽固= 无逻辑 X 顽固 X(哲学家 + 非哲学家 )= 无逻辑 X顽固 X哲学家 +无逻辑 X顽固 X非哲学家=0X 顽固+ 无逻辑X 顽固X 非哲学家= 无逻辑 X 顽固 X 非哲学家= 无逻辑也就是说，最终的结论如下。无逻辑 X 顽固 X 非哲学家 = 无逻辑/ 相当于顽固X 非哲学家= 无逻辑+ 其他结论就是顽固的人与非哲学家之间有交集。通俗的表达就是：一些顽固的人， 不是哲学家， 或者一些不是哲学家的人，很顽固。由此可见，集合论可以帮助我们得到直觉无法得到的结论，保证推理过程正确，比文字推导更可靠。四、集合论到布尔代数既然命题可以用集合论表达，那么逻辑推导无非就是

6、一系列集合运算。由于集合运算的结果还是集合，那么通过判断个体是否属于指定集合，就可以计算命题的真伪。一名顾客走进宠物店， 对店员说： 我想要一只公猫， 白色或黄色均可；或者一只母猫，除了白色，其他颜色均可；或者只要是黑猫，我也要。这名顾客的要求用集合论表达，就是下面的式子。公猫X(白色+ 黄色)+母猫X非白色+ 黑猫店员拿出一只灰色的公猫，请问是否满足要求？布尔代数规定，个体属于某个集合用1 表示，不属于就用0表示。 灰色的公猫属于公猫集合，就是 1，不属于白色集合，就是 0。上面的表达式变成下面这样。1X(0+0)+ 0 X 1+ 0= 0因此，就得到结论，灰色的公猫不满足要求。这就是布尔代

7、数：计算命题真伪的数学方法。五、布尔代数的运算法则布尔代数的运算法则与集合论很像。交集的运算法则如下。1X1=11X0=00X0=0并集的运算法则如下。1+1=11+0=10+0=0集合论可以描述逻辑推理过程，布尔代数可以判断某个命题是否符合这个过程。人类的推理和判断，因此就变成了数学运算。20 世纪初， 英国科学家香农指出，布尔代数可以用来描述电路，或者说，电路可以模拟布尔代数。于是，人类的推理和判断，就可以用电路实现了。这就是计算机的实现基础。六、布尔代数的局限虽然布尔代数可以判断命题真伪，但是无法取代人类的理性思维。原因是它有一个局限。它必须依据一个或几个已经明确知道真伪的命题，才能做出判断。比如，只有知道所有人都会死 这个命题是真的，才能得出结论 苏格拉底会死 。布尔代数只能保证推理过程正确，无法保证推理所依据的前提是否正确。如果前提是错的，正确的推理也会得到错误的结果。而前提的真伪要由科学实验和观察来决定，布尔代数无能为力。（完）