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1、一、一、 有理函数有理函数(yu l hn sh)的积分的积分有理函数(yu l hn sh):时,为假分式(fnsh);时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共25页第一页，共26页。例例1. 将下列真分式分解为部分将下列真分式分解为部分(b fen)分式分式 :解:(1) 用拼凑(pncu)法2) 1(1x2) 1(1x) 1( xx机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第2页/共25页第二页，共26页。(2) 用数值用数值(shz)代入法代入法故机动(jdng) 目录 上页 下页
2、返回 结束 当分母(fnm)仅有单根时更有效！第3页/共25页第三页，共26页。(3) 混合法混合法机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 原式 =第4页/共25页第四页，共26页。四种典型部分四种典型部分(b fen)分式的分式的积分积分: 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 变分子(fnz)为 再分项积分 第5页/共25页第五页，共26页。例例2. 求求解: 已知例1(3) 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第6页/共25页第六页，共26页。例例3. 求求解: 原式机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第7页/共25页第七页，共26页。例例4. 求求解:机动
3、目录(ml) 上页 下页 返回 结束 说明: 将有理函数分解为部分(b fen)分式进行积分虽可行,但不一定(ydng)简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 第8页/共25页第八页，共26页。例例5. 求求解: 原式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第9页/共25页第九页，共26页。常规 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 例例6. 求求解: 原式C注意本题(bnt)技巧按常规(chnggu)方法较繁第10页/共25页第十页，共26页。二二 、可化为有理函数、可化为有理函数(yu l hn sh)的积分举例的积分举例设表示(biosh)三角函数有理式 ,令万能
4、(wnnng)代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分则第11页/共25页第十一页，共26页。例例7. 求求解: 令则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共25页第十二页，共26页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第13页/共25页第十三页，共26页。例例8. 求求解: C说明(shumng): 通常求含的积分(jfn)时,往往(wngwng)更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共25页第十四页，共26页。例例9. 求求令原式机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第1
5、5页/共25页第十五页，共26页。例例10. 求求解: 原式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第16页/共25页第十六页，共26页。2. 简单简单(jindn)无理函无理函数的积分数的积分令令被积函数为简单(jindn)根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数(yu l hn sh)的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第17页/共25页第十七页，共26页。例例11. 求求解: 令则原式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页第十八页，共26页。例例12. 求求解: 为去掉被积函数分母(fnm)中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍
6、数 6 ,则有原式C令机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第19页/共25页第十九页，共26页。例例13. 求求解: 令则原式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共25页第二十页，共26页。内容内容(nirng)小结小结1. 可积函数(hnsh)的特殊类型有理函数(yu l hn sh)分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 第21页/共25页第二十一页，共26页。思考思考(sko)与练习与练
7、习如何(rh)求下列积分更简便 ?解: 1.Caxaxa33333ln612. 原式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第22页/共25页第二十二页，共26页。备用备用(biyng)题题 1.求不定积分(b dn j fn)解：令则, 故机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.第23页/共25页第二十三页，共26页。2.求不定积求不定积分分(b dn j fn)解：原式 =前式令; 后式配元Cx cos3ln机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页第二十四页，共26页。感谢您的观看(gunkn)！第25页/共25页第二十五页，共26页。NoImage内容(nirng)总结一、 有理函数的积分。多项式 + 真分 式。机动 目录 上页 下页 返回 结束。例1. 将下列真分式分解为部分分式 :。例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束。解: 原式。说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,。解: 原式。t 的有理函数的积分。被积函数为简单(jindn)根式的有理式 , 可通过根式代换。解: 令。最小公倍数 6 ,。第24页/共25页。感谢您的观看第二十六页，共26页。
不定积分有理函数积分实用教案
