正切函数图像与性质(修正)

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1、河津中学数学组河津中学数学组 武艳绒武艳绒复习回顾复习回顾性质探讨性质探讨图像画法图像画法例题讲解例题讲解课堂练习课堂练习课堂小结课堂小结复复 习习 回回 顾：顾： 在直角坐标系中，如果角在直角坐标系中，如果角 满足：满足： 那么角那么角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 ,唯一确定比值唯一确定比值 ，根据函数定义，比值根据函数定义，比值 是角是角 的函数，我们把它叫作角的函数，我们把它叫作角 的的正切函数，记作正切函数，记作),(2,ZkkR),(baPab tanyab定义域：定义域：,2xxZkk对于函数对于函数 ，其定义域为：，其定义域为：xtany 周期性：tan()tan

2、,2xx xxkk RZ由诱导公式得所以，正切函数是周期函数，周期是所以，正切函数是周期函数，周期是 .奇偶性：tan()tan ,2xx xxkk RZ由诱导公式得所以正切函数式所以正切函数式奇奇函数函数.性性 质质 探探 讨：讨：值域：xuTAO(1),22xATOv如图（1） 当 大于且无限接近时，正切线向轴的负方向无限延伸；xuvTAO(2),22xATOv如图（2） 当 小于且无限接近时，正切线向轴的正方向无限延伸；v所以正切函数的值域是实数集所以正切函数的值域是实数集R R.如图如图(1)(2),(1)(2),由正切线由正切线的变换规律可得，正的变换规律可得，正切函数在切函数在 内

3、内是增函数，又由正切是增函数，又由正切函数的周期性可知，函数的周期性可知，正切函数在开区间正切函数在开区间 内都是增函数.单调性：xuvTAOxuvTAOuxuvTAOxvTAO(1)(2)(4)(3),22 ,22kk kZ2 函数函数2 , 0,sinxxy图象的几何作法图象的几何作法oxy-11-1-1oA作法作法: (1) 等分等分3232656734233561126(2) 作正弦线作正弦线(3) 平移平移61P1M/1p(4) 连线连线回顾正弦函数图像几何作法：回顾正弦函数图像几何作法：图图 像像 画画 法：法：作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切线作正切线(3) 平移平移

4、(4) 连线连线把单位圆右半圆分成把单位圆右半圆分成8等份。等份。83488483，利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22 ，x44288838320o由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，得到正切函数的图象，称为正切曲线得到正切函数的图象，称为正切曲线yx1-1/2-/23/2-3/2-0y=tanx正切曲线是由被正切曲线是由被相互平行相互平行的的直线的的直线 所所隔开的无隔开的无穷多支曲线组穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线渐近线。()2xkkZ 从图中可以

5、看出从图中可以看出 定义域定义域：Zk,k2x|x 值域值域： 周期性：周期性： 奇偶性：奇偶性： 在每一个开区间在每一个开区间 ， 内都是增函数。内都是增函数。)2,2(kkZk正正切切函函数数图图像像奇函数，图象关于原点对称。奇函数，图象关于原点对称。R 单调性：单调性：Z k,2kx (6)渐近线方程：渐近线方程： (7)(7)对称中心对称中心kk(,0)(,0)2 2渐进线性质性质 :渐进线AB(1)正切函数是正切函数是上的上的增增函数吗？为什么？函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是正切函数会不会在某一区间内是减减函数？为什么？函数？为什么？ 问题：问题：AB 在每一个开

6、区间 ， 内都是增函数。( (- -+ + k k, ,+ + k k) )2 22 2kZkZ问题讨论例例1 1 求函数 的定义域、周期和单调区间.x解解:函数的自变量 应满足即所以,函数的定义域是由于因此函数的周期为2.tan23yx,232xkk Z,2,3xkkZ,2,.3x xkkZtantan2323tan2(2),23yxxxf xkxk2322-由kxk231235-得：kk231,235-所以该函数的单调区间为：例例 题题 讲讲 解：解：例例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。的值的范围。 （1） tanx 0 （2）tanx

7、0 3. tan(x+/4)1 4. tan(3x/3)1课课 堂堂 练练 习：习： 二、画出函数y= tanx 的图象，指出它的单调区间，奇偶性，周期。2232322323练习二解析：练习二解析：1、作图的基本思路：利用正切线作出函数、作图的基本思路：利用正切线作出函数y=tanx 的图象，由正切函数的图象，由正切函数的周期性，将图象左、右扩展得到正切曲线；的周期性，将图象左、右扩展得到正切曲线；)2,2(x2、图象特征图象特征：正切曲线是由：正切曲线是由相互平行相互平行的直线的直线 所隔开的无穷多支曲线所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下可无限接近相应组成，每支曲线向上、向下可无限接近相应的两条直线；的两条直线；)(2Zkkx3、由函数、由函数y=tanx图象可变换得到函数图象可变换得到函数y=Atan( x+x+ ) )的的图象。图象。课课 堂堂 小小 结结: : 定义域值域周期性奇偶性单调性 RT= 奇函数 函数y=tanx,2|Zkkxx增区间Zkkk)2,2(4 4、性、性质质将有限的青春年华投入到无限的快乐将有限的青春年华投入到无限的快乐学习中去！学习中去！