高中数学 第二章 统计 2.3.1 变量之间的相关关系 第二章 统计 2.3.2 两个变量的线性相关课件2 新人教A版必修3

《高中数学 第二章 统计 2.3.1 变量之间的相关关系 第二章 统计 2.3.2 两个变量的线性相关课件2 新人教A版必修3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 统计 2.3.1 变量之间的相关关系 第二章 统计 2.3.2 两个变量的线性相关课件2 新人教A版必修3（39页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关城门失火殃及池鱼城门失火殃及池鱼 世界是一个普遍联系的整体，任何事物都与其世界是一个普遍联系的整体，任何事物都与其他事物相联系他事物相联系. . 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式量形式. .对于两个变量，如果当一个变量的取值一对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系量之间的关系就是一个函数关系. . 在中学校园里，有这样一种说法：在中学校园里，有这

2、样一种说法：“如果你的数学如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”.”按照按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? ? 不是函数关系，但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系. 如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.1.1.理解两个变量的相关关系的概念理解两个

3、变量的相关关系的概念. .( (重点）重点）2.2.会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系. .（难点）（难点）3.3.了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程过程. .4.4.通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实际问题进行分析和预测际问题进行分析和预测. . 当自变量一定时当自变量一定时, ,因变量的取值带有一定的随机性因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为的两个变量之间的关系称为相关关系相关关系. .例例：（：（1 1）商品销售收入

4、与广告支出经费之间的关系）商品销售收入与广告支出经费之间的关系; ; （2 2）粮食产量与施肥量之间的关系）粮食产量与施肥量之间的关系; ; （3 3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系）人体内脂肪含量与年龄之间的关系. .变量之间的相关关系变量之间的相关关系相关关系是一种相关关系是一种非确定关系非确定关系【课堂探究课堂探究1 1】不同点不同点：1.1.函数关系是一种确定的关系函数关系是一种确定的关系, ,是两个非随是两个非随机变量之间的关系机变量之间的关系; ;而相关关系是一种非确定关系而相关关系是一种非确定关系, ,是是非随机变量与随机变量之间的关系非随机变量与随机变量之间的关系. .2.2.

5、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响的随机因素的影响. .3.3.需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系. .相关关系与函数关系的异同点：相关关系与函数关系的异同点：相同点相同点：均是指两个变量的关系：均是指两个变量的关系 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数的样本平均数. .以以

6、x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示脂肪含量，你轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？ 年龄年龄2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年龄年龄5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两

7、个变量的一组数据图形，称为两个变量的一组数据图形，称为散点图散点图. . 这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关正相关. .如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？的变化趋势如何？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域图中的点散布在从左上角到右下角的区域. .例例1 1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和

8、房屋的面积的数据：屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关面积这两个变量是正相关还是负相关. . 房屋面积房屋面积（平方米）（平方米）616170701151151101108080135135105105销售价格销售价格（万元）（万元） 12.212.2 15.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222售价售价/ /万元万元正相关正相关解：解：在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；正方形边长与

9、面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系. .答案：答案：【变式练习变式练习】【总结提升总结提升】在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作如下判断：散点图入手，对于散点图，可以作如下判断：（1 1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间就是函数关系；量之间就是函数关系；（2 2）如果所有的样本点都落在某一函数曲

10、线的附近，）如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，变量之间就有相关关系；变量之间就有相关关系；（3 3）如果所有的样本点都落在某一直线的附近，）如果所有的样本点都落在某一直线的附近，变量之间就有线性相关关系；变量之间就有线性相关关系；（4 4）如果散点图中的点的分布几乎没有什么规）如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系，即两个则，则这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的变量之间是相互独立的. .除了散点图，还有其他的表示相关关系的图形吗？除了散点图，还有其他的表示相关关系的图形吗？ 年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中年龄和人体脂肪含量的

11、样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？的点的分布有什么特点？ 这些点大致分布在一条直线附近这些点大致分布在一条直线附近. .回归直线回归直线【课堂探究课堂探究2 2】我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直线附近线附近, ,像这样，如果散点图中点的分布从整体上像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系具有线性相关关系, ,这条直线叫做这条直线叫做回归直线，回归直线，该直该直线所对应的方程叫做线所对应的方程叫做回归方程回归方程. .那么，我们该怎样求

12、出这个回归方程呢？那么，我们该怎样求出这个回归方程呢？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？方案方案1 1先画出一条直线，测量出各点与它的距离，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小的位置时，测再移动直线，到达一个使距离的和最小的位置时，测出它的斜率和截距，得到回归方程出它的斜率和截距，得到回归方程. .如图：如图：方案方案2 2在图中选两点作直线，使直线两侧的点在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同的个数基本相同. .方案方案3 3如果多取几组点，确定多条直线，再求出这如果多取几组点，确定多条直线，再求出这

13、些直线的斜率和截距的平均数作为回归直线的斜率些直线的斜率和截距的平均数作为回归直线的斜率和截距而得到回归方程和截距而得到回归方程. . 如图如图: :对一组具有线性相关关系的样本数据：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )， ，( (x xn n，y yn n) )，如何求回归方程？，如何求回归方程？ ybxa最小二乘法最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做和最小的方法叫做最小二乘法最小二乘法. .1211221()()()niiiniiniiiniix

14、xyybxxx ynx yxnxaybx ybxa例例2 2 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：出的热饮杯数与当天气温的对比表： /130130128128132132150150156156热饮杯数热饮杯数12127 74 40 0- -5 5摄氏温度摄氏温度13013012812813213215015015615612127 74 40 0- -5 554547676939389891041041161163636313127272

15、323191915155454767693938989104104116116363631312727232319191515（1 1）画出散点图）画出散点图. .（2 2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律系的一般规律. .（3 3）求回归方程）求回归方程. .（4 4）如果某天的气温是）如果某天的气温是2 2 ，预测这天卖出的热，预测这天卖出的热饮杯数饮杯数. .解解: :（1 1）散点图如下：散点图如下：热饮杯数热饮杯数温度温度/O10 20 30 4010 20 30 4050506060160160150150140140130

16、130120120110110100100 90 90 80 80 70 70-10-10（2 2）从散点图看到，各点散布在从左上角到右下角）从散点图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少. .（3 3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式求出回归方程的系数的附近，因此利用公式求出回归方程的系数. .得回归得回归方程方程. . = -2.352x+147.767= -2.3

17、52x+147.767（4 4）当）当x=2x=2时，时， =143.063. =143.063.因此，某天的气温为因此，某天的气温为2 2 时，这天大约可以卖出时，这天大约可以卖出143143杯热饮杯热饮. .yy求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 ， ; ; 第二步，求和第二步，求和 ， ; ; 第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程. . xy1niiix y21niix1122211()() , ;()nniiiiiinniiiixx yyx ynx ybaybxxxx

18、nx【总结提升总结提升】1.1.下面哪些变量是相关关系下面哪些变量是相关关系( )( )A.A.出租车费与行驶的里程出租车费与行驶的里程 B.B.房屋面积与房屋价格房屋面积与房屋价格C.C.身高与体重身高与体重 D.D.铁的大小与质量铁的大小与质量C C2.2.设某大学的女生体重设某大学的女生体重y(y(单位：单位：kg)kg)与身高与身高x(x(单位：单位：cm)cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据具有线性相关关系，根据一组样本数据(x(xi i，y yi i) )(i(i1,21,2，n)n)，用最小二乘法建立的回归方程，用最小二乘法建立的回归方程为为 0.85x0.85x85.718

19、5.71，则下列结论中不正确的是，则下列结论中不正确的是 ( () )yA Ay y与与x x具有正的线性相关关系具有正的线性相关关系B B回归直线过样本点的中心回归直线过样本点的中心C C若该大学某女生身高增加若该大学某女生身高增加1 cm1 cm，则其体重约增，则其体重约增加加0.85 kg0.85 kgD D若该大学某女生身高为若该大学某女生身高为170 cm170 cm，则可断定其体，则可断定其体重必为重必为58.79 kg58.79 kg解解: :选选D.D.本题考查线性回归方程的特征与性质，意在考本题考查线性回归方程的特征与性质，意在考查考生对线性回归方程的了解，解题思路：查考生对

20、线性回归方程的了解，解题思路：A A，B B，C C均均正确，是回归方程的性质，正确，是回归方程的性质，D D项是错误的，线性回归方项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重选项程只能预测学生的体重选项D D应改为应改为“若该大学某女若该大学某女生身高为生身高为170 cm170 cm，则估计其体重大约为，则估计其体重大约为58.79 kg58.79 kg” 易错点易错点 本题易错一：对线性回归方程不了解，无法本题易错一：对线性回归方程不了解，无法得出答案；易错二：对回归系数得出答案；易错二：对回归系数b b不了解，错选不了解，错选C C；易错；易错三：线性回归方程有预测的作用，得出的结果不是

21、准确三：线性回归方程有预测的作用，得出的结果不是准确结果，误以为结果，误以为D D项是对的项是对的. .4.4.已知已知x,yx,y的取值如下表所示：的取值如下表所示：如果如果y y与与x x线性相关，且线性回归方程为线性相关，且线性回归方程为 , ,则则 =( )=( ) A. B. C. D. A. B. C. D.解：解：因为因为 又又 , ,7 ybx2b12121101 11010234546x3,y5,33 7 a27153b,b.22所所以以所所以以B B5 5为分析初中升学考试的数学成绩对高一学生学习情为分析初中升学考试的数学成绩对高一学生学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽

22、取了况的影响，在高一年级学生中随机抽取了1010名学生，名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：学生编号学生编号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010入学成绩入学成绩x x6363676745458888818171715252999958587676期末成绩期末成绩y y6565787852528282929289897373989856567575(1)(1)若变量之间具有线性相关关系，求出回归直线若变量之间具有线性相关关系，求出回归直线的方程的方程. .(2)(2)若某学生的入学成绩为若某学生的入学成绩为8080分，试估计他

23、的期末分，试估计他的期末成绩成绩【解析解析】 （1）1(63674588817152995876)7010 x ， 1(65785282928973985675)76,10y1221 0.765 56,niiiniix ynx ybxnx所所以以22.410 8,aybx故所求线性回归直线方程是故所求线性回归直线方程是22.410 80.765 56yx （2 2）某学生入学成绩为）某学生入学成绩为 8080 分，代入上式可求得分，代入上式可求得84y ，即这个学生，即这个学生 期末期末成绩的预测分值约为成绩的预测分值约为 8484 分分 变量间的关系变量间的关系函数关系函数关系相关关系相关关系散点图散点图线性相关线性相关确定关系确定关系线性回归方程线性回归方程不确定关系不确定关系 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.