经典奥数时钟问题(汇编)

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1、精品文档时钟问题解法与算法公式时钟问题的关键点：时针每小时走30 度分针每分钟走6 度分针走一分钟（转6 度）时，时针走0 5 度，分针与时针的速度差为55 度。请看例题：【例题 1】从 12 时到 13 时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A1次 B2 次 C3 次 D4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90 度或者为270 度，理论上讲应为次，还要验证：根据角度差 /速度差 =分钟数，可得 90/5 5= 16 又 4/11 60，表示经过 16 又 4/11 分钟，时针与分针第一次垂直；同理， 270/55 = 49 又 1/11 60，表示经过 49 又 1/11 分钟

2、，时针与分针第二次垂直。经验证，选B 可以。【例题 2】在某时刻，某钟表时针在 10 点到 11 点之间，此时刻再过 6 分钟后的分针和此时刻 3 分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为A10 点 15 分B10 点 19 分C10 点 20 分D10 点 25 分【解法 1】时针 10 11 点之间的刻度应和分针20 25 分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6 分钟后在这一范围的只有10 点 15 分，所以答案为A。【解法 2】常规方法设此时刻为X 分钟。则6 分钟后分针转的角度为6（ X+6 ）度，则此时刻3 分钟前的时针转的角度为0

3、 5（ 3）度，以0 点为起始来算此时时针的角度为0 5（ 3） +10 30 度。所谓“时针与分针成一条直线”即 05（ 3） +10 30 6（ +6 ） =180 度，解得 =15 分钟。著名数学难题：时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。例 1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60 等分，假如时针从12 点开始走过了x 个刻度，那么分针就要走过12x 个刻度，即分针走了12x 分钟。两针在12 点重合后，当分针比时针多走60 个刻度时，出现第一次分针和时针

4、重合；当分针又比时针多走60 个刻度时，出现第二次分针和时针重合； 直至回到 12 点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12x x=60m，其中 m=1， 2， 度为 1 小时，对分针来说1 个刻度就是1 分钟。所以，12 点以后出现第精品文档精品文档出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们如果用 m=11 代入，解得 x=60，出现第十一次重合的时间是12 点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11 次出现两针重合的时间。例 2 已知：挂钟比标准时间每小时慢2 分钟；台钟比挂钟每小时快2 分钟，闹钟比台钟每小时慢 2 分钟，手表比闹钟每小时要

5、快2分钟。试问：手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？解： (1)标准时间走60 分钟时，挂钟时间走58 分。(2) 因为台钟比挂钟每小时快2 分钟，所以挂钟走 60 分钟时，台钟走62 分钟。设当标准时间走 60 分时，即挂钟走 58 分，台钟走 x1分钟，则(3) 因为闹钟比台钟每小时慢 2 分钟，所以台钟走 60 分钟时，闹钟走 58 分钟。设当标准时间走 60 分，台钟走 x1 分时，闹钟走 x2 分，则(4) 因为手表比闹钟每小时快 2 分钟，所以闹钟走 60 分钟时，手表走 62 分钟。设当标准时间走 60 分时，闹钟走 x2 分，手表走 x3 分，

6、则答：手表走时不准，走慢了，每小时慢0.133 分，即大约慢8 秒。例 3 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？解：设在钟盘面上时针转过x 格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45 x)分，由于分针转动的速度是时针的12 倍，所以有方程例 4 时钟的分针和时针在24 小时中，形成过多少次直角？解：因为时针1 小时转动30，所以1 分钟转动0.5，分针每分钟转动6设 x 分钟后，时针与分针成直角，则有方程x(6 0.5 )=90针 24 小时会有多少次差90的倍数呢？设有n 次，则由此解得n=88在这 88 次中，时针与分针所成角度分别为90，180，270， 360，其中 180，3

7、60不合要求，因此总共有44 次直角。( 注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例 5 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？直线上。也可这样解：设经 x 分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x 分的刻度，而时例 6 在早上不到6 点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3 分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设此时是5 时 x 分，在手表面上，因为分针1 分钟转动6，时针1 小时转动30，则 1 分钟转动 0.5，时针从0 点到 5 点 x 分转动了 (150 0.5x) 度，分针从0 分到 x 分转动了 6x 度。因为此时分针还差3 分钟与时

8、针重合，即还差3 6 =18，所以有方程1500.5x 6x=18精品文档精品文档解之，得 x=24 所以，此时为 5 时 24 分。下面是关于时钟的一个更精彩的算题。我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考。设想钟表的位置在 12 点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在6点整时，如果把长短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，这种情况不可能发生。那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所指

9、的仍是实际上可能的时间？爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间。说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短。问题是怎样解决的呢？第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例1 中已经解决，总共在钟面上有11 个位置。除此以外还有没有其他可能呢？设时钟走了x 个刻度，分针走了y 个刻度，仿照例1 有方程当两针对调后，就变成时针走了y 个刻度，分针走了x 个刻度。如果设分针已在此之前走了 n 圈，又可得方程把 m， n 看成已知数解这个方程组，得由 0 x， y 60， m， n

10、 为正整数，可知 m， n 只能取从 0 到 11，总共有 144 组解。其中当m=0， n=0 与 m=11， n=11 时，两针都是在 12 这个位置 , 当 m=n 时，就是第一类情况中的11 个重合的位置。当m n 时，可求出其余的两针不重合时的另外的132 个位置。对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向 12，时针指向 2，分针在时针后 5 2 10（小格）。而分针每分钟可追及 1（小格），要两针重合， 分针必须追上 10 小格，这样

11、所需要时间应为 （ 10 ）分钟。解：（ 5 2）（ 1） 10 10（分）答： 2 点 10 分时，两针重合。2、在 4 点钟至 5 点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30 小格。在 4 点钟的时候，分针指向12，时针指向 4，分针在时针后 5 4 20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（ 20 小格）并超过时针（ 30 小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20 30）小格。解： （ 5 4 30）（ 1） 50 54（分）答：在 4 点 54 分时，分针和时针在同一条直线上。精品文档精品文档3、在一点到二点之间

12、，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15 小格（或在前或在后） ，一点时分针在时针后515小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5 1 15）小格或追及（ 5 1 45）小格。解： （ 5 1 15）（ 1） 20 21（分）或（ 5 1 45）（ 1） 50 54（分）答：在 1 点 21 分和 1 点 54 分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。 （每整点，是几点敲几下；半

13、点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午 12 点以后。 12 点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（ 0 30）（ 1） 30 32（分）即 12点 32分。第二次成一条直线时刻是：（ 5 1 30）（ 1） 35 38（分）即 1点38分。第三次成一条直线的时刻是：（ 5 2 30）（ 1 ） 40 43（分）即 2点43分。如果从12 点 32 分开始，到1 点 38 分，只敲2 下，到 2 点 43 分，就共敲5 下（不合题意）如果从1 点 38 分开始到2 点 43 分，共敲 3 下。因此，小明应从1

14、点38分开始看书，到 2点 43 分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12 点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午 5 点 30 分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5 点 30分？分析： 1、这钟每小时慢5 分钟，也就是当标准钟走60 分时，这挂钟只能走60 5 55（分），即速度是标准钟速度的。2、因每小时慢 5 分，标准钟从中午12 点走到下午5 点 30 分时，此挂钟共慢了 5（ 1712） 27（分），也就是此挂钟要差27 分才到5点 30 分。3、此挂钟走到 5 点 30 分，按标准时间还要走27 分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27 分所要时间

15、应是27。解： 5（ 17 12） 27（分）27 30（分）答：再经过 30 分钟，该挂钟才能走到5点 30分。解题关键： 时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按 “时”分为 12 大格，按“分”分为 60 小格。每小时，时针走1 大格合 5 小格，分针走 12 大格合 60 小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。例 1：从 5 时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5 时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25 个小格 (表面上每个数字之间为 5 个小格 )，如果要成直线， 则分针要超过时针30 个小格， 所以在此时间段

16、内，分针一共比时针多走了55 个小格。由每分钟分针比时针都走11/12 个小格可知，此段精品文档精品文档时间为 55/(11/12)=60 分钟，也就是经过60 分钟时针与分针第一次成了直线。例 2：从 6 时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6 时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30 个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30 个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11 分钟。例 3：在 8 时多少分，时针与分针垂直?8 时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40 个小格。如果要两者垂直，有两种情况，

17、一个是第一次垂直，此时两者间隔为15 个小格 (分针落后时针)，也就是分针比时针多走了 25 个小格，此段时间为 25/(11/12)=300/11 分钟 ;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为 15 个小格 (但分针超过时针 )，也就是分针比时针多走了 55 个小格，此段时间为 55/(11/12)=60 分钟，时间变为 9 时，超过了题意的 8 时多少分要求， 所以在 8 时 300/11 分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出， 求解此类问题 (经过多少时间，分针与时间成多少夹角 )时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。 解决

18、此类问题的一个 关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格 ，而不论两者分别走了多少个小格。 下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60 个小格，这里计算就以小格为单位。1 分钟时间，分针走1 个小格，时针指走了1/60*5=1/12 个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12 个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题

19、非常方便、快捷。例 4：从 9 点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45 个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30 个小格，那么分针要比时针多走15 个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11 分钟。例 5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45 个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0 个小格，那么分针要比时针多走45 个小格，此段时间为 45/(11/12)=540/11 分钟。例 6：时钟的分针和时针现在

20、恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0 个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为 30 个小格，那么分针要比时针多走30 个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11 分钟。【针对性练习】1. 十点与 11 点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？ ()A.10时 21 分B.10时 22 分C.10 时 21D.10时 21 分2 现在是下午3 点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在 4 点与 5

21、点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9 点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？精品文档精品文档【参考答案详解】1. 答案 A 满足 . 分针： 6 度 /分时针 0.5 度 /分，十点时，两针夹角为60 度，设需要时间为 x 分，则如图有60-0.5x=180-6x ， x= 分，即 10 时分两针成直线。答案A 满足。2. 现在是下午 3 点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：6 度 /分时针 0.5 度 /分3 点整，时针在分针前面15 格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15 格，即90 度， 用追及问题的处理方法解： 90/(6-0.5)

22、 度 /分 =16 分钟，所以下午 3 点 16 分钟，时针和分针第一次重合。3. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6 度 /分时针 0.5 度 /分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360 度。所以两针再次重合需要的时间为： 360/(6-0.5)=720/11 分，一昼夜有： 24 60=1440 分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440 分 /(720/11)分 / 次 =22 次4. 钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6 度 /分时针 0.5 度 /分5 点零 8 分，时针成角：5 30+8 0.

23、5=154 度，分针成角：86=48 度，所以夹角是154-48=106 度。5 在 4 点与 5 点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整 4 点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20 格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针15 格，或分针领先时针15 格。因此，在相同时间内，分针将 比 时 针 多 走 (20-15) 格 或 (20+15) 格 。 (20-15)/(1-1/12)=60/11, 即 4 点 5 分 ， (20+15)/(1-1/12)=38 分，即 4 点 38 分。6.9 点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？解析：设经过X

24、分， 0.5 X=270-6 X , 解得 X=540/13 分，所以答案是9 点过 41 分。行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网时间 :2010-01-08 |公务员考试论坛| 来源 :中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1.设时钟一圈分成了12 格，则时针每小时转1 格，分针每小时转12 格。2.时针一昼夜（24 小时）转 2 圈，分针一昼夜转24 圈。3.钟面上每两格之间为30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22 次，垂直44 次，成 180也是 22 次。【例 1】清晨 5 点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A.30

25、 度 B.60度 C.90度 D.150度答案 D解析清晨5 点时，时针和分针相差5 格，则 5 30 150。【例 2】中午 12 点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12 点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A. 10 B. 11C. 12 D. 13答案 B解一从中午12 点到晚上 12 点，时针走了1 圈，分针走了12 圈，比时针多走了 11 圈。因此，时针与分针重合了11 次。选择 B。解二根据基本知识点：由于时针和分针24 小时内重合 22次，所以 12 小时内重合 11次。精品文档精品文档【例 3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时

26、针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了 1 小时多少分？（） #中国公务员考试信息网A. 51B. 47 C. 45D. 43答案 A解析根据题意，会议开了1 个多小时，那么分针应该转了1 圈多不到 2 圈，时针转了 1格多不到2 格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T 小时，时针 12小时转一圈，那么 T 小时应该转了 T/12圈；分针1 小时转一圈， T 小时应该转了 T 圈，那么 T+T/12 2，得到 T 24/13 小时，约合 1小时 51分。【例 4】某时刻钟表时针在10 点到 11 点之间， 此时刻再过6 分钟后分

27、针和此时刻 3 分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A.10 点 15分 B.10点 19分C.10 点 20分 D.10点 25分答案 A解析代入 B、C 、D，很明显，这三个时刻的3 分钟之前都还是10 点多，因此时针在钟面上的“ 10”与“ 11”之间，而这三个时刻6 分钟之后已经至少是25 分了，即分针已经在钟面上的“ 5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“ 10”与“ 11”之间反过来对应的是“ 4”与“ 5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T T0+111T0 ，其中： T 为追及时间

28、，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。例 5从钟表的12 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。A. 43 分钟 B. 45 分钟 C. 49 分钟 D. 61 分钟答案 C解析 从 12点整往后， 时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0 45（分钟），根据公式，其间隔时间T T0+T0/11 49（分钟）。【例 6】（国家2006 一类 -45、国家 2006 二类 -45）从 12 时到 13 时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?（）A.1 次B.2次C.3 次 D.4次答案

29、B解一从 12时到13 时，时针旋转了30；分针旋转了 360。分针与时针所成的角度从 0变化到 330（其中包括90和 270），因此有 2 次成直角的机会。选择 B。解二根据公式：从12 点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15 分钟或45 分钟，追及时间为15+1511=16411、 45+4511=49111 分钟，所以垂直两次。【例 7】（广东2008 年）时针与分针在5 点多少分第一次垂直？（）A.5 点10分B.5点 101011分 C.5 点 11分D.5点 12分答案 B解析根据公式：时针与分针5 点后第一次成直角的“静态时间”为10 分钟，追及时间为 10+1011=

30、101011 分钟，所以选择 B。 强华公务员【例 8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A. 32B. 32811 分 C. 33 分D. 34 分精品文档精品文档答案 B解一根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30 分钟，代入公式算得追及时间为30+3011=32811 分钟，所以选择B。解二根据基本知识点：时针与分针24 小时内垂直44 次，所以垂直间隔为：246044=32811 分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准比”，按比例计算。【例 9】（国家 2005 二类 -46）有一只钟，每小时慢3 分钟，早晨4 点 30

31、分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10 点 50 分的时候，标准时间是多少?（）A.11 点整B.11点 5分C.11点 10分D.11点 15分答案 C解析标准比：标准时间走60 分钟时，慢钟走57 分钟。此时，慢钟从4 点 30 分走到 10点 50 分，一共走了6 小时 20 分，合 380 分钟，假设标准时间走了x 分钟，那么：x 380=6057，可得： x 400（分钟）。说明标准时间比慢钟快400-380 20 分钟，慢钟走到了 10点50 分，实际上应该是 11 点 10 分了。【例 10】（国家 2005 一类 -46）一个快钟每小时比标准时间快1 分钟，一个慢钟

32、每小时比标准时间慢 3 分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24 小时内，快钟显示 10 点整时，慢钟恰好显示9 点整。则此时的标准时间是多少？（）A.9 点15分B.9点30分 C.9点 35分 D.9点45分答案 D解析快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1 3。假设现在是 9 点 x 分（快钟显示 10点整，慢钟显示9 点整），那么（ 60-x）（ x-0） 1 3，解得： x 45。所以标准时间是9点 45分。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求时间差：例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？A.8 小时

33、B.8 小时 30 分C.9 小时 30 分 D.9 小时 50 分解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C求慢（快）表在几小时后显示什么时间？例：有一只钟，每小时慢3 分钟，早晨 4 点 30 分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午 10 点 50 分的时候，标准时间是( )。A 11 点整 B 11 点 5 分 c1l 点 1O 分 D 11 点 15 分解析：慢表显示经过的时间是：10： 50-4： 30=6 小时 20 分钟 =380 分钟，实际经过的时间应该是： 380 （ 60-3） /60=400 分钟 =6 小时 40 分钟，答案为C ：

34、 4： 30+6： 40=11： 10。例：一个快钟每小时比标准时间快1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3 分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24 小时内，快钟显示 10 点整时，慢钟恰好显示9 点整。则此时的标准时间是 ( )。A 9 点 15 分 B 9 点 30 分 c 9 点 35 分 D 9 点 45 分解析：这是 2 个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4 分钟的差距，而4 分钟里面， 1 分钟时快走精品文档精品文档造成的， 3 分钟时慢走造成的。所以当它们（快慢钟）的差距有60 分钟时，那么一样， 1/4的时间 =15 分钟

35、时快走造成的， 3/4 的时间（ 45分钟）时慢走造成的。所以标准时间为9 点45 分，答案为 D。戴晓东总结： 其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢（快）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。延伸：通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。例：中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？万学金路戴晓东强调要解

36、答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有 60 个小格，这里计算就以小格为单位。1 小时时间，分针走60 个小格，时针只走了 5 个小格，所以每小时分针比时针多走55 个小格。解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：时针 : v1=5 格 /小时 分针： v2=60 格 /小时n*60= （ v2-v1） *12即：重合一次，多走60 个格，假设重合了N 次，所以多走了n*60 ；再有，一小时多走（60-5）个格，总共走了12小时，所以多走了（ 60-5） *12 个格。解出： n=11例：从 6 时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？解析： 6 时整

37、时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30 个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30 个小格，此段时间为30/55=6/11 小时 =360/11 分钟。例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？解析： 9 时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45 个小格。如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0 个小格，那么分针要比时针多走45 个小格，此段时间为 45/55 小时 =540/11 分钟。总结： 这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度差。 而在时针与分针重合问题中，路程

38、差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小时差 55 格（前面已经分析过） 。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次 ,这只钟每昼夜慢多少分钟?解析：正常的钟每隔(12/11)小时 =(720/11) 分钟重合一次，爷爷家的老式钟是 726/11 分钟重合一次，慢了6/11 分钟。每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11) 】 *60=1/2分钟。一昼夜共慢了 1/2*24=12 分钟。时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。例： 1 个小时内分针和秒针

39、共重叠（）次。A.60 B.59 C.61 D.55这个题目很多人认为是61 次，我们来讨论一下：首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻分针和秒针都是在 12 上0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，。 58， 59， 60我们来仔细分析精品文档精品文档当 0 分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1 次重叠。但是在0 1 之间却是没有重合的，因为当秒针从 12 转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12， 1 格子的角度了。从 1 2 分钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了59 60 分钟之间，最后是分针和秒针同

40、时到达12上，形成了最后一次重复。在59 60间隙里面也是没有重合的。这样我们就可以把开始 0位置上的重合看作是0 1 上的重合， 60 上的重合看作是 59 60之间的重合，整个过程就发现就是60 次。其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了2 个结果。就是看间隔。59 个间隔至少有 59次相遇。第一次的间隔没有。这里有一个问题， 很多人认为当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情况来做。时钟问题经典例题详解例：现在是2 点，什么时候时针与分针第一次重合？析： 2 点时候，时针处在第10 格位置，分针

41、处于第 0格，相差 10格，则需经过 10 / 11/12分钟的时间。例：中午 12点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60 格，则分针追赶时针一次，耗时60 /11/12 720/11 分钟，而 12小时能追随及12*60分钟 / 720/11分钟 /次 =11 次，第 11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12 点第一次重合的次数，应为11 次。如果题目是到下次12 点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。2.分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60 秒钟走一格，则分针每秒钟走1

42、/60格，每秒钟秒针比分针多走 59/60 格例：中午 12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时， 60 格 / 59/60 格 / 秒 = 3600/59 秒。而到 1 点时，总共有时间3600 秒，则能追赶， 3600秒 / 3600/59秒 /次 =59 次。第 59 次时，共追赶了， 59次 *3600/59秒 /次 =3600秒，分针走了 60格，即经过1 小时后，两针又重合在12点。则重合了59 次。3.时针与秒针秒针每秒走一格，时针3600 秒走 5 格，则时针每

43、秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。例：中午 12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12 点时，时针与秒针重合了多少次?析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追 719/720 格，则要一次要追60 /719/720=43200/719 秒。而 12 个小时有 12*3600秒时间，则可以追 12*3600/43200/719 710精品文档精品文档次。此时重合在 12点位置上，即重合了719 次。4.成角度问题例：在时钟盘面上，1 点 45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？析：一点时，时针分针差5 格，到 45分时，分针比时针多走了11/12*45 41

44、.25 格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是 360/60 6 度，则成夹角是,36.25*6=217.5 度。5.相遇问题例： 3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？析：作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1 格的速度相向而行，当时针和分针离 3 距离相等，两针相遇，行程15 格，则耗时 15 / 1+ 1/12 =180/13 分。例：小明做作业的时间不足1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？析：只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A ，时针走了小弧A-B

45、，即这段时间时针和分针共走了 60 格，而时针每分钟1/12 格，分针 1 格，则总共走了 60/ (1/12+1)=720/13 分钟，即花了 720/13 分钟。钟表上的追及问题新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在 3 点和 4 点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针： （ 1）重合；（ 2）成平角；（ 3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢， 而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟表面的外周长被分为60 个“分格”，时针 1 小时走 5

46、 个分格，所以时针一分钟转1 分12格，分针一分钟转1 个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。解析（ 1）设 3 点 x 分时，时针与分针重合，则分针走x 个分格，时针走x 个分格。12因为在 3 点这一时刻，时针在分针前15 分格处，所以当分针与时针在3 点与 4 点之间重合时，分针比时针多走15 个分格，于是得方程xx15 ，解得 x16 4 。1211所以 3 点 16 4 分时，时针与分针重合。11（2）设 3 点 x 分时，时针与分针成平角。因为在3 点这一时刻，时针在分针前15 分格精品文档精品文档处，而在 3 点到 4 点之间，时针与分针成一平角时，分针在

47、时针前30 分格处，此时分针比时针多走了 45 分格，于是得方程 xx45，解得 x 491 。1211所以 3点491 分时，时针与分针成平角。11（3）设 3 点 x 分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15 分格处，所以在3 点到4 点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了x30 ，解30 分格，于是得方程 x128得 x32。所以 3 点 32 8 分时，时针与分针成直角。11二. 度数法对钟表而言，时针12 小时旋转一圈，分针1 小时旋转一圈，转过的角度都是360，所以时针 1 分钟转过的角度是 0.5，分针 1 分钟转过的角度是 6。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这

48、道题。解析（ 1）设 3 点 x 分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x ，分针旋转的角度是6x。整 3 点时，时针与分针的夹角是90，当两针重合时，分针比时针多转了90，于是得方程6x05. x90 ，解得 x16 4 。11（2）设 3 点 x 分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90 +180=270 ，于是得方程6x0.5x270 ，解得 x49 1 。11（3）设 3 点 x 分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了9090180 ，于是得方程 6x0.5x180 ，解得 x32 8 。11练一练1. 钟表上 9 点到 10 点之间，什么时刻时针与分针重合？2.

49、 钟表上 5 点到 6 点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？3. 钟表上 3 点到 4 点之间，什么时刻时针与分针成40的角？4. 钟表上 2 点到 3 点之间，什么时刻时针与分针成一直线？（参考答案： 1.9点491分； 2.5点 437或5点1010分；1111113.3点 91分或3点23 7分； 4.2点 437分。）111111精品文档精品文档1、钟表指针重叠问题时钟问题详细讲解我只是在论坛看到相关内容，并加以整理：一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？（ 2006 国家考题）A 、10 B、11 C、12 D、

50、13 答案 B2、中午 12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？A 、60 B、 59 C、61 D、62 答案 B讲讲第 2 题，如果第2 题弄懂了第 1 题也就懂了！给大家介绍我认为网友比较经典的解法：考友 1.其实这个题目就是追击问题， 我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分针速度的60 倍，秒针和分针一起从12 点的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1 格/秒，那么秒针的速度就是60 格/ 秒，设追上的时候路程是S，时间是 t，方程为 (1+60)t S 即 61t S，中午12 点到下午 1 点，秒针一

51、共走了3600 格，即S 的范围是 0S3600 ，那么 t 的范围就是 0t3600/61,即 0t59.02 ，因为 t 只能取整数，所以 t 为 1 59，也就是他们相遇 59 次。第 1 题跟这个思路是一样的，大家可以算算！给大家一个公式吧 61T S （ S 为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数， 确定 S 后算出 T 的最大值就知道相遇多少次了）如第 1 题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为12 小时，也就是说分针走了720格T(max)=720/61.8 ，取整数就是11。1、钟表指针重叠问题中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？A 、10 B、11 C、12 D、13考友 2.这道题我是这么解,大家比较一下 :解 : 可以看做追及问题,时针的速度是 :1/12 格 /分 分针的速度是:1 格 /分 .追上一次的时间=路程差 /速度差 =60/(1-1/12)=720/11 分从 12 点到 12 点的总时间是720 分钟 ,所以重合次数