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1、正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（ 1）当ABC是锐角三角形时， 设边 AB上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，有 CD asin B , CDb sin A 。C由此，得ab同理可得cbbasinAsinsinCsin B ，B ，故有abcABsinA sinBDsin C . 从而这个结论在锐角三角形中成立 .（ 2）当ABC是钝角三角形时，过点C 作 AB边上的高，交 AB的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义， 有 CD asinCBD a sinABC CDb sin A。由此，得ab同理可得cbsin AsinABC，sinCsin ABCC故有abcs
2、inA sinABC sinC .baabc由 (1)(2)可知，在ABC中，成立 .sin A sin Bsin CAD从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等B，即abcsin Asin BsinC .1用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点 A，点 B 之间的距 AB|，可测量角 A 与角 B，需要定位点 C，即：在如图 ABC 中，已知角 A ，角 B， AB c，求边 AC的长 b解：过 C 作 CD AB交 AB于 D，则DCBDcsin Acsin AcosCtan CsinCsinCADc cosAcosCb ACADDCc cosAc
3、sin A cosCc(sinC cosA sin A cosC )csin BsinCsinCsinC推论：bcsinCsin B同理可证：abcsinB sinCsin A2.利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC, 设 BC a, CA b,AB c,作 AD BC, 垂足为则 Rt ADB中 ,sin BADAAB SABC11同理 可证ABC11bcsin A=a ADac sin BS=absin C2222 SABC=111C2ab sin C2bc sin Aacsin BD2在等式两端同除以 ABC, 可得 sin Csin Asin B即abc.cabsin Asin Bs
4、in C3.向量法证明正弦定理(1)ABC 为锐角三角形 ,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j与 AB 的夹角为90-A,j 与 CB 的夹角为 90-C由向量的加法原则可得ACCBAB为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算 ,得到 j(ACCB)jAB由分配律可得 ACjCBjAB |j|ACCBABjCos90 +|j|Cos(90 -C)=|j |Cos(90 -Aacsin A sin C另外 过点C作与 CB 垂直的单位向量j ,则j与 AC的夹角为与AB的夹,90 +C,j角为 90+B,可得cbsin Csin B(此
5、处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 AC 的夹角为 90-C,j与 AB 的夹角为 90-Babcsin Asin Bsin CBC(2)ABC 为钝角三角形 ,不妨设 A 90,过点 A 作与 AC 垂直的单位向量 j,则 j与 AB 的夹角为 A-90 ,j 与 CB 的夹角为 90-CC由 ACCB AB ,得 j ACjCB =jABj即 aCos(90-C)=c Cos(A-AacABsin Asin C另外 ,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j ,则 j与 AC 的夹角为 90+C,j 与 AB 夹角为B.同理 , 可得bcabcsin B. simAsin Bsin Csin C4.外接圆证明正弦定理在 ABC 中 ,已知 BC=a,AC=b,AB=c, 作 ABC 的外接圆 ,O 为圆心 , 连结 BO 并延长交圆于 B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到cc BAB=90， C = B， sinC=sinB= sin C sin B2R2Rsin C同理 ,可得ababc2Rsin A2R,2R sin Bsin Csin Bsin A这就是说 ,对于任意的三角形 ,我们得到等式abcsin Asin Bsin C
正弦定理的几种证明方法.
