极限与连续地62个典型习地的题目

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1、实用标准文档极限与连续的62 个典型习题1习题 1设 ai0, i1,2,m ，求 lim (a1na2namn ) n .n解 记 amax a1 , a2 , am ，则有11(a1na2nam n ) n( a n ) na ， lim aa . 另一方面nnnn111(a1a2( man ) na (m) n .am) n111a . 利用两边夹定理，知因为 lim m n(lim n m)1，故 lim a m nnnnnnn1) na ，其中 amax a1 , a2 ,am .lim (a1a2amn19 .例如lim (13n5n9 n ) nn习题 2求 lim (12n)

2、.222nnn1nn2nnn解12n12n2n12n ,n2n nn2n 1 n2n 2n nn2n 1即n(n1)12nn(1n)2( n22n)n2n1n2n2n2nn2(n2n 1)n(1n)n1111limlimlimn.2n2(n2n)n2n4n242nn(1n)111limlimn.2n2(nn1)n2222nn 2利用两边夹定理知lim (21222n)1 .nnn1 nn2nnn2精彩文案实用标准文档习题 3求 lim (1211) n .n1 23n( n1)解 lim (111)nlim (11)(11)(11)nn12 23n( n 1)n22 3n n 1lim (11

3、) nlim (11)( n 1)1lim (11) n1(11)1nn1nn1nn1n1lim (11) ( n1) 1lim (11) 1e 11e 1n(n1)nn1习题 4求 lim 1n x(m,nN ) .x1 1m x解（变量替换法）令 tmn x ，则当 x1时， t1.于是 ,原式lim1t mlim (1t )(1tt 2t m 1 )m .t11tnt1 (1t )(1tt 2t n1 )n习题 5求 lim (x)x .xx1解（变量替换法）令xt, x,t，原式lim (t 2)tlim (tt)tlim (111(11)1t2)tt1tt1 t1tttlim (11

4、t(11)te1ee01 .)ttt习题 6求 lim ( 3ex1(型) 。)sin x1x02x为了利用重要极限，对原式变形x1x1lim ( 3e )lim ( 2x1xesin x) sin xxo2xxo2x1xex2x1 e x x1lim(1)1 xex2xsin xxo2xx2xxx12lim (11xe) 1 x e xee 12x sin x2xo2x精彩文案实用标准文档习题 7求lim1x1x2.解 原式x2x0lim (1x1x2)(1x1x2)x02(1x1x2)xlim 1x1x21x24x 0x2(1x1x2)lim2(1x 21)1 x 2)( 1 x2x 0

5、x 2 ( 1 x1)lim221 .x 0 ( 1 x1 x 2)( 1 x21)4 24习题 8求 lim4x26x5 .解 由于x3x24x 2465lim6x5limxx 22.3x223xx3x265而 lim4 x26x 5limx(4x x2)3x22xxx(3)x6565lim| x | ( 4xx2)lim(4xx2 )2x2x23x(3)(3)xxlim4x 26x5lim4x 26x5 . 故 lim4x26x 5 不存在。x3x2x3x2x3x2习题 9研究下列极限（ 1） limsin x .xx1 sin x ，其中 lim1原式lim0 ，| sin x | 1

6、. 上式极限等xxxx于 0，即 lim sin x0 . （2） lim xsin 1 .xxx0x精彩文案实用标准文档因为 | sin 1|1 ， lim x0 ,所以 lim xsin 10 .xx0x0xsin 1 .sin 1sin 1（3） lim x原式limxlimx1.xxx1101xxx习题 101.计算 lim ( xa x) x ,(a0, a1)x 011ax解 原式xa x ) xalim a(1xax ) xa lim (1xx0x01xa lim (1xalim aae1ae .x ) xa x x0x 0习题 11lim x 1lim e ln x1lim e

7、 ln x1ln xx 1 x 1x 1x 1x 1ln xx 1lime ln x1limln1 (x 1)11.ln x0ln x( x1)0x1习题 12已知 lim x2bxc5 ，求 b, c 的值。x11x解 首先 lim x2bxc1bc0， b1cx1原式 lim ( x1)( xc)lim ( xc) c15，x1( x 1)x1 c 6，而 b(1c)(16)7.习题 13下列演算是否正确？21lim xsin x2lim x1sin 10.x0sin xx00sin xx2x有界1习题 14求 lim (sinx1sinx ) .x解 原式lim2sinx1xcosx1x

8、x22精彩文案实用标准文档2 lim sin1cos x 1x0 .x2(x 1x )2习题 15求lim 3 x2 sin x2 .x x 13 x231解 limlimx0， | sin x2 |1，原式 = 0.xx1x11x习题 16证明lim ( xm )k xbek ( m n ) （ m, n, k, b 为常数）。xxn证 lim ( xm )k x blim ( xn( mn) ) k xb（令11）xxnxxnxn ylim ( xm ) kxblim (1mn )k ( y n)byxnyyylim (1m n k ( m n) m nk n by)ym nym nlim

9、 (1m nk ( m n )lim (1k n b)yyyyek (m n) 1ek ( mn) .3习题 17求 lim (1sin x) x .x013 sin xe 3 .解 原式lim (1(sin x)sin xxx0习题 18求 lim ln xln a .解 (连续性法 )xaxaln x1原式 lim1lim ln( x ) x axaxaaxaaa1a111 ln e1 .lim ln1xa xa aln lim (1xa ) x a aln eaxaaxaaaa精彩文案实用标准文档习题 19试证方程xa sin xb （其中 a0, b0 ）至少有一个正根，并且它不大于a

10、b.证 设 f (x)a sin xbx ，此初等函数在数轴上连续，f (x) 在0,ab 上必连续。 f (0)b0,而f (ab)a sin(ab)(ab)basin( ab)1 0若 f (ab) 0 ，则 ab 就是方程 xa sin xb 的一个正根。若 f ( ab)0 ，则由零点存在定理可知在( 0, ab) 内至少存在一点(0, ab) ，使 f ()0. 即a sinb.故方程 xa sin xb至少有一正根，且不大于 ab.1习题 21求 lim (cos x)1cos x .x 0解原式11 1e 1 .lim 1(cos x1) cos xx 0习题 20 设 xn 满

11、足 xn0 且 limxnr 1. 试证 lim xn0.nxn 1n证limxnr1, 取1r0,N ,使得当 n N 时有nxn12xnr1 r , 即 0xnr1 rr 1 , 亦即 0 xnr 1 xn 1,xn 12xn1222于是递推得0xnr1 xn 1( r1) 2 xn 2 .( r 1)n NxN222r11,lim ( r1) nN xN0, 从而由两边夹准则有limxn 0.2n2n习题 22用定义研究函数f (x)1x 1x0的连续性。x0x0证 首先，当 x 0,f ( x)1x1 是连续的。同理，当x精彩文案实用标准文档x 0, f (x) 0 也是连续的。而在分

12、段点 x 0 处lim f (x)lim 00f (0),x0x0limf (x)lim1x10f (0).xx0x 0所以limf (x)f (0).故 f ( x)C(,) .x 0习题 23求证 n limn1 3 5(2n1)1 .246 2n证 n1n1 3 5(2n1)1 ，而2n24 62nlim n1lim n11lim n1lim11 11 . 由两边夹定理知，n2nn2 n nn2 nn n1原式成立 .习题 24设 F ( x, y)f ( y x), F (1, y)y2y5. 任取 x00, 记2x2x1F ( x0 ,2x0 ),., xn 1F (xn ,2xn

13、),.试证 limxn 存在，并求极限值。n证f ( y1)y 2y 51 (y) 29,F (1, y)222xf ( y1) ( y 1) 29,f ( y x) ( y x) 29. 故F ( x, y)( y x) 29.由题设2 xx1( 2x0x0 ) 29 x029, x2x129xn29由于2x02x0, . , xn 12xn, .2x1xn 11 ( xn 9 )xn93, xn 11 (192 )1 (192) 12xnxnxn2xn23xn 1 xn. 故 xn 单调有下界，故有极限。设 lim xnA,n精彩文案实用标准文档由 xn1xn29AA29 ,解出 A 3（

14、舍去 A3 ）。2xn2 A习题 25 设 x00, xn11xn, n1,2,., 求 limxn .1xnn解 显然 x0 0, xn11xn2. xn 有上界 2 ，有下界 0.1xnx1 x01x0x01 x0x02, 当 0x01 5 时1x01x021 x0x020, 即 x1x0 , 假设 xnxn 1 ,则xn 1xnxnxn 1xnxn 10.故 xn 单增。lim xn1xn 1xn(1xn )(1xn1 )1n存在。设 limxnA, 则由 lim xn 11lim1xn得 A 1A , 即nnnxn1AA2A10,A125 （舍去负值）。当 x015 时，有 x1 x0

15、,2用 完 全 类 似 的 方 法 可 证 xn 单 减 有 下 界 0 ， 同 理 可 证lim xn1 5 .n2习题26 设数列 xn 由下式给出x1 2, xn 1 21 , n 1,2,. 求xnlim xn.n解 xn 不是单调的，但 x2n 1 单增，并以3 为上界，故有极限。设 lim x2 n 1 B. x2n 单减，并以 2 为下界，设limx2 n C. 在等式nnxn 1 21 两边按奇偶取极限，得两个关系B 21 , C21 ，xnCB解出 BC. 由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此 xn 精彩文案实用标准文档的极限存在，记 limxnA. 于是 lim xn

16、 1lim (21 ).故有 A21 ,nnnxnA解出 A12, （舍去负值 12 ）习题 27设 x10, xn 1xn2 ,试证 xn 收敛，并求极限。xn1证 显然 xn0, 假设 lim xn A, 则由 xn1xn2 令 n，可解出nxn1A 2（舍去2 ）。下面证明 xn 收敛于2.由于xn2(21)( xn12)( 2 1) xn 12 ，xn11递推可得 xn2(21) 2 xn22 .(21)n1 x12lim ( 21)n 10. 由两边夹可得 lim xn20. 故 lim xn2.nnn习题 28 设 f1 (t )f (t)0,fn 1(t)2 fn2 (t ).

17、试证1 fn2 (t )（1） t , limfn (t ) 存在；（2）当 f (t ) 1 时， lim fn (t)1; 当 f (t )1 时，nnlimfn (t )0;n证n, 显然有 f n (t)0, 又 f n 1 (t )fn (t )f n (t) f n (t)1 20.1f n2 (t)t, f n (t) 单减有下界。收敛。令 limf n (t)F (t), 在原式两边取n极限得 F (t )2F 2 (t ). 由此可解出 F (t )0 或 F (t)1. 当 f (t)1 时，1F 2 (t)f 2 (t)2 f12 (t)2 f 2 (t )1.归 纳 假

18、 设 f k (t)1,则 f k2 (t)1,而1 f12 (t )2 f 2 (t )f k 12 f k2 (t)2 fk2(t )(t )2 fk21,1 fk2 (t )(t )F (t) 1. 即 limf n (t)1, ( f (t )nn ， 有f n (t )1.因 此f (t )1 时1时）。精彩文案实用标准文档当 f (t )1 时，由 fn (t ) 的单减性便知即当F (t )0 时，即lim f n (t)0（当 f (t)1时）。n1lim ( 1sin 21习题 29lim ( cos x ) sin xsin 2xx ) 2sin xsin 2 xx 0co

19、s2xx0 1sin 2 2x1113(1sin 22x 4 cos xelimx) sin4e4 .1cos x)e1x0sin2 2x) sin 2(12 x习题 30( xn )n0.若 xn 收敛，则 limn !n证 xn 收敛，设 limxnA. 故 xn 必有界。设nxnB, n1,2,. 因此 0( xn )nBn , 而 Bn0,lim ( xn ) n0.n!n!n!nn!习题 31求 limn !(0n !12n1, limn !0)n2 .n2nnnnn2nn变量替换求极限法（为求 limF ( x), 有时可令 x( y), 而 F (x)F ( y)）x a1习题 32求 lim(1x)1（为自然数）x 0x1( y 1)1解 令(1x)1 y,则 x因此,1(1x)1limylimylimx1)1c1 y1. c1 y 1 1x0y0 ( yy 0 ylimy 1c1 y2.y 0ym 1x11 x习题 33求 limx2m .x0精彩文案实用标准文档解 令 m 1x1y,x( y1) m 1, 且当 x0 时 y0,故 原式y1 (1y) m1m1 y2.m1limmlim2( y 1)m122y2.2m2 .y 0y 0m