高中数学 2.2.1向量的加法课件 北师大版必修4

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1、 利用向量的加法法则作图利用向量的加法法则作图 利用向量的加法法则作图的注意事项利用向量的加法法则作图的注意事项(1)(1)用三角形法则求和向量时用三角形法则求和向量时, ,关键要抓住关键要抓住“首尾相接首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；点；(2)(2)用平行四边形法则求和向量时，应注意用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点共起点”. .(3)(3)在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则在求多个向量的加法作图时，常利用向量的三角形法则. . 当所给的向量不共线时三角形法则和平行四边当所给的向量不共线

2、时三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，且当所给的向量共线时只能用向形法则的实质是一样的，且当所给的向量共线时只能用向量的三角形法则作图量的三角形法则作图. .【例例1 1】已知向量已知向量 求作向量求作向量【审题指导审题指导】向量的位置关系已给出，要作出向量的位置关系已给出，要作出其关键是依据向量的平行四边形法则和三角形法则求解其关键是依据向量的平行四边形法则和三角形法则求解. .a br r、 ，ab.rrab,rr【规范解答规范解答】作法：作法：方法一：方法一：( (三角形法则三角形法则) )如图所示，在平面内取一点如图所示，在平面内取一点O O，作，作 则则方法二：方法二：( (平

3、行四边形法则平行四边形法则) )如图所示，先在平面内取一如图所示，先在平面内取一点点O O，作，作 然后以然后以OA,OBOA,OB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACBOACB，则，则 即为所求向量即为所求向量 的和向量的和向量OAa ABb,uuu rruuu rr，OBab.uuu rrrOAa ABb,uuu rruuu rr，OCuuu ra br r、ab.rr【互动探究互动探究】把题设中向量把题设中向量 的图示换成下图的图示换成下图(1)(2)(1)(2)所所示，试求作向量示，试求作向量 【解题提示解题提示】结合三角形法则及平行四边形的法则求结合三角形法则及平行四边形的法则

4、求解解. .a br r、ab.rr【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示, ,设设 与与 有公共点有公共点A,A,故过故过A A点作点作 连结连结OBOB， 即为即为(2)(2)如图如图, ,设设 过过O O点作点作 则以则以OAOA、OBOB为邻边作为邻边作OACB,OACB,连结连结OC,OC,则则OAaauuu rrrQ，brABb,uuu rrOBuuu rab.rrOAauuu rr，OBb,uuu rrOCOAOBab.uuu ruuu ruuu rrr 向量的加法运算向量的加法运算 向量的加法运算向量的加法运算化简含有向量的关系式一般有两种方法：化简含有向量的关系式一般有两种

5、方法：(1)(1)利用几何方法通过作图实现化简；利用几何方法通过作图实现化简；(2)(2)利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾首尾相连相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量；时也需将一个向量拆分成两个或多个向量；(3)(3)由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行; ;(4)(4)向量求和的三角形法则向量求和的三

6、角形法则, ,可推广至多个向量求和的多边可推广至多个向量求和的多边形法则形法则:n:n个向量经过平移个向量经过平移, ,顺次使前一个向量的终点与后一顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合个向量的起点重合, ,组成一向量折线组成一向量折线, ,这这n n个向量的和等于折个向量的和等于折线起点到终点的向量线起点到终点的向量, ,即即 首尾相接的向量构成封闭的向量链时首尾相接的向量构成封闭的向量链时, ,其和向量其和向量为为0112n 1n0nA AA AAAA A .uuuuruuuuruuuuuu ruuuuu r0.r【例例2 2】(1)(1)化简：化简：(2)(2)已知已知O O为正六

7、边形为正六边形ABCDEFABCDEF的中心，的中心，求下列向量：求下列向量：BCAB;DBCDBC;ABDFCDBCFA.uuruuu ruuu ruuu ruuruuu ruuruuu ruuruurOAOE;AOAB;AEAB.uuu ruuruuu ruuu ruuruuu r【审题指导审题指导】(1)(1)先观察表示向量的有向线段是否首尾相连，先观察表示向量的有向线段是否首尾相连，若否，就先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，若否，就先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和然后利用向量加法的结合律求和;(2);(2)可用向量加法的三角可用向量加法的三

8、角形法则和平行四边形法则形法则和平行四边形法则. .【规范解答规范解答】 (2)(2)由图知，由图知，OAFEOAFE为平行四边形，为平行四边形，由图知，由图知，OABCOABC为平行四边形，为平行四边形，由图知，由图知，AEDBAEDB为平行四边形，为平行四边形， 1BCABABBCAC;DBCDBCBCCDDBBDDB0;ABDFCDBCFAABBCCDDFFAAFFA0.uuruuu ruuu ruuruuu ruuu ruuu ruuruuruuu ruuu ruuu ruuu rruuu ruuruuu ruuruuruuu ruuruuu ruuruuruuruurrOAOEOFu

9、uu ruuruur；AOABACuuu ruuu ruuu r；AEABAD.uuruuu ruuu r【变式训练变式训练】化简下列各式化简下列各式 【解题提示解题提示】利用向量加法的交换律和结合律，结合利用向量加法的交换律和结合律，结合向量加法的三角形法则求解向量加法的三角形法则求解. .【解析解析】(1)(1)原式原式(2)(2)原式原式 1 ACDFCDFA2ABMBBOOM.uuu ruuruuu ruuruuu ruuu ruuu ruuu r；ACCDDFFA0;uuu ruuu ruuruurrABBOOMMBAB.uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 向量加法的

10、应用向量加法的应用 解决与向量有关的实际应用题，应本着如解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：下步骤：【例例】如图所示，在如图所示，在20112011日本福岛抗日本福岛抗震救灾中，一架飞机从震救灾中，一架飞机从A A地按北偏东地按北偏东3535的方向飞行的方向飞行800 km800 km到达到达B B地接到地接到受伤人员，然后又从受伤人员，然后又从B B地按南偏东地按南偏东5555的方向飞行的方向飞行800 km800 km送往送往C C地医院，求这架飞机飞行的路程及地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和两次位移的和. .【审题指导审题指导】【规范解答规范解答】设设 分别表示飞机从分

11、别表示飞机从A A地按北偏东地按北偏东3535的方向飞行的方向飞行800 km800 km，从，从B B地按南偏东地按南偏东5555的方向飞行的方向飞行800 km,800 km,则飞机飞行的路程指的是则飞机飞行的路程指的是两次飞行的位移的和指的是两次飞行的位移的和指的是依题意，有依题意，有ABBCuuu ruur，ABBCuuu ruur；ABBCAC.uuu ruuruuu rABBC8008001 600 kmuuu ruur，又又=35=35,=55,=55,ABC=35,ABC=35+55+55=90=90, ,所以所以其中其中BAC=45BAC=45, ,所以方向为北偏东所以方向为

12、北偏东3535+45+45=80=80. .从而飞机飞行的路程是从而飞机飞行的路程是1 600 km1 600 km，两次飞行的位移和的大，两次飞行的位移和的大小为小为 方向为北偏东方向为北偏东8080. .2222ACABBC800800800 2 km .uuu ruuu ruur800 2 km，【变式备选变式备选】如图，一架飞机从如图，一架飞机从A A地地按北偏西按北偏西3030的方向飞行的方向飞行300 km300 km后后到达到达B B地，然后向地，然后向C C地飞行地飞行. .已知已知C C地地在在A A地北偏东地北偏东6060的方向处，且的方向处，且A A、C C两地相距两地相

13、距300 km300 km，求飞机从，求飞机从B B地向地向C C地飞行的方向及地飞行的方向及B B、C C两两地的距离地的距离. .【解析解析】根据题意和图形，可知根据题意和图形，可知BAC=90BAC=90, , 则可得则可得又由于又由于ABC=45ABC=45,A,A地在地在B B地东偏南地东偏南6060的方向处，可知的方向处，可知C C地在地在B B地东偏南地东偏南1515的方向处的方向处. .ABAC300 kmuuu ruuu r，BC300 2 km.uur【典例典例】(12(12分分) )长江两岸之间没有长江两岸之间没有大桥的地方大桥的地方, ,常常通过轮渡进行运常常通过轮渡进

14、行运输输. .如图所示如图所示, ,一艘船从长江南岸一艘船从长江南岸A A点出发点出发, ,以以5 km/h5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶的速度向垂直于对岸的方向行驶, ,同时江水同时江水的速度为向东的速度为向东2 km/h.2 km/h.(1)(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; ;(2)(2)求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向( (用与江水速度间的夹用与江水速度间的夹角表示角表示, ,精确到精确到1 1).).【审题指导审题指导】本题关键是把实际问题转化为向量问题，再结本题关键是把实际问题转

15、化为向量问题，再结合向量的平行四边形法则作出草图，利用三角形中的边角关合向量的平行四边形法则作出草图，利用三角形中的边角关系求相应数值系求相应数值. .【规范解答规范解答】(1)(1)如图所示如图所示, , 表示船速表示船速, , 表示表示水速水速, ,以以AD,ABAD,AB为邻边作为邻边作 ABCD,ABCD,则则 表示船实际表示船实际航行的速度航行的速度. . 5 5分分ADuuu rACuuu rABuuu r(2)(2)在在RtRtABCABC中，中， 7 7分分所以所以 9 9分分因为因为由计算器得由计算器得CAB68CAB68. . 1111分分答：船实际航行速度的大小约为答：船

16、实际航行速度的大小约为5.4 km/h,5.4 km/h,方向与水的流速方向与水的流速间的夹角约为间的夹角约为6868. . 12 12分分AB2 BC5uuu ruur，22ACABBCuuu ruuu ruur2225295.4.5tan CAB,2【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】如图所示，两个力如图所示，两个力 和和 同时作用同时作用在一个点在一个点O O上，且上，且 的大小为的大小为3 N3 N， 的大小为的大小为4 N4 N，且且AOB=90AOB=90，试作出，试作出 和和 的合力，并求出合的合力，并求

17、出合力的大小力的大小. . 【解题提示解题提示】依据向量的平行四边形法则作出依据向量的平行四边形法则作出 和和 的合力，利用直角三角形的边角关系求出合力的大小的合力，利用直角三角形的边角关系求出合力的大小. . 1Fu r2Fur1Fu r2Fur1Fu r2Fur1Fu r2Fur【解析解析】作出作出 和和 的合力如图所示的合力如图所示. .在直角三角形在直角三角形AOCAOC中中1Fu r2Fur12F3, F4u rur，22212FFF25F5 N.ru rurr1.1.向量向量 表示表示“向东走向东走1 km”1 km”， 表示表示“向南走向南走1 km”1 km”，则，则 表示表示

18、( )( )(A)(A)向东南方向走向东南方向走 kmkm(B)(B)向东南方向走向东南方向走2 km2 km(C)(C)向东北方向走向东北方向走 kmkm(D)(D)向东北方向走向东北方向走2 km2 km【解析解析】选选A.A.结合向量加法的几何意义可知结合向量加法的几何意义可知“ 表示向表示向东南方向走东南方向走 km”.km”.arbrabrr22abrr22.2.在四边形在四边形ABCDABCD中，中， 则四边形则四边形ABCDABCD是是 ( )( )(A)(A)正方形正方形 (B)(B)长方形长方形(C)(C)平行四边形平行四边形 (D)(D)菱形菱形【解析解析】选选C. C.

19、在四边形在四边形ABCDABCD中，中， 结合向量的结合向量的平行四边形法则可知四边形平行四边形法则可知四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .ABADAC,uuu ruuu ruuu rABADACuuu ruuu ruuu rQ，3.3.化简化简 =_.=_.【解析解析】原式原式答案答案: :OBAOBAuuu ruuu ruuu rAOOBBA0.uuu ruuu ruuu rr0r4.4.下列等式正确的是下列等式正确的是_(_(填序号填序号). ). 【解析解析】结合向量加法的运算律可知正确结合向量加法的运算律可知正确, ,结合三角形结合三角形法则可知不正确法则可知不正确.

20、 .答案答案: :a0a,abba,ABBA0rrrrrrruuu ruuu rr5.5.如图所示，已知向量如图所示，已知向量 试求作向量试求作向量【解析解析】如图所示如图所示, ,首先在平面内任取一首先在平面内任取一点点O,O,作向量作向量 接着作向量接着作向量则得向量则得向量 然后作向量然后作向量则向量则向量 为所求为所求. .a b cr r r、 、 ，abc.rrrOAa,uuu rrABc,uuu rrOBac.uuu rrrBCb,uurrOCabcuuu rrrr5.5.如图所示，已知向量如图所示，已知向量 试求作向量试求作向量【解析解析】如图所示如图所示, ,首先在平面内任取一首先在平面内任取一点点O,O,作向量作向量 接着作向量接着作向量则得向量则得向量 然后作向量然后作向量则向量则向量 为所求为所求. .a b cr r r、 、 ，abc.rrrOAa,uuu rrABc,uuu rrOBac.uuu rrrBCb,uurrOCabcuuu rrrr