最大公约数与最小公倍数应用

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1、实用标准文案最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质 1 ：如果 a、b 两数的最大公约数为d ，则 a=md,b=nd,并且（ m,n ） =1 。例如：（ 24,54 ）=6,24=46,54=9 6，（ 4,9 ）=1 。2、性质2 ：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a 与 b 的最小公倍数 a,b 是 a 与 b 的所有倍数的最大公约数，并且a b=a,b（ a,b ）。例如：（ 18 ，12 ）=，18 ，12=（ 18 ， 12 ）18 ， 12=3 、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。文档大全实用标准文案3、辗转相除法二、热点考

2、题：例 1 两个自然数的最大公约数是 6 ，最小公倍数是 72 。已知其中一个自然数是 18 ，求另一个自然数。（运用性质 2）练一练：甲数是 36 ，甲、乙两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 288 ，求乙数。例 2 两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210 。这两个自然数的和是 77 ，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30 。这两个自然数的和是 11 求这两个自然数。”，例 3 已知 a 与 b ，a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15 ，a，b ，c 的最小公倍数是 120 ，求 a，b ，c。

3、分析与解：因为 12 ，15 都是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是 12 ，15=60 的倍数。再由 a ，b ，c=120 知， a 只能是 60 或 120 。a ，c=15 ，说明 c 没有质因数 2，又因为 a ，b ， c=120=23 35 ，所以 c=15 。练一练：已知两数的最大公约数是21 ，最小公倍数是126 ，求这两个数的和是多少？例 4 已知两个自然数的和是 50 ，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。例 5 已知两个自然数的积为 240 ，最小公倍数为 60 ，求这两个数。文档大全实用标准文案习题四1已知某数与24 的最大公约数为4，

4、最小公倍数为168 ，求此数。2已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120 ，求这两个数。3已知两个自然数的和为165 ，它们的最大公约数为15 ，求这两个数。4已知两个自然数的差为48 ，它们的最小公倍数为60 ，求这两个数。5已知两个自然数的差为30 ，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450 ，求这两个自然数。6已知两个自然数的和为900 ，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432 ，求这两个自然数。文档大全实用标准文案7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6 个，如果减少一条船，正好每船坐 9 人，这个班有多少人？8、一个数被 2 除余 1，被 3 除余

5、 2，被 4 除余3，被 5 除余 4 ，被 6 除余 5，此数最小是几？9、已知 A 与 B 的最大公约数为6 ，最小公倍数为 84 ，且 AB42 ，求 B。10 、已知 A 和 B 的最大公约数是31 ，且 AB 5766 ，求 A 和 B。11 、有一盘水果， 3 个 3 个地数余 2 个， 4 个 4个数余 3 ，5 个 5 个数余 4 个，问这个盘子里最少有多少个水果？文档大全实用标准文案家庭练习1.拖拉机前轮直径64 厘米，后轮直径 96 厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2.现在有香蕉42 千克，苹果112 千克，桔子 70 千克，

6、平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等， 那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？文档大全实用标准文案3、一个数被2 除余 1，被 3 除余 2，被 4除余 3，被 5 除余 4，被 6 除余 5，此数最小是几？4、将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。5、两个自然数的最大公约数是12 ，最小公倍数是 72 。满足条件的自然数有哪几组？例 1 用自然数 a 去除 498 ，450 ，414 ，得到相同的余数， a 最大是多少？文档大全实用标准文案分析与解 ：因为 498 ，450 ，414 除以 a 所得的余数相同，

7、所以它们两两之差的公约数应能被a整除。 498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48 ，36 ，84 ）=12 。例 2 现有三个自然数，它们的和是1111 ，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解 ：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几， 似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111 ”入手分析。三个数的和是 1111 ，它们的公约数一定是1111的约数。因为 1111=101 11 ，它的约数只能是1，11 ，101 和 1111 ，由于三个自然数的和是1111 ，所以三个自然数都小于1111 ，1111 不文档大

8、全实用标准文案可能是三个自然数的公约数，而101 是可能的，比如取三个数为101 ，101 和 909 。所以所求数是 101。练习：1、在 1000 到 2000 之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个？2、三个连续偶数， 它们分别是 12 、14 、16 的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9 的倍数，比它们大的这样四个自然文档大全实用标准文案数最小各是多少？4、甲、乙、丙三人沿 600 米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发

9、？5、两数的乘积是 9000 ，它们的最大公因数是 15 ，这个两数各是多少？6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要 1 分、1 分 15 秒和 1 分30 秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？文档大全实用标准文案7、两个小于 150 的数的积是 2028 ，它们的最大公约数是 13 ，求这两个数。8、有一堆桔子，按每 4 个一堆分少 1 个，按每 5 个一堆分也少 1 个，按每 6 个一堆分 还是少 1 个。这堆桔子至少有多少个？【例 3 】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳 4.5 米，袋鼠每次跳 2.75 米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔

10、 12.375 米设一个陷阱， 当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米 ?【例 5】用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 4文档大全实用标准文案厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？【例 6】（1）A、B 两数的乘积是 216 ，它们的最小公倍数是 36 。 A 、B 两数的最大公因数是多少？ （2）甲乙两数的最小公倍数是 288 ，最大公因数是 4，甲数是 36 ，乙数是多少？【例 7 】 加工某种机器零件，要经过三道工序 .第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每文档大全实用标准文案小时可完成 5 个，

11、要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？练习：1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是 54 ，甲数是多少？乙数是多少？2.一块长方形地面，长120 米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？文档大全实用标准文案3.已知两个自然数的积是5766 ，它们的最大公约数是 31.求这两个自然数。4有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗， 一共用了 91 个碗。参加野炊的至少有多少同学？文档大全实用标准文案带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题 .除此之外，例如：163

12、=51，即 16=5 3+1. 此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果 a 是整数， b 是整数（b 0），那么一定有另外两个整数q 和 r，0rb ，使得 a=b q+r 。当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除， r 为 a 除以 b 的余数， q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商） .用带余除式又可以表示为 ab=q r，0文档大全实用标准文案r b 。例 1 一个两位数去除 251 ，得到的余数是 41. 求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于 41 的两位数 .解题可从带余除式入手

13、分析。解：被除数除数= 商 余数，即被除数 = 除数商+ 余数， 251= 除数商+41 ，251-41= 除数商，210= 除数商。210=2 357，210的两位数的约数有10 、14 、15 、21 、30 、35 、42 、70 ，其文档大全实用标准文案中 42 和 70 大于余数 41. 所以除数是42 或 70. 即要求的两位数是42 或70 。例 2 用一个自然数去除另一个整数，商 40 ，余数是 16. 被除数、除数、商数与余数的和是 933 ，求被除数和除数各是多少？解：被除数 = 除数商+ 余数，即被除数 = 除数40+16 。由题意可知：被除数+ 除数=933-40-16

14、=877，（除数40+16 ）+ 除数 =877 ，除数41=877-16，除数 =861 41 ，文档大全实用标准文案除数 =21 ，被除数=21 40+16=856。答：被除数是856 ，除数是21 。例 3 某年的十月里有5 个星期六，4 个星期日，问这年的10 月 1 日是星期几？解：十月份共有31 天，每周共有7天，31=7 4+3 ，根据题意可知：有5 天的星文档大全实用标准文案期数必然是星期四、 星期五和星期六。这年的 10 月 1 日是星期四。例43 月18 日是星期日，从3 月17 日作为第一天开始往回数 （即 3月 16 日（第二天），15 日（第三天）， ）的第 1993

15、 天是星期几？解：每周有 7 天， 1993 7=284 （周） 5 （天），从星期日往回数5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二 .文档大全实用标准文案例 5 一个数除以3 余 2，除以 5余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题 .它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知 .”意思是，用除以3 的余数乘以 70 ，用除以 5 的余数乘以 21 ，用文档大全实用标准文案除以 7 的余数乘以 15 ，再

16、把三个乘积相加.如果这三个数的和大于 105 ，那么就减去 105 ，直至小于 105 为止 .这样就可以得到满足条件的解 .其解法如下：方法 1：270+3 21+2 15=233 233-105 2=23符合条件的最小自然数是 23 。例 5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法 2：3 ，7+2=2323 除以 5 恰好余 3。所以，符合条件的最小自然数是 23 。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。文档大全实用标准文案例6 一个数除以 5余3，除以 6余4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。分析 “除以 5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以 6 余

17、4”即“加 2 后被6 整除”。解：5 ，6-2=28 ，即 28 适合前两个条件。想： 28+5 ， 6 ？之后能满足“ 7 除余 1”的条件？28+5 ， 6 4=148 ， 148=21 7+1 ，又 148 210=5 ，6，7所以，适合条件的最小的自然数是文档大全实用标准文案148 。例7 一个数除以 3余2，除以 5余3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。解：想： 2+3 ？之后能满足“5 除余 3”的条件？2+3 2=8 。文档大全实用标准文案再想：8+3 ，5 ？之后能满足“ 7 除余 4”的条件？8+3 ，5 3=53 。符合条件的最小的自然数是 53 。归纳以上两例

18、题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件， 需做数的调整，调整时注意要文档大全实用标准文案加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例 8 一个布袋中装有小球若干个 .如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5个或 7 个，最后都剩 2 个.布袋中至少有小球多少个？文档大全实用标准文案解： 2+5 ，7 1=37（个）37 除以 3 余 1，除以5余2，除以 7余2，布袋中至少有小球37 个。例 9 69 、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面

19、的例子：文档大全实用标准文案15 除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是 1）。但是 19-15 能被 2 整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a和 b ，均被自然数 m 除，余数相同，那么这两个整数之差（大 - 小）一定能被 m文档大全实用标准文案整除。反之，如果两个整数之差恰被 m 整除，那么这两个整数被 m 除的余数一定相同。例 9 可做如下解答：三个整数被 N 除余数相同，N （ 90-69 ），即 N 21 ，N （ 125-90 ），即 N 35 ，N是21和35的公约数。文档大全实用标准文案要求 N 的最大值，N是21和35的最大公约数。21 和 35 的最大公约数是 7，N 最大是 7。例 6 甲乙两数的乘积是 2700 ，甲乙两数的最大公因数是 15 。甲乙两数各是多少？文档大全实用标准文案练习1、一张长方形纸，长72 厘米，宽48 厘米，把它裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，要正方形尽可能大，可以裁多少个正方形？2、当商取整数时，用某数去除 410 余 5，去除 242 少 1，去除 550 余10 ，这个数最大是多少？3、两个数的和是836 ，其中一个数的末尾是 0，如果把这个 0 抹去就与另一个数相等，这两个数各是多少？文档大全实用标准文案4、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是 144 ，求这两个数是多少。文档大全