最全高中不等式解法.

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1、不等式的解法三、解不等式1解不等式问题的分类(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组2解不等式时应特别注意下列几点：(1) 正确应用不等式的基本性质(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3) 注意代数式中未知数的取值范围3不等式的同解性f(x) 0f(x) 0(1)f(x) g(x) 0与或同解g(x) 0g(x) 0f(x) 0f(x) 0(2)f(x) g(x) 0与或同解g(x) 0g(x) 0(3)f(x)f(x

2、) 0f(x) 0 0与或同解 (g(x) 0)g(x)g(x) 0g(x) 0(4)f(x)f(x) 0f(x) 0 0与或同解 (g(x) 0)g(x)g(x) 0g(x) 0(5)|f(x)| g(x) 与 g(x) f(x) g(x) 同解 (g(x) 0)(6)|f(x)| g(x) 与 f(x) g(x)或 f(x) g(x)( 其中 g(x) 0)； g(x) 0 同解f(x) g(x) 2(7)f(x) g(x)与 f(x) 0f(x) 0同解或g(x) 0g(x) 0(8)f(x) g(x) 2f(x) g(x) 与同解f(x) 0(9)当 a1 时， af(x) ag(x)

3、 与 f(x) g(x) 同解，当 0 a 1 时， af(x) ag(x)与 f(x) g(x) 同解(10) 当 a 1时， log a f(x) log ag(x) 与f(x) g(x)同解f(x) 0f(x) g(x)当0a1时， log a f(x) log a g(x)与 f(x) 0同解g(x) 04 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：形式：P( x)0 移项，通分（不轻易去分母）Q (x)首项系数符号 0标准式， 若系数含参数时， 须判断或讨论系数的符号，化负为正判断或比较根的大小题型讲解例 1 不等式 (1+x)(1-x )0 的解集是（）A x 0 x 1B

4、 x x 0且x1C x1 x 1D x x 1且x1解： (1+x)(1- x ) 0 的解为 x=1,x= -1( 二重根 )画出数轴：+-101-x不等式 (1+x)(1-x )0 的解集是xx 1且x1另法： x= 1 和 x2 显然属于原不等式的解集，所以选（D）2例 2解不等式x 23x2xxx 2解：由x 23xxx( x1)2x 2x2(x 1)( x02)其零点分别为：-1,0,1( 二重 ),2，画出数轴如下：- -1+- 2+01x由图知，原不等式的解集为1,012,x0例 3 求不等式组3x2x 的解集3x2x解法一：由题设x0，3x2x ，得 3x0 ，即3 x 3

5、， 0x 3 ，3x2x3x原不等式组等价于0x 2（1）x)( x2)( 2x)(3；(3x)2x 3（2）x)( 2x)( x2)(3x)(3由（ 1）得 0x2 ，由（ 2）得 2x6 ，故原不等式组解集为x 0x6解法二：由已知条件可知3x0两边平方，原不等式组等价于3xx 03 x 2 x 22 x 3 x 2x00 x 6x(x6)(x6)0即原不等式组解集为x0x6例 4解关于 x 的不等式m3 x1 x10( mR)解：下面对参数m 进行分类讨论：当 m=3 时，原不等式为x+10 ，不等式的解为x1当 m3 时，原不等式可化为x1x10m3101 ，不等式的解为x1 或 x1

6、m3m3当 m3 时，原不等式可化为x1(x1)0m31m4，m313m当4m311原不等式的解集为1x1 ；时，3mm3当 m4 时，11 原不等式的解集为1x13；mm 3当 m4 时，11 原不等式无解3m综上述，原不等式的解集情况为：当 m4时，解为1x1；m3当 m4 时，无解；当 4m3 时，解为11；xm 3当 m=3 时，解为 x1；当 m3时，解为 x1或 x1m 3例 5 已知 f(x) ，g(x) 都是定义在 R 上的奇函数， 不等式 f(x)0 的解集是 (m，n)，不等式 g(x)0的解集是m , n ，其中 0 mn ，求不等式f ( x)g( x)0 的解集222

7、解： f(x) ，g(x) 是奇函数， 不等式 f(x)0的解集是 (m，n)，不等式 g(x)0 的解集是m , n，22不等式 f(x)0的解集是n, m ，不等式 g(x)0 的解集是mn,22而不等式 f ( x)g ( x)0 等价于f ( x)0或f (x)0g( x)0g(x)，0所以其解集为m, nm , nn, mn , mm, nn , m222222例 6若不等式 kx 2-2x+1-k1,a a 4 x2a 2x (a1)x(a1)2 x 0,a22 xa2x210 ,a2121aa2x2 121a当 0a 211，即 0a 15 时，解集为 x| xloga2( 2

8、1);2a 21当 a= 15 时，解集为 R2小结：1 一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、 指数不等式、对数不等式的基础带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数 y ax2bx c 的值恒大于0 的条件是 a 0 且0 ；若恒大于或等于 0，则 a 0且0 若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0 这一特殊情形2 忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考3 数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果4 解

9、指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三5解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都

10、可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一学生练习1不等式 4x9的解集是（）xAx| 3 Bx|x3且x 3 x2222C x| 3 x 3 D x| 3 x 3 2222答案 :C2不等式x2x60 的解集是（）x21Ax| 2x3Bx|x3 C |2 D |xx 3 的解集是（）A x|3 x5 B x|3 x 5C x|1 x3 或 3x5 D x|1 x lgx的解集是（）A x| 2x 5 B x|0 x 5 C x|1 x 1 22222答案 :C5不等式组(x2)(

11、 x5)0x 5) 0 同解，则 a 的取值范围是（）x(xa)0与不等式 ( x2)(Aa5 B a2 C a 5 D a 2答案 :D提示 :不等式组( x2)( x5)0的解是 2x5 且(x )0,即要求(x)x( xa)0xaxa0 的解包含 2x5， 3 的解集是（）xA x| x 2 B x| x0 C x| x 2 且 x0 D x| 2 x03333答案: B7不等式 2x3 5 B x| x 4 C x| x 4 D x| 5 x 4 443343答案: B8不等式 ax2 ax ( a 1)0的解集是全体实数，则a 的取值范围是（）A(,0)B(,0)(4,+)3C(,0

12、D(,0(4,+)3答案 : C 提示 : 不等式 ax2 ax( a 1)0 的解集是全体实数 , a=0 时成立，当 a0 时 , 判别式 0, 得 a0 时成立， a ( , 09不等式 log 1x4 log 1 (8 x) 的解集是（）32x33A x|3 x7 B x| 3 x8 C x|3 x2 或 7x8 D x| x0, 8 x0 且 x48 x,解得 3 x2 或 7x82 x32 x3210若不等式f(x)0的解集是 ,不等式()0的解集是，则不等式组f (x)0的解Fg xGg( x)0集是ACR(F G) BDCR(F G)CF GF G答案 :B提示 : f( x)

13、0的解集是 F ,g( x) 0的解集是 CRG ,f ( x)0不等式组g (x)的解集0是 CR(F G)11不等式x 1 0 得到解集 x| 1 x0的解集是xx答案 :x2 或 3x0 的解集是答案 :xlog 32 提示:xt2 6t 160,t 2 或 t log 32设 3 =t ,115函数 y= lg ( x2 2x 2)2 的定义域是答案 :x316设全集 I =R，集合 M= x|x22,Nxlogxlog37，那么 MCRN =|7答案:x| x 3 或 x 2 提示 :M x| x2 或 x 2,N= x| 1 x3, M CR N = x| x 3 或 x 217满

14、足不等式10 5 n 1 的最小整数n 是51232答案 :n=618若 0a1，则关于x 的不等式 a2x 1a( x 1) 的解集是答案 :x 1提示 : ( a2 a) x 1 a,0a1, a2 a105lga( a0, a1) 的解集是答案 :当 0a1时 , 3x1 时,x5提示 :105lga a5,当 0a1 时, x2 2x 105, 3x1 时 , x2 2x105, x520不等式log sinx ( x2 9)0 的解集是答案 : x| 10 x 或 3x 2222提示 : 0 sinx 1 且 0x2 91, x| 2 x 或 0x 或 并且 x| 10 x 3 或3

15、x 10 , x| 10 x 或 3x 21曲线 x2y 2x y=0 的最高点的坐标是答案 : (1, 1)提示 : =4 4y2 0,y2 1,ymax=1,此时 x=1,最高点的坐标是 (1, 1)22x 的不等式2xa 2 时,a xa1x a a ,2提示： 2 x a0,x 10, 2x 1, 当 a 2 时 , 解得 xa 1 2 时 ,a 1， a x0，连接 AB边上的点 P( x,0) 及 AC边上的点 Q的线段 PQ把 ABC的面积二等分 , 求 | PQ|的最大值和最小值答案：最小值是2 a， 最大值是3 a提示： | AP|AQ| sin 60 =2AP|= x a,

16、2a23 a , | AQ|=ax22(2a 2222PQ| 的最小值是2 a，再讨论函数的增减性，| PQ| =( x a) 4a cos60 2a , |x a得当 x=0 或 x=a 时 , 取得最大值为3 a24 已知 6a10,a b 2a, c=a b, 则 c 的取值范围是（）2A9 c 30 B9c 18 C 9c30 D 15c 30答案： 提示：3a 3 , 9 0, b0,不等式 a1 b 的解集为（）xA10或0 1Bx 1xxababC 1 x0 或 0x 1D 1 x 1abab答案： B27与不等式 x30 同解的不等式是（）2xA( x 3)(2 x) 0 B0

17、0答案： B 提示： x3x30 的解是 2x 3, 0x 21 的解也是 2x2的解集是（）A x 1x5 B x 1 x5 C x2 x22答案： B129 若 f ( x)= x 3 , 则当 x1 时， f ( x)f 1( x) ( 填 , 或 =)答案： x130当 0 x 2 时， f (x)= 4232 x27的最大值为 ;最小值为1答案： 3； 11 提示： f ( x)= 4x 232 x 27 2(2 x 3)2 11, 当 x=0 时, 最大值为 3，当 x=log 23 时 , 最小值为 1131函数 f (x)= log 2 ( x2 4),g (x)=2x2k(k

18、0,得 x2 或 x 2, x 2k0,得 x 2k, x2 k, 2) (2, + )25 不等式 6x2 5x4 的解集为（）32 A= x2x 10 ,B= x x2 ( a 5) x 5a0,若 A B x 1 x5,则 a 的x23x22取值范围是答案： 1 ,1 提示： A= x| 1x 2) 或 x 1 , B= x| ax5, 1 a 1 , a222 1,1233 不等式 x2 2 x 2 20 的解集是答案： 1x12x2x233提示： x 220,其中x解得 3|x|1|,13, 13 x(3 x 2)( x5) 2答案： x7x 2x1 2 2x 17x ,22 2x

19、1 7x 1 2x, 1 2x0, 原不等式无解39 解不等式：54xx 2x答案： ( 5x 1+ 14 /2) 两种解法，其一为数形结合40 解不等式 ( x21)x21 x(x 21)解： x2 1x x21,(1) x 1, x; (2) 1x1, x (1,+ )综合得： x ( 3/3,+)41在我国西部某一地区，有四个农庄A ，B ，C，D 恰好坐落在边长为2km 的正方形顶点上，为发展经济， 政府决定建立一个使得任何两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成，要求各农庄到中心道的距离相等，（如图）（ 1） 若道路网总长度不超过 5 5km, 试求中心道长的取值范围；（ 2） 问中心道长为何值时，道路网的长度最短？解： (1) 设中心道的长为2xkm,(0x0 ）22x(22 x1)2 x1),即解原不等式得：a( 24 x (4 x1) a( 4x1),(4 xa)(4 x1)0当0 a时4x1,此时不等式的解集为(log 4a,0)1 ,a当a1时,( 4x1) 20,此时不等式无解当a1时,14 xa,此时不等式的解集为 (0, log 4 a)43 设 a0,且a为常数，解不等式a22x2x aa 22x 20或 a22x 202 a,2 a解： xa 0原不等式的解集为：a 22x 2x 22ax a 2xa022课前后备注