最全的高中数学数列练习题-附答案与解析.

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1、数列1 an 是首项 a1 1，公差为 d 3 的等差数列，如果an 2 005，则序号 n 等于 () A 667B 668C 669D 6702在各项都为正数的等比数列 an 中，首项a1 3，前三项和为21，则 a3 a4 a5 () A 33B 72C 84D 1893如果 a1， a2， ， a8 为各项都大于零的等差数列，公差d 0，则 () A a1a8 a4a5B a1a8 a4a5C a1 a8 a4 a5D a1a8 a4a54已知方程 ( x2 2xm)( x2 2x n) 0 的四个根组成一个首项为1 的等差数列，则4m n等于 () A 1B 3C 1D34285等比

2、数列 an 中， a2 9， a5 243，则 an 的前 4项和为 ().A 81B120C 168D1926若数列 an 是等差数列，首项a1 0，a2 003 a2 004 0， a2 003a2 004 0，则使前 n 项和 Sn 0 成立的最大自然数 n 是 () A 4 005B 4 006C 4 007D 4 0087已知等差数列 an 的公差为2，若 a1，a3， a4 成等比数列 , 则 a2 () A4B 6C 8D 108设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若a55，则S9 () a39S5A 1B 1C 2D 129已知数列 1，a1，a2， 4 成等差数列，

3、1，b1，b2，b3， 4 成等比数列， 则 a2 a1的值是 () b2A 1B 1C 1或1D 12222410在等差数列 an 中， an 0，an 1 an2 an1 0( n 2) ，若 S2n 1 38，则 n() A 38B 20C 10D 9二、填空题11设 f( x) 1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得 f( 5) f( 4) 22xf(0) f( 5) f( 6) 的值为.12已知等比数列 an 中，(1)若a3 a4 a5 8，则a2 a3 a4 a5 a6(2)若a1 a2 324， a3a436，则a5 a6 (3)若S4 2， S8 6，则a17

4、 a18a19 a20.13在8 和27 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为3214在等差数列 an 中，3( a3 a5) 2( a7 a10 a13) 24，则此数列前13 项之和为.15在等差数列 an 中，a5 3，a62，则a4 a5 a10.16设平面内有n 条直线 ( n3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f( n) 表示这 n 条直线交点的个数，则f( 4) ；当 n 4 时， f( n) 三、解答题17 ( 1) 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 3n2 2n，求证数列 an 成等差数列 .(2) 已知 1， 1， 1

5、 成等差数列，求证bc ， ca ， ab 也成等差数列 .abcabc18设 an 是公比为q 的等比数列，且a1， a3， a2 成等差数列( 1) 求 q 的值；( 2) 设 bn 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为 Sn，当 n 2 时，比较 Sn 与 bn 的大小，并说明理由19数列 an 的前 n 项和记为 S ，已知 a 1， a n 2( n 1， 2， 3 ) n1n 1Snn求证：数列 Sn 是等比数列n20已知数列 an 是首项为 a 且公比不等于1 的等比数列， Sn 为其前 n 项和， a1，2a7，3a4 成等差数列，求证： 12S3， S6，

6、S12 S6 成等比数列 .数列参考答案一、选择题1 C解析：由题设，代入通项公式an a1 ( n 1) d，即 2 005 1 3( n 1) ， n6992 C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力设等比数列 an 的公比为 q( q 0) ，由题意得a1 a2 a3 21，即 a1( 1q q2) 21，又 a1 3， 1 q q27解得 q 2 或 q 3( 不合题意，舍去) ， a3 a4 a5 a1q2( 1q q2) 3 22 7 843 B解析：由a1 a8 a4 a5，排除C又 a1 a8 a1( a17d) a12 7a1d， a4 a5 ( a1 3d)(

7、a1 4d) a127a1d 12d2 a1 a8 4 C解析：解法 1：设 a1 1， a2 1 d， a3 1 2d， a4 1 3d，而方程 x2 2x m 0 中两根之和为2， x24444 2x n 0 中两根之和也为 2， a1 a2 a3 a41 6d 4， d 1， a1 1， a4 7是一个方程的两个根，a1 3， a3 5是另一个方程的两个根24444 7 ， 15 分别为 m 或 n，16 16 m n 1，故选 C2解法 2：设方程的四个根为x1， x2， x3， x4，且 x1 x2 x3 x4 2， x1x2m， x3 x4 n由等差数列的性质：若 s p q，则

8、a asapaq，若设 x1 为第一项， x2 必为第四项，则x2 7 ，4于是可得等差数列为1 ， 3， 5， 7 ，4444 m 7 ， n 15 ，1616 m n 1 25 B解析： a2 9， a5 243， a 5 q3 243 27，a 29 q 3，a1 q 9， a1 3， S4 335 240 1201326 B解析：解法 1：由 a2 003 a2 0040， a2 003 a2 0040，知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数，又a1 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003 a2 004，即 a2 003 0， a2 004 0. S 4

9、006( a1 a4 006 ) 4006( a 2 003 a2 004 ) 0，4 00622 S4 007 4 007 ( a1 a4 007) 4 007 2a2 004 0，22故4 006 为 Sn 0 的最大自然数 . 选 B解法 2：由 a1 0，a2 003 a2 004 0，a2 003a2 004 0，同解法 1 的分析得 a2 003 0， a2 0040， S2 003 为 Sn 中的最大值 Sn 是关于 n 的二次函数，如草图所示， 2 003 到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， 4 007 在对称轴的右侧2(第6题)根据已知条件及图象的对称性可得4 00

10、6 在图象中右侧零 点B 的 左侧， 4 007， 4 008 都在其右侧， Sn 0 的最大自然数是4 0067 B解析： an 是等差数列，a3 a1 4， a4 a1 6，又由 a1，a3，a4 成等比数列， ( a1 4) 2a1( a1 6) ，解得 a1 8， a2 8 2 68 A解析： S99(a1a9 ) 9 a5951，选 A5(a12a5 )S55 a35929 A解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则4 1 3d 且 4 ( 1) q4， d 1， q2 2，a2a1d1b2q2210 C解析： an 为等差数列， an2an 1 an 1， an2 2an，又 a

11、n 0， an 2， an 为常数数列，而 an S2 n 1 ，即 2n 1 38 19，2n12 n 10二、填空题113 2 解析： f( x) 1，2x21x12x f( 1 x) 2 22221 x2 2x22x ，112x112x1( 2 2 x )2 f( x) f( 1 x) 2222 2x2 2 x2 2 x2 2 x2设 S f( 5) f( 4) f(0) f( 5) f( 6) ，则 S f( 6) f( 5) f(0) f( 4) f( 5) ， 2S f( 6) f( 5) f( 5) f( 4) f( 5)f( 6) 62 ， S f( 5) f( 4) f(0)

12、 f( 5) f( 6) 32 12（ 1） 32；（ 2） 4；（ 3） 32解析：（ 1）由 a3a5 a42 ，得 a4 2， a2 a3 a4 a5a6 a45 32（ 2）a1a2324q 21 ，( a1a2 )q 2369 a a ( a a ) q445612（ 3）S4 a1a 2 a3 a42q42 ，S8a1 a2 a8S4 S4 q 4 a17 a18 a19 a20S4 q16 3213 216解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与由等比中项的中间数为827插入的三个数之积为8 27 621636，23214 26解析： a3 a

13、5 2a4， a7 a13 2a10， 6( a4 a10) 24， a4 a10 4， S13 13( a1a13 ) 13( a4a10 ) 134 2622215 49解析： d a6 a5 5， a4 a5 a10 7( a4a10 )8 ， 27 同号，3 22 7( a5da55d)2 7( a5 2d) 49116 5，( n1)( n 2) 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交， f( k) f( k 1) ( k 1) 由 f( 3) 2，f( 4) f( 3) 3 2 3 5，f( 5) f( 4) 4 2 3 4 9，

14、f( n) f( n 1) ( n 1) ，相加得f( n) 2 34 ( n 1) 1 ( n 1)( n 2) 2三、解答题17分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2 项开始每项与其前一项差为常数证明：（ 1） n1 时， a1 S1 32 1，当 n2 时， an Sn Sn 1 3n2 2n 3( n1) 2 2( n 1) 6n 5，n 1 时，亦满足，an 6n5( n N* ) 首项 a11， an an 1 6n 5 6( n 1) 5 6( 常数 )( n N* ) ，数列 an 成等差数列且a1 1，公差为6（2） 1 ， 1 ， 1 成等差数列，abc 2

15、1 1 化简得 2ac b( a c) b a c22()a2c2(a) 2( )2b c a bbcc a abb a cca c 2 a c ，acacac( )acb a cb2 bc ， ca ， a b 也成等差数列abc18解：（ 1）由题设2a3 a1 a2，即 2a1q2 a1 a1q， a1 0， 2q2 q 1 0， q1 或 1 22（ 2）若 q 1，则 Sn 2n n( n1) n 3n 22当 n2 时， Snbn Sn 1 ( n1)( n2) 0，故 Snbn 22若 q 1 ，则 Sn 2n n( n1) ( 1 ) n 9n 2224当 n2 时， Snbn

16、 Sn 1 ( n1)( 10 n) ， 4故对于 n N+，当 2n 9 时， Sn bn；当 n10 时， Sn bn；当 n 11 时， Sn bnn219证明： an1 Sn1 Sn，an 1Sn， ( n2) Sn n( Sn 1 Sn) ，整理得nSn1 2( n 1) Sn，所以Sn1 2Sn n1n故 Sn 是以 2 为公比的等比数列 n20证明：由a1，2a7 ，3a4 成等差数列，得4a7 a1 3a4，即 4 a1q6 a1 3a1q3，变形得 ( 4q3 1)( q3 1) 0， q3 1 或 q3 1( 舍 ) 4a1 (1q 6 )1 q3S61q1；由q 3)121612S312a1 (11qa1 (1 q12 )S12 S6 S12 11q 1 1q6 1 1 ；S6S6a1 (1 q6 )161q得 S6 S12 S612S3S6 12S3， S6， S12 S6 成等比数列