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1、自贡市高2011级第三次诊断考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（理）BCCCDDABBDBB；（文）CCCDADABBDBB； 二、填空题：13. 20； 14. （文） 、（理）；15. （或30）；16.三、解答题：17.【解】（I）由条件得cos=，cos=2分为锐角，sinA=sin=， 3分同理有sinB=sin= 4分 6分（注：如果运用单位圆方程x2+y2=1、勾股定理等别的途径得出正确解答不得扣分）（）由（）知， 7分由得，即9分，又 ，即 11分 12分18.【解】（）（文、理）记“公司任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件有.（文）6分（理）4分（文）（）记
2、“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为件” 为事件，.10分（各得2分）商家拒收这批产品的概率故商家拒收这批产品的概率为.12分（理）（）可能的取值为 .5分 ，8分（一个记1分） 10分记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率，所以商家拒收这批产品的概率为12分.19.【解及证】（）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，1分 则由平面A1BC侧面A1ABB1于A1B，得AD平面A1BC, 2分又BC平面A1BC，ADBC. 3分三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，AA1BC. 4分又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB
3、1，5分又AB侧面A1ABB1，故ABBC6分（）解法1：连接CD，则由（）知是直线AC与平面A1BC所成的角，7分是二面角A1BCA的平面角，即.8分于是在RtADC中，9分在RtADB中，.10分由ABAC，得又所以.12分解法2：由（）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，7分设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是，8分设平面A1BC的一个法向量为=(x,y,z)，则由得9分可取=(0,c)，于是c0，与n的夹角为锐角，则与互为余角. sin=cos=，cos=，于是由b，得即
4、又.12分. (文)20.【解】（）f(x)=-3x2+2ax，1分要使f(x)在(0，1)上单调递增，则x(0，1)时，f(x)0恒成立 -3x2+2ax0，即当x(0，1)时，a恒成立 .2分a，即a的取值范围是 3分（）由f(x)= -3x2+2ax，令f(x)=0，得x=0，或x=a a0，当x变化时，f(x) f(x)的变化情况如下表：x(-，0)0(0，)a()f(x)-0+0-f(x)y极小y极大y极小=f(0)=b=1，y极大=f(a)= -a3+aa2+1= .5分b=1，a=1 故f(x)=-x3+x2+1 6分（）当x0，1时，tan=f(x)= -3x2+2ax 7分由
5、0，得0f(x)1，即x0，1时，0-3x2+2ax1恒成立.9分当时，R 当x(0，1时，由-3x2+2ax0恒成立，由()知 10分由-3x2+2ax1恒成立，a(3x+)，(等号在=时取得) 综上，a .12分（理）20（同文21题）【解】（）设T（x，y），点N（x1，y1），则N1（x1，0）又，即（x1，y1），M1（0，y1），（x1，0），（0，y1）3分于是（x1，y1），4分即（x，y）（x1，y1）代入6，得5x2y236所求曲线C的轨迹方程为5x2y2366分（）设由及在第一象限得解得即8分，设则 . 由得，即 . 10分联立，解得或因点在双曲线C1的右支，故点的坐标为
6、11分由得直线的方程为即 12分(理)21.【解】（）f (x)x2(a2)xba e3-x, 1分由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a， .2分则 f (x)x2(a2)x32aa e3-xx2(a2)x33a e3-x(x3)(xa+1)e3-x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，a13，即a4, .4分当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数； 在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f(x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增
7、，在区间（3，4）上单调递减，由于f（x）连续，那么f (x)在区间0，4上的值域是minf (0)、f (4)、f (3)，max f (0)、f (4) )、f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.8分又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2，（a2）e4，.10分由于（a2）（a6）a2a()20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾 .9分另一方面，当时，对一切的正整数n都有，事实上，对任意的正整数k，有当n为偶数时，设，则11分当n为奇数时，设则对一切的正整数n，都有，综上所述，正实数的最小值为4 .14分
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