新定义函数-中考新题型

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1、实用标准文档函数图形变换方法总结：1掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数；2确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式；3根据题目要求结合函数性质解决问题。例 1我们规定：形如axk( 、 、)的函数叫做“奇特函数” . 当y为常数，且kabbab kxa b 0 时，“奇特函数” yaxk 就是反比例函数yk ( k 0).xbxx 和 y 后，得到的新矩形的面积（1） 若矩形的两边长分别是2 和 3，当这两边长分别增加为 8 ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2） 如图，在平面直角坐标系中，点 为原点， 矩形的顶点， 的坐标

2、分别为 （ 9，OOABCA C0）、（ 0， 3）点 D是 OA的中点，连结OB，CD交于点 E，“奇特函数” yaxk 的图象x6经过 B， E两点 .求这个“奇特函数”的解析式；把反比例函数y3 的图象向右平移 6 个单位，再向上平移个单位就可得到x中所得 “奇特函数” 的图象 . 过线段 BE中点 M的一条直线l 与这个 “奇特函数”的图象交于P， Q两点，若以B、E、 P、 Q为顶点组成的四边形面积为1610 ，请直接写出点P 的坐标3文案大全实用标准文档例 2定义 a， b， c 为函数 y=ax2+bx+c 的“特征数”如：函数 y=x2-2 x+3 的“特征数”是1 ，-2 ，

3、3 ，函数 y=2x+3 的“特征数”是 0 ，2，3 ，函数 y=- x 的“特征数”是 0 ，-1 ， 0（1）将“特征数”是0, 3 ,1 的函数图象向下平移2 个单位，得到一个新函数，这个新函3数的解析式是 y31 ；x3（2）在（ 1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于 A、 B两点，与直线 x3 分别交于D、 C两点，判断以A、 B、 C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（ 2）中的四边形与“特征数”是1, 2b,b 21 的函数图象的有交点，求满足条件2的实数 b 的取值范围变式y=x2+px+q，我们称 p， q 为此函如果二次函数的二次项系数为l

4、 ，则此二次函数可表示为数的特征数，如函数=2+2x+3 的特征数是 2 ， 3 yx(1) 若一个函数的特征数为 -2 ， 1 ，求此函数图象的顶点坐标(2) 探究下列问题：若一个函数的特征数为4 ，-1 ，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移 1 个单位，求得到的图象对应的函数的特征数若一个函数的特征数为2 ，3 ，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为 3 ， 4？文案大全实用标准文档例 3如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）的顶点为M，直线 y=m与 x 轴平行，且与抛物线交于点 A，B，若 AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两

5、点之间的部分与线段 AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段称为碟宽，顶点称为碟顶，点到线段ABMMAB的距离称为碟高（1）抛物线 y1 x2 对应的碟宽为；抛物线 y=4x2 对应的碟宽为；抛物线 y=ax22（a 0）对应的碟宽为；抛物线 y=a( x-2)2+3（a 0）对应的碟宽为；（2）抛物线 yax24ax5 （ a 0）对应的碟宽为6，且在 x 轴上，求 a 的值；3（3）将抛物线 y=anx2+bnx+cn（ an 0）的对应准蝶形记为F（n n=1，2，3 ），定义 F1，F2， ，F 为相似准蝶形， 相应的碟宽之比即为相似比若 F与 F 1 的相似比为1，且 F 的碟顶

6、是nnn2nn1 的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为1FF求抛物线 y2 的表达式；若 F1 的碟高为 h1， F2 的碟高为 h2， Fn 的碟高为 hn，则 hn=， Fn 的碟宽有端点横坐标为 2；若 F1，F2， ， Fn 的碟宽右端点在一条直线上， 请直接写出该直线的表达式； 若不是，请说明理由。文案大全实用标准文档例 4如图，直线 l ： y=mx+n（ m 0， n 0）与 x， y 轴分别相交于 A， B 两点，将 AOB 绕点 O逆时针旋转 90得到 COD，过点 A， B，D的抛物线 P 叫做 l 的关联抛物线，而 l 叫做 P 的关联直线2

7、-3（1）若l：=-2x+2，则P表示的函数解析式为；若：=-xx+4，yP y则 l 表示的函数解析式为（ 2）求 P的对称轴（用含m， n 的代数式表示）；（3）如图，若l ：y=-2 x+4，P 的对称轴与 CD相交于点 E，点 F 在 l 上，点 Q在 P 的对称轴上当以点C， E， Q， F 为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图，若l： =-4， 为中点，H为中点，连接， 为中点，连接若y mxm GABCDGHM GHOMOM= 10，直接写出 l ， P表示的函数解析式文案大全实用标准文档参考答案：例 1【解析】（1）y3x2 ，是 “奇特函数”

8、；（ 2） y2x 9 ； 7,5)(或 3,5或 15,7或(5, 1).x2x633试题分析：（1）根据题意列式并化为 y3x2 ，根据定义作出判断 .x 2（ 2）求出点 B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线 CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9， 3）， E（ 3， 1）代入函数yaxk 即可求得这个“奇特x6函数”的解析式.根据题意可知，以 B、 E、 P、 Q为顶点组成的四边形是平行四边形 BPEQ或 BQEP，据此求出点 P的坐标 .试题解析：（ 1）根据题意，得，.根据定义，是 “奇特函数” .（2）由题意得，.易得直线 OB解析式为，直线 CD解析

9、式为，由解得. 点 E（ 3， 1）.将 B（ 9，3）， E（ 3， 1）代入函数，得，整理得，解得. 这个“奇特函数”的解析式为.可化为，根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6 个单位， 再向上平移2 个单位就可得到. 关于点（ 6， 2）对称 .文案大全实用标准文档B（ 9， 3）， E（ 3， 1）， BE中点 M（6， 2），即点 M是的对称中心 .以 B、 E、 P、 Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或 BQEP.由勾股定理得，.设点 P 到 EB的距离为 m，以 B、 E、 P、 Q为顶点组成的四边形面积为，.点 P 在平行于 EB的直线上 .点 P在上，或.解得.

10、点P的坐标为或或或.考点： 1. 新定义和阅读理解型问题；2. 平移问题； 3. 反比例函数的性质；4. 曲线上点的坐标与方程的关系； 5. 勾股定理； 6. 中心对称的性质；7. 平行四边形的判定和性质；8. 分类思想的应用 .例 2【解析】（ 1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移 2 个单位的新函数的解析式（2）判断以 、 、 、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2 个单位A B CAB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求与原函数图象的关系，得出出线段=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形

11、）得出，其周长=2 4=8；BC（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=（-）2+ ，确定二次x b函数的图象不会经过点B和点 ，再将菱形顶点（ 0，1）， （）代入二次函数解析CAD式得出实数b 的取值范围【解析】文案大全实用标准文档（1） y=（ 1 分）“特征数”是的函数，即 y= +1，该函数图象向下平移2 个单位，得y=（2）由题意可知y=向下平移两个单位得y=AD BC，AB=2，AB CD四边形 ABCD为平行四边形，得 C点坐标为（， 0），D（）由勾股定理可得BC=2四边形 ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2四边形 ABCD为菱形周长为8（3）二次

12、函数为： y=x2-2 bx+b2+，化为顶点式为： y=（ x- b）2+ ，二次函数的图象不会经过点B和点 C设二次函数的图象与四边形有公共部分，当二次函数的图象经过点A 时，将 A（0， 1），代入二次函数，解得 b=-， b=（不合题意，舍去） ，当二次函数的图象经过点D时，将 D（），代入二次函数，解得 b=+， b=（不合题意，舍去） ，所以实数 b 的取值范围：例 3【解析】试题分析：（ 1）根据定义可算出y=ax2 （a 0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线可通过平移y=ax2（a 0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a 有关，与别的无关，从而可得（2）由（ 1）的

13、结论，根据碟宽易得a 的值文案大全实用标准文档（3）根据y1，容易得到y2结合画图，易知h1，h2， h3， ， hn 1， hn 都在直线 x=2 上，可以考虑hnhn 1，且都过 Fn 1 的碟宽中点， 进而可得 画图时易知碟宽有规律递减， 由此可得右端点的特点 对于“ F1，F2， ， Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上， 如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立， 所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可试题解析：（ 1） 4；1；a 0，y=ax2 的图象大致如下：其必过原点O，记 AB为其碟宽， AB与 y 轴的

14、交点为C，连接 OA， OB DAB为等腰直角三角形，AB x 轴，OC AB， OCA= OCB= AOB= 90 =45， ACO与 BCO亦为等腰直角三角形，AC=OC=BC， xA=- yA， xB=yB，代入 y=ax2，A（， ）， B（ ， ）， C（0， ），AB= ， OC=，即 y=ax2 的碟宽为抛物线y=x2 对应的= ，得碟宽为 4；a抛物线y=4x2对应的=4，得碟宽为为；a抛物线=2（ 0），碟宽为；y axa抛物线 y=a( x 2)2+3（ a 0）可看成 y=ax2 向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度后得到的图形，平移不改变形状、大小、方向，抛

15、物线 y=a( x 2)2+3（ a 0）的准碟形与抛物线y=ax2 的准碟形全等，抛物线 y=ax2（ a 0），碟宽为，抛物线 y=a( x 2)2+3（ a 0），碟宽为文案大全实用标准文档（2） y=ax2 4ax，由（ 1），其碟宽为，y=ax2 4ax的碟宽为6， =6，解得 A= ，y=x2x=( x 2) 2 3（3） F1的碟宽： F2 的碟宽 =2： 1，=， a1= ， a2= y= ( x 2) 2 3 的碟宽 AB在 x 轴上（ A 在 B 左边），A（ 1，0）， B（5， 0），2F2 的碟顶坐标为（2， 0）， y2=( x 2) Fn 的碟宽为 2hn，2hn

16、： 2hn 1=1： 2，hn= hn 1=() 2hn 2=( ) 3hn3 = =( ) n+1h1，h1=3， h =nhn hn 1，且都过 Fn 1 的碟宽中点， h1， h2， h3， ， hn1 ，hn 都在一条直线上， h1 在直线 x=2 上， h1， h2， h3， ， hn1 ，hn 都在直线 x=2 上，Fn 的碟宽右端点横坐标为2+另，1， 2， ，n 的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=+5F FFx分析如下：考虑 Fn2， Fn1 ，Fn 情形，关系如图2，Fn 2， Fn 1， Fn 的碟宽分别为 AB， DE， GH； C， F，I 分别为其碟宽的中点，都在直

17、线 x=2 上，连接右端点， BE， EHAB x 轴， DE x 轴， GHx 轴，AB DEGH，GH平行且等于FE， DE平行且等于CB，四边形 GFEH，四边形 DCBE都为平行四边形，HE GF，EB DC， GFI= GFH= DCE= DCF，GF DC， HE EB，HE， EB都过 E 点， HE， EB在一条直线上，文案大全实用标准文档 Fn 2， Fn 1， Fn 的碟宽的右端点是在一条直线， F1， F2， ， Fn 的碟宽的右端点是在一条直线F1： y1=( x 2) 2 3 准碟形右端点坐标为（5， 0），22( x2)2准碟形右端点坐标为（2+，），F：y =待定

18、系数可得过两点的直线为y= x+5，F ， F ， ， F 的碟宽的右端点是在直线y= x+5 上12n考点： 1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3 多点共线例4解析：文案大全实用标准文档参考题目：1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点， C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、 C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为 “蛋线”，已知点 C的坐标为（0， 3 ），22点 M是抛物线 C2 ：y=mx-2 mx-3 m( m0) 的顶点 .文案大全实用标准文档（ 1）求 A、B 两点的坐

19、标；（ 2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点 P，使得 ? PBC的面积最大？若存在，求出 ? PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（ 3）当 ? BDM为直角三角形时，请直接写出 m的值 .( 参考公式：在平面直角坐标系中，若M x1 y1)，N x2,y2，则 M、N两点间的距离为 MN.( ,()=（ 1）A（-1， ）， B（ ， ）；（ ）存在，；（ ）或-.03 023 -1【解析】2mxm化为交点式，即可得到A、B 两点的坐标；试题分析：（ 1）将y mx-2=-3C1 的解析式，过点 P 作 PQ y 轴，交 BC于 Q，（ 2）先用待定系数法得到抛物线用待定系数法得到直

20、线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到PBC面积的最大值；222222222（ ）先表示出 DM，BD，MB，再分两种情况： DM BD MB时；DM MB BD3+=+=时，讨论即可求得 m的值m m（x）（ x），试题解析：（ 1）y mx2mx-3=-2-3=+1 m 0，当 y=0 时， x1=-1 ，x2=3， A（ -1 ，0）， B（3，0）；（ 2）设 C1： y=ax2+bx+c，将 A、 B、 C三点的坐标代入得：，解得，故 C1：y= x2 - x- 依题意，设点 P 的坐标为（ n，n2-n）(0n-3)则S? PBC S? POC S? BOP S? BO

21、C= n n2n =+-+3 (-+ )-3=-n2+( -) - 0,当 n=时 S? PBC的最大值是文案大全实用标准文档2mx m m x2mMmy mx-1） -4坐标（ 1，-4（ 3）= -2-3 =（，顶点），当 x=0时， y=-3 m， D（ 0， -3 m）， B（3，0），2（）2（m m）22，DMm= 0-1+ -3+4= +122+（ 0+4m）22MB=（3-1 ）=16m+4，2）2（m）22，BD （3-0m=+0+3=9+9BDM为 Rt时有：222222当DM BD MB或 DM MB BD2222+2=2+=，DM BD MB时有：mmm+=+1+9 +

22、9=16+4解得m（ m ，m舍去）；=-10=1222222，DM MB BD时有：mmm+=+1+16 +4=9+9解得m（m舍去）=-=综上， m=-1 或-时， BDM为直角三角形对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P（ a，b），若点的坐标为（，）2（其中 k 为常数，且），则称点为点 P 的“ k 属派生点”例如：P（ ， ）的“2属派生点”为（1+，），即（，）1436（ 1）点 P的“ 2 属派生点”的坐标为 _；P若点P 的“ k属派生点”， ），请写出一个符合条件的点的坐标为（ 33的坐标 _；（ 2）若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的“ k 属派生点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为；_（ 3）如图 ,点Q的坐标为（ ，），点 A 在函数的图象上，且0点A是点B的“属派生点”，当线段 B Q最短时，求 B 点坐标（ 1）；（ 1， 2）（答案不唯一）；（ 2）；（3）.文案大全