应用回归分析--第三章课后习题整理.

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1、y11x11x12x1p013.1 y21x21x22x2 p1+2 即 y=x +yn1xn1xn2xnppn基本假定（1）解释变量 x1,x2.,xp是确定性变量，不是随机变量，且要求rank(X)=p+1n, 表明设计矩阵 X中自变量列之间不相关，样本量的个数应大于解释变量的个数（2) 随机误差项具有零均值和等方差，即高斯马尔柯夫条件E()0,1,2,n2cov( , ),1,2 n0（ 3）对于多元线性回归的正态分布假定条件的矩阵模型为N（0， 2 In ）随即向量 yN(X , 2 I n )3.2当( XT X) 1存在时，回归参数的最小二乘估计为(XT X) 1XTY，要求出回归

2、参数，即要求 X T X 是一个非奇异矩阵，X T X0 ，所以可逆矩阵 X T X 为p+1阶的满秩矩阵，又根据两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩 rank(X)p+1, 而X为n (p+1) 阶矩阵，于是应有 n p+1结论说明，要想用最小二乘法估计多元线性回归模型的未知参数，样本量 n必须大于模型自变量 p的个数。3.3ny) 2e12e22en2SSE( y1211n1nE( )E(SSE)E(e 2 )E(e 2 )n p 1n p 11n p 1 11np1npn1n1n1 D (e ) ( E(e ) 2 nD ( e )(1 h ) 21p1 1n p1 1nnh ) 2122

3、1( 11( n ( p 1)11npn注 tr (H )hp113.4 不能断定这个方程一定很理想，因为样本决定系数与回归方程中自变量的数目以及样本量n有关，当样本量个数 n太小，而自变量又较多，使样本量与自变量的个数接近时，R2 易接近 1，其中隐藏一些虚假成分。3.5 当接受 H0 时，认定在给定的显著性水平下，自变量 x1,x2,xp对因变量 y无显著影响，于是通过x1,x2,xp去推断 y也就无多大意义，在这种情况下， 一方面可能这个问题本来应该用非线性模型去描述，而误用了线性模型，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面可能是在考虑自变量时，把影响因变量y的自变量漏掉了，可以重新考虑

4、建模问题。当拒绝 H0 时，我们也不能过于相信这个检验，认为这个回归模型已经完美了，当拒绝 H0 时，我们只能认为这个模型在一定程度上说明了自变量 x1,x2,xp与自变量 y的线性关系，这时仍不能排除排除我们漏掉了一些重要的自变量。3.6 中心化经验回归方程的常数项为0，回归方程只包含 p个参数估计值1,2,p 比一般的经验回归方程减少了一个未知参数，在变量较多时，减少一个未知参数， 计算的工作量会减少许多， 对手工计算尤为重要。在用多元线性回归方程描述某种经济现象时，由于自变量所用的单位大都不同， 数据的大小差异也往往很大， 这就不利于在同一标准上进行比较，为了消除量纲不同和数量级的差异带

5、来的影响， 就需要将样本数据标准化处理， 然后用最小二乘法估计未知参数， 求得标准化回归系数。3.7对 y01 x 12 x2p x p 进行中心化处理得y y( x1x )( x2x)p( xpx ) 再将等式除以因变量的样1122p本标准差Lyy则有y * = yy(x1x1)( x 2x2 )p( x pxp)12LyyLyyLyyLyy1 L11(x 1x1)2L 22 ( x 2x2)pLpp (x pxp ) =LyyL11LyyL 22L yyLpp1* x 1*2* x 2 *p* x p *所以 j*jLjj1,2,p, jLyy3.8（ ij 为相关阵（ ij)p p 第i

6、 行，第 j 列的代数余子式）r(1)12 r 21r 231231r21r23r 31r12; 3=r11 1 1r2322 1r13(12)(1 r2)1122(1)(1)r 2313r32r31113.9F j =SSRj )(1(n p 1)SSR( j )p1)SSE( j )1)SSE( n(n pSSESSE(np1)( np1) ( SSE( j )SSE( j )(np 1) ( ryj212)SSE( j )SSE(j ) SSE( j )1r yjSSE( j )SSE( j )()SSE( j )SSEryj2( np1)(1 ryj2 )r yj2 小于 1，F j

7、与 ryj2 一一对应，所以 F j 与 ryj2 等价3.10SSRnp1FpSSEF(np1)pSSRnp1np1pSSEpnp 1SSRSSRpSSESSESSRSSESSRR2np1SSRSSRSSESSESSTSSTp(1)SSESSE证得 R2FFp(np 1)3.11(1)相关性yx1x2x3yPearson 相关性1.556.731 *.724 *显著性（双侧）.095.016.018N10101010x1Pearson 相关性.5561.113.398显著性（双侧）.095.756.254N10101010x2Pearson 相关性.731 *.1131.547显著性（双侧）

8、.016.756.101N10101010x3Pearson 相关性.724 *.398.5471显著性（双侧）.018.254.101N10101010*.在 0.05水平（双侧）上显著相关。(2) （ 3）（ 4）（ 5）（ 6）模型汇总标准估计的误模型1RaR 方.806调整R 方.708差23.44188a.预测变量: (常量 ), x3, x1, x2。Anovab模型平方和df均方FSig.1回归13655.37034551.7908.283.015 a残差3297.1306549.522总计16952.5009a.预测变量 : (常量 ), x3, x1, x2。b. 因变量 :

9、 y系数 a非标准化系数标准系数模型B标准 误差试用版tSig.1(常量)-348.280176.459-1.974.096x13.7541.933.3851.942.100x27.1012.880.5352.465.049x312.44710.569.2771.178.284a. 因变量 : y1回归方程为y= -348.280+3.754x1+7.101x2+12.447x32复相关系数 R=0.898 ，决定系数为0.806，拟合度较高。3方差分析表，F=8.283 ，P值 =0.0150.05 ，表明回归方程高度显著，说明 x1,x2,x3,整体上对y有高度显著的线性影响4回归系数的显

10、著性检验x1工业总产值的 P值 =0.100X2 农业总产值的P值 =0.049X3 居民非产品支出的P值 =0.284在 0.1的显著性水平上，x3未通过检验，应将其剔除掉输入移去的变量b模型输入的变量移去的变量方法1x2, x1a.输入a. 已输入所有请求的变量。b. 因变量 : y模型汇总标准估计的误模型RR 方调整R方差1.872 a.761.69224.08112a.预测变量: (常量 ), x2, x1。bAnova模型平方和df均方FSig.1回归12893.19926446.60011.117.007 a残差4059.3017579.900总计16952.5009a.预测变量

11、: (常量 ), x2, x1 。b. 因变量 : y系数 a非标准化系数标准系数模型B标准误差试用版tSig.1(常量)-459.624153.058-3.003.020x14.6761.816.4792.575.037x28.9712.468.6763.634.008a. 因变量 : y1回归方程为y= -459.624+4.676x1+8.971x22复相关系数 R=0.872 ，决定系数为0.761，由决定系数看回归方程接近高度相关3方差分析表， F=11.117 ，P值 =0.007，表明回归方程高度显著说明x1,x2,整体上对 y有高度显著的线性影响4回归系数的显著性检验x1工业总

12、产值的 P值 =0.037X2 农业总产值的P值 =0.008在 0.05的显著性水平上 ,自变量 x1,x2对 y均有显著影响（ 7）系数 a非标准化系数标准系数B 的 95.0%置信区间模型B标准 误差试用版tSig.下限上限1(常量)-459.624153.058-3.003.020-821.547-97.700x14.6761.816.4792.575.037.3818.970x28.9712.468.6763.634.0083.13414.808a. 因变量 : y( 8 )标准化回归方程 y=0.479x1+0.676x2（ 9） 把x01=75,x02=42带入 y= -459.

13、624+4.676x1+8.971x2得y=267.86y置信水平 95% 的区间估计为（ 211.09492 , 324.57506）y置信水平 95% 的近似区间估计为（219.6978 , 316.0222）E（ y)置信水平 95% 的区间估计为 (245.00541 ,290.66457)(10) 由于 X3的回归系数显著性检验未通过，所以居民非商品支出对货运总量影响不大，但是回归方程整体对数据拟合较好。3.12输入移去的变量b模型输入的变量移去的变量方法1x2, x1 a.输入a. 已输入所有请求的变量。b. 因变量 : y模型汇总标准估计的误模型RR方调整R方差11.000 a.

14、999.9991189.51547a.预测变量 : (常量 ), x2, x1。Anovab模型平方和df均方FSig.1回归1.809E1029.046E96393.516a.000残差16979364.566121414947.047总计1.811E1014a.预测变量 : (常量 ), x2, x1 。b. 因变量 : y系数 a非标准化系数标准系数共线性统计量模型B标准 误差试用版tSig.容差VIF1(常量)2914.6461337.4662.179.050x1.607.299.0812.034.065.05020.196x21.709.074.92123.175.000.05020

15、.196a. 因变量 : yVIF 的值都大于10，所以变量之间存在多重共线性共线性诊断 a方差比例模型维数特征值条件索引(常量)x1x2112.8711.000.01.00.002.1254.795.26.00.033.00427.651.731.00.97a. 因变量 : y表中第三行 x0( 常数项），x1,x2 的系数分别为 0.73,1.00,0.97，说明x0( 常数项）， x1,x2 之间存在多重共线性。回归方程为 y=2914.646+0.607x1+1.709x2,第一产业的增加值 x1的P值=0.065第二产业的增加值 x2的P值=0.000 在0.05 的显著性水平上 x1对 y无显著影响